Арифметические действия с целыми числами

Понятия арифметических действий

По двум или нескольким целым числам можно составить новое целое число. Способов составлять новое целое число очень много. Так, по двум целым числам 6 и 2 можно составить новое число различным образом.

  1. Можно по двум целым числам составить такое число, которое будет заключать в себе столько единиц, сколько их содержится в обоих числах. Для 6 и 2 это будет число 8. В этом случае число 8 равно обоим числам, вместе взятым.

  2. Можно по двум целым числам составить такое число, которое будет показывать, насколько единиц одно число больше другого. Для 6 и 2 это будет число 4.

  3. Можно по двум целым числам составить число, которое будет показывать, сколько единиц получим, если одно число повторим количество раз, равное второму числу. Для 6 и 2 это будет число 12.

  4. Можно попробовать по двум целым числам составить такое число, которое покажет, сколько раз второе число содержится в первом. В случае 6 и 2 число два называют парой, следовательно, новое число будет показывать, сколько пар содержится в шести, или сколько пар содержит число 6. Такое число есть 3. Оно показывает, во сколько раз 6 больше 2.

Таким образом, по двум числам 6 и 2 разными способами мы составили 4 новых числа: 8, 4, 12 и 3.

Арифметическое действие. Способ составлять новое число по двум или нескольким числам называется арифметическим действием.

Данные и искомые. Те числа, по которым составляют новое число, всегда даются и называются данными числами, а новое число, которое составляют по данным, называют искомым, ибо цель арифметического действия состоит в том, чтобы отыскать его. Искомое число называют также результатом действия.

Основные арифметические действия

Вообще арифметических действий много, но основных только четыре: сложение, вычитание, умножение и деление. Они названы основными, ибо все остальные действия приводятся к ним.

  1. По двум числам 6 и 2 найти число 8, равное двум числам, взятым вместе, значит сложить два числа. Само действие называется сложением, и связь между тремя числами выражают словесно: 6 да 2 составляют 8.

  2. По двум числам 6 и 2 найти число 4, показывающее, чем число 6 больше 2, значит 2 отнять от 6. Отнять 2 от 6 значит вычесть 2 из 6. Само действие называется вычитанием. Связь между тремя числами выражается словесно: 6 без 2 составляет 4.

  3. По двум числам 6 и 2 составить 12 или иначе повторить 6 два раза, значит умножить 6 на 2. Действие называется умножением. Связь между числами 6, 2 и 12 выражается словесно: 6, повторенное 2 раза, составляет 12, или 6, умноженное на 2, составляет 12.

  4. По двум числам 6 и 2 составить число 3, указывающее, сколько раз 6 содержит число 2, значит 6 разделить на 2. Действие называется делением. Связь между числами 6, 2 и 3 выражают словесно: 6 содержит число два 3 раза, или 6, деленное на 2, составляет 3.

Знак равенства. Слово «составляет» заменяют знаком =, который называется знаком равенства, ибо это слово может быть заменено словом равно.

Равенство. Совокупность равных чисел по обе стороны знака = называется равенством.

Четыре арифметических действия над двумя числами могут быть выражены словами:

  • 6 да 2 = 8

  • 6 без 2 = 4

  • 6 умноженное на 2 = 12

  • 6 деленное на 2 = 3.

Во всех этих действиях 6 и 2 являются данными числами, а 8, 4, 12 и 3 — искомыми числами.

Знаки основных действий. Слова «да», «без», «умноженное», «деленное» заменяют особыми знаками:

  • слово «да» — знаком + (плюс)

  • слово «без» — знаком - (минус)

  • слово «умноженное» («повторенное») — знаком × или · (точкой)

  • слово «деленное» — знаком : (÷)

Заменяя слова знаками, мы можем зависимость между числами выразить письменно:

  • 6 + 2 = 8 (сложение)

  • 6 - 2 = 4 (вычитание)

  • 6 × 2 = 12 (умножение)

  • 6 ÷ 2 = 3 (деление)

Знаки + и - были введены Родольфи (Rodolphi) в 1522 году, знак × ввел англичанин Отред (Oughtred) в 1631 г., знак = ввел английский геометр Рекор (Recort) в 1552 г.