Курс геометрии в 5-ый год обучения

Как уже было указано, необходимым условием хорошей постановки курса этого года является возможность дать в руки каждому ученику циркуль. Работа начинается с изучения курса и с построения угла, равного данному – характер этой работы таков же, как то изложено в п. 10. Так же точно построение и изучение параллельных прямых, треугольников, их равенства, параллелограммов и т. д. должно вестись в полном согласии с тем, что изложено в пп. 11-13. На протяжении этой работы можно вспомнить те операции, какие проделывались с площадями параллелограмма, треугольника и трапеции для отыскания способов их вычисления в предыдущий год обучения; теперь явится возможность привести в отчетливость те неясные интуиции, какие там имели место (см. п. 25). Напр., возьмем трапецию АБВГ (чер. 101). Очень удобным приемом для выяснения вопроса об измерении ее площади является таковой: 1) разделим сторону ВГ в точке О пополам; 2) построим отрезок БО и отрежем треугольник БВО (трапеция вырезана из бумаги); 3) повернем ∆БВО около точки О (по стрелке) так, чтобы он занял положение ДГО. В предыдущий год обучения оставалось невыясненным, правда ли, что фигура АБОДГ есть треугольник, т. е., правда ли, что линия АГД – прямая? Правда ли, что линия БОД – прямая? Теперь, пользуясь знанием равенств углов при параллельных и секущей, равенством вертикальных углов (это равенство можно было разобрать и раньше 5-го года обучения), а также признаками равенства треугольников, явится возможность привести в отчетливость все то, что было лишь неясною интуициею в предыдущем.

Трапеция

Изучение свойств равнобедренного треугольника возможно, как уже то замечено выше, перенести из 5-го года в 4-ый год. Очень удобным приемом для его изучения является возможность получать всевозможные равнобедренные треугольники при помощи модели прямого угла. Если мы имеем модель прямого угла, полученную при помощи двукратного сгибания куска бумаги, то, построив прямую линию, как-либо рассекающую сторону прямого угла, обрезав кусок бумаги по этой прямой и разогнув его так, чтобы кусок бумаги остался перегнутым лишь один раз, мы получим равнобедренный треугольник. И из этого способа получения его сразу видны свойства: 1) углы при основании равны; 2) линия перегиба перпендикулярна к основанию; 3) линия перегиба делит основание пополам; 4) линия перегиба делит угол при вершине пополам; 5) линия перегиба делит площадь треугольника пополам – одним словом, линия перегиба есть ось симметрии всей фигуры.

Нет надобности останавливаться на деталях других вопросов этой части курса (например, на построении перпендикуляра, делении угла и отрезка пополам построением циркулем и линейкою, о выяснении понятия о расстоянии между двумя точками, между точкою и прямою и т. д.) – все это надо вести в согласии с изложенным в отделе II, пользуясь лишь, где это возможно, симметриею получаемых построений.

Что касается вопросов о прямых и плоскостях в пространстве, то является возможность выяснить все особенности, имеющие здесь место, при помощи модели куба и его образовании из построенной сетки куба перегибанием по сторонам квадратов, составляющих сетку куба. Повторяю, что для достижения хороших результатов, как в этом вопросе, так и в вопросе о геометрических местах точек, необходимо, чтобы учитель сам детально разобрал бы все частные вопросы, сюда входящие, для чего обращаю его внимание прежде всего на мой «Начальный курс геометрии», а затем и на мою «Геометрию в пространстве».