Особенности геометрических фигур

Желательно вопрос о неравных сторонах и углах треугольника поставить так, чтобы перед учащимися отчетливо прошла картина возможной изменяемости треугольника. Для этой цели желательно обратиться к помощи модели (фиг. 55). Она состоит из двух неподвижных палочек AC и CE и одной подвижной AM, которая может вращаться около точки A. За исходный пункт примем то расположение, которое дает равнобедренный ∆ACB. Известно, что если AC = CB, то ∠A = ∠B. Станем теперь ∠A увеличивать, для чего палочку AM надо вращать по стрелке. Тогда ясно, что Сторона CB станет увеличиваться. Относительно ∠B можно рассудить, что он должен уменьшаться. Рассудить можно двояко: 1) ∠C остается неизменным, ∠A увеличивается, а мы знаем, что всегда ∠A + ∠B + ∠C = 2d, отсюда следует, что ∠B уменьшается; 2) новое положение стороны AB (а именно AB1) вместе со старым дают возможность рассмотреть ∆ABB1, для которого старый ∠B есть внешний, а новый ∠B (или ∠B1) есть внутренний; поэтому новый ∠B < старого ∠B.

Треугольник с вращающейся стороной

Итак, мы получили новый ∆ACB1, в котором заведомо два угла неравны (∠A > ∠B1) и мы видели, что сторона CB увеличивалась (CB1 > CB), а AC осталась неизменною, т. е. CB1 > AC, откуда и следует, что если в треугольнике 2 угла неравны, то против большего из них лежит и большая сторона.

Здесь же ясно и обратное заключение: если в треугольнике две стороны не равны, то против большей из них лежит и больший угол. Возможно все это воспроизвести и только на чертеже, для чего построим сначала равнобедренный ∆ (чер. 56) и запишем:

AC = CB и ∠B = ∠A.

Против большей стороны лежит больший угол

Затем сторону AB зачеркнем и вообразим ее повернутой в новое положение. Выяснив, как выше, что сделается со сторонами и углами старого ∆ACB при переходе его к новому ∆ACB, запишем что

для нового треугольника: CB > AC и ∠A > ∠B.

Во время этого исследования постоянно придется иметь дело с положениями: «против равных сторон лежат равные углы», «против равных углов лежат равные стороны», «против большей стороны лежит больший угол» и «против большего угла лежит большая сторона».

Необходимо, чтобы учащиеся усвоили, что эти положения относятся только к одному треугольнику. Возникает вопрос, а нельзя ли их отнести к двум треугольникам? И прежде всего ясно, что они справедливы для двух равных треугольников. Нельзя ли установить их справедливость при известных условиях и для двух неравных треугольников? Для этого возьмем 2 палочки как на чер. 57; их общая точка и свободные их концы можно принять за вершины треугольника, две стороны которого изображены палочками, а третья легко воспроизводится воображением, как прямолинейный отрезок, соединяющий два свободных конца. Если мы станем увеличивать (вращая одну из палочек) угол, составляемый двумя сторонами, то становится ясным, что и третья сторона должна увеличиваться; Если мы станем раздвигать концы палочек, дабы увеличить третью сторону, то и угол, составляемый двумя неизменными сторонами, увеличивается.

Изменяемые треугольники

Ясно, что здесь мы имеем дело с рядом треугольников, у которых две стороны неизменны, – у таких треугольников увеличение третьей стороны влечет за собою увеличение противолежащего угла и обратно: увеличение угла между неизменными сторонами влечет увеличение противолежащей стороны.

Если этому заключению хотят придать обычную форму – «если 2 стороны одного треугольника равны соответственно двум сторонам другого, а углы между ними не равны, то против большего угла лежит и большая сторона» то необходимо изобразить на чертеже два из треугольников, получаемых при выше разбираемом вращении, и для них явится возможным придать заключению указанную форму.

Вопрос о сравнении различных линий, соединяющих две точки, обычно развивается в естественном порядке. Сначала выясняется, что одна сторона треугольника меньше суммы двух других, причем естественно получить эту сумму, т. е. выполнить сложение двух сторон треугольника, для чего и употребляют обычное построение (чер. 58). Естественно далее перейти к сравнению прямолинейного отрезка, соединяющего две точки, с периметром ломаной, соединяющей те же точки, и к сравнению двух ломаных линий, соединяющих 2 точки («объемная» выпуклая и «объемлющая»). Должно к этому прибавить возможность рассмотрения кривой линии, как ломаной, состоящей их бесконечно большого числа отрезков, дабы окончательно установить, что прямолинейных отрезок, соединяющей 2 точки, меньше всякой другой линии, соединяющей эти же точки (благодаря этому свойству, прямолинейный отрезок, соединяющий 2 точки, называется расстоянием между этими точками). Возможно этому заключению придать и такую форму: кратчайший путь между двумя точками идет по прямой линии, но следует бросить обычную форму – «кратчайшее расстояние между двумя точками есть прямая линия». В самом деле, между двумя точками существует лишь одно расстояние (напр., расстояние земли от солнца») и нет смысла говорить слово «кратчайшее», потому что оно предполагает выбор между несколькими расстояниями.

По поводу всего сказанного возникает одно сомнение. Ведь все те вопросы, какие здесь затрагиваются. Очень сближены с повседневным опытом, и результаты исследования этих вопросов, в сущности, ученикам не дают почти нечего, что не заключалось бы в имеющемся у них жизненным опытом. Поэтому возникает сомнение, следует ли все это развивать в той или иной системе? Не достаточно ли все это закрепить в сознании учащихся, как данные, почерпнутые из постоянного жизненного опыта? Быть может, для разных учеников, в зависимости от имеющегося времени, это сомнение должно разрешаться по разному.

Во всяком случае, в курс вводится: понятие о расстоянии между двумя точками, и это обстоятельство дает начало ряду вопросов, первым из которых является «много ли можно найти на плоскости точек, имеющих данное расстояние от данной точки? Где эти точки расположены?» – Здесь приходим к взгляду на круг, как на геометрическое место точек, равноудаленных от центра. Вторым вопросом является вопрос о точках плоскости, равноудаленных от двух данных точек. Рассмотрение этого вопроса удобно вести в следующем порядке.

Точки на плоскости

Пусть лист бумаги изображает плоскость (чер. 59), на нем рисуем 2 точки, чтобы они были ясно видны классу, и ставим вопрос: нельзя ли на этой плоскости показать точку, равноотстоящую от двух данных (хотя бы приблизительно). Учащиеся показывают такие точки: один из них покажет т. C, другой т. D, третий т. E. Возможно присоединить сюда еще вопрос: как думают учащиеся, отстоит ли т. М на равных или неравных расстояниях от A и B. Учащиеся говорят, что от A она отстоит ближе, чем от B, и показывают эти расстояния MA и MB. После таких упражнений выясняется: 1) что точек, равноотстоящих от A и B, на этой плоскости бесконечно много и 2) что не всякая точка этой плоскости удовлетворяет требованию – «равно отстоять от A и B». Тогда ставится вопрос: нельзя ли что-нибудь сделать с плоскостью, чтобы получить стазу все точки, равноотстоящие от A и B? Учащиеся обычно довольно скоро (хотя и не сразу) находят ответ: надо перегнуть плоскость так, чтобы т. A совпала с т. B. Выполнив такое перегибание на нашем листике, мы получаем прямую перегиба, на которой располагаются искомые точки. Если обратить внимание на то, что между точками A и B определяется прямая AB и если наш листик перегнуть сначала по прямой AB, а затем по выше найденной линии DCE..., то легко убедиться, что искомые точки должны лежать на перпендикуляре к отрезку AB Через его середину. Вводим термин «геометрическое место точек», равноотстоящих от двух данных, и учимся на доске строить это геометрическое место. На прилагаемом чер. 60 видно, что, вообще говоря, самый отрезок AB строить нет нужды.

В сущности, как видно из предыдущего, во все этой работе нет места «доказательства» теорем.

Найденный процесс перегибания показывает обязательность полученного свойства без всяких доказательств. Возможны, однако, если то желательно, ввести обычные доказательства, в форме проверки: возьмем на построенном перпендикуляре какую-либо точку M (чер. 60) и рассудим, правда ли она равноудалена от A и B. Для этого построим еще прямые MA, MB и AB и рассмотрим ∆AMC и ∆BMC и т. д. Также точно можно взять точку не на перпендикуляре и выяснить (без перегибания плоскости), что она находится на равных расстояниях от A и B.

Далее следует вспомнить построение перпендикуляра из точки вне прямой на эту прямую, выяснить, если это не было сделано раньше, что можно построить лишь один перпендикуляр, построить еще несколько наклонных и исследовать их свойства, после чего явится возможность установить понятие о расстоянии между прямою и точкою. Необходимо освоить учащихся с ясным представлением этого перпендикуляра, для чего служат, помимо построений, следующие упражнения (чер. 61): 1) даны 2 пересекающихся прямых и где-либо точка, нарисовать от руки ее расстояние от этих прямых; 2) даны 3 пересекающихся прямых и где-либо точка, нарисовать от руки ее расстояние от этих прямых; 3) при данных таких же, как в 1-м и во 2-м упражнениях, показать лишь, как идут нужные перпендикуляры.

Геометрические построения

После этого можно перейти к исследованию вопросов, приводящих к геометрическим местам точек: 1) много ли можно найти точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой? Где эти точки располагаются (каково их геометрическое место)? 2) Много ли можно найти точек, равноотстоящих от двух данных параллельных прямых? Каково их геометрическое место? Первый вопрос решается учащимися непосредственно, так как его решение чрезвычайно легко, а для 2-го и 3-го вопросов придется опять взять на помощь лист бумаги с начерченными на нем прямыми, и учащиеся, обдумав поставленные вопросы, приходят к ответу, что для получения искомых точек надо перегнут плоскость (лист бумаги) так, чтобы одна прямая совпала с другой. Случай пересекающихся прямых приводит к построению биссекторов четырех углов, составляемых этими прямыми. Следует эти бессекторы, в отличие от данных прямых, рисовать цветным мелом. Опять здесь возможна проверка: возьмем какую-либо точку на одном из биссекторов и рассудим, правда ли она равно отстоит от данных прямых; возьмем также точку не на биссекторе и рассудим, правда ли, что она не одинаково отстоит от данных прямых.

Очень хорошо присоединить сюда ряд упражнений вроде следующих: построить точку, находящуюся на расстоянии a от данной точки A и на расстоянии b от данной точки B (отрезки a и b даны); менять данные отрезки a и b так, чтобы их сумма (или их разность) оставалась постоянною и строить соответственные точки – приходим к построению эллипса (или гиперболы) по точкам. Построить точку, находящуюся на равных расстояниях от данной точки и прямой; менять это расстояние и строить соответственные точки, – приходим к построению по точкам параболы. В зависимости от времени и состава учащихся, можно развить эти упражнения так, чтобы дать учащимся первое знакомство с коническими сечениями.

Средние линии фигур

Геометрическое место точек, равноотстоящих от двух данных параллельных прямых, позволяет установить прежде всего положение: всякий перпендикуляр к двум параллельным прямым (расстояние между параллельными прямыми) делится пополам прямою, параллельною данным, и находящеюся на середине расстояния между ними – назовем эту прямую среднею параллельною, – после чего возникает вопрос: не делится ли пополам этой среднею параллельною всякий отрезок, заключенный между данными параллельными (чер. 62)? После решения этого вопроса мы можем смотреть на среднюю параллельную, как на геометрическое место середин всевозможных отрезков, заключенных между данными параллельными. Отсюда является возможным перейти к изучению средних линий треугольников и четыреугольников. Построив между двумя данными параллельными отрезки AB и BC, получим ∆ABC, середины двух сторон которого, точки M и N, лежат на средней параллельной. Построив отдельно какой-нибудь треугольник A1B1C1 (чер. 63), мы всегда можем через точку B1, например, построить прямую параллельную A1C1, и, следовательно, установить, что всегда середины двух сторон треугольника лежат на прямой, параллельной третьей стороне. Установив возможность построения для треугольника 3 средних линий (этим именем называем отрезки MN, NP и PM), мы легко получаем, что каждая из них равна половине параллельной ей стороны треугольника. Построив между данными параллельными отрезки DE и FG, приходим к трапеции DEFG и к изучению свойств ее средней линии. Трапеция может принять форму KLPQ. Эти два вида трапеции можно отличать друг от друга названиями: трапеция, имеющая площадь (DEFG), и трапеция, не имеющая площади (KLPQ), так как первая выделяет из плоскости одну определенную часть, а вторая выделяет 2 куска, относительно которых надо сделать какие-то условия, чтобы при помощи этих кусков определить площадь трапеции. Для обеих форм трапеции имеем общее свойство: средняя линия трапеции, соединяющая середины параллельных сторон, параллельна параллельным сторонам. Далее, однако, видим разницу: Отношение длин отрезков (выясняется это при помощи отрезка DF, середина которого также должна лежать на средней параллельной), но Отношение длин отрезков (выясняется это при помощи отрезка KP, середина которого должна также лежать на средней параллельной).

Средние линии треугольника

Если построим какой-либо четырехугольник ABCD или A1B1C1D1 (чер. 64), то для него можно построить 6 средних линий (MN, NP, PQ, QM, MP и NQ или M1N1, N1P1, P1Q1, Q1M1, M1P1 и N1Q1), 4 из которых соединяют середины соседних сторон треугольника и образуют параллелограмм, а две остальные (MP и NQ или M1P1 и N1Q1), соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника, делят друг друга пополам (являясь диагоналями параллелограмма). Если построить диагонали 4-угольника AC и BD (или A1C1 и B1D1), то легко увидим, что периметр параллелограмма MNPQ (или M1N1P1Q1) равен сумме диагоналей данного 4-угольника.

Построение четырехугольников через средние линии

Мы помещаем все эти указания о средних линиях четырехугольников здесь, но, быть может, на практике их удобнее отнести к более позднему моменту, когда будет пройдена статья о многоугольниках.
К статье о средних линиях присоединяется еще задача о делении отрезка на сколько угодно равных частей.