Повторение по геометрии

Допустим, что учащиеся уже знакомы с геометрическим учением о площадях, ограниченных прямыми линиями. Тогда, после изучения вопросов, связанных с измерением прямолинейных отрезков, они сами приходят к заключению, что если даны две площади A и B, ограниченные прямыми линиями, то возможно измерить площадь A площадью B, т. е. другими словами, возможно составить уравнение вида A = kB. В самом деле, в силу нашего допущения учащиеся уже знакомы с признаками равенства площадей (две площади равны, когда 1) они совпали при наложении, 2) они являются суммами одинакового числа слагаемых площадей, попарно совпадающих при наложении, и 3) они являются разностями площадей, попарно совпадающих при наложении), могут, преобразовав каждую из данных площадей, узнать, какая из них больше другой, и отложить меньшую на большей; знакомы они также и со сложением двух площадей. (Конечно, в этой статье все время идет речь о площадях, ограниченных прямыми линиями.) Для учащихся явится хорошею работою, повторительного характера, проделать все вышеуказанное на каком-нибудь примере.

Так как с одной стороны наш обычный курс геометрии в средней школе игнорирует геометрическое изучение площадей, а, с другой стороны, вопрос об измерении излагается в крайне несовершенном виде, я позволю себе в настоящей статье дать пример такой работы, в надежде, что он поможет убедить в необходимости введения в курс геометрии чисто-геометрического изучения площадей.

Измерение площадей

Пусть даны две площади A и B (см. 1-й ряд чертежа 106, где данные площади очерчены более толстыми линиями) и требуется измерить площадь A площадью B: площадь A представляет собою площадь четыреугольника, а площадь B – площадь пятиугольника. Преобразуем эти многоугольники в равновеликие им треугольники (на чертеже это сделано), – получим, что площадь A = площади ∆ABC и площадь B = площади ∆DEF. (В первом ряду чертежа не дана (случайно) прямая линия EF.) Эти треугольники для удобства перенесем на другое место (2-й ряд чертежа). Каждый из этих треугольников превратим в равновеликие им прямоугольники, – на чертеже это сделано (площ. BKLC = площ. ∆ABC и площ. DMNF = площ. ∆DEF). Далее превратим один из полученных прямоугольников в равновеликий ему с таким же основанием, как у другого. На чертеже, полученные раньше два прямоугольника перенесены в 3-й ряд и один из них, а именно BCLK, преобразован в равновеликий ему прямоугольник PJHK так, что основание его PJ равно основанию DF прямоугольника DMNF.

Так как последнее преобразование мало известно, то поясню его. Отложим KH = BG = DF и построим прямые KBP, HGJ, LCQ. Затем построим еще прямую KG, которую продолжим до пересечения в точке Q с прямой LC. Наконец, через точку Q строим прямую QP || CB. Тогда KQ есть диагональ прямоугольника PKLQ; следовательно, ∆KLQ = ∆PKQ. На том же основании ∆KGH = ∆BKG и ∆GCQ = ∆JGQ. Вычитая из площади ∆KLQ площадь ∆KHG и площадь GCQ, получим площадь GHLC. Вычитая из площади ∆PKQ площадь ∆BKG и площадь ∆JGQ, получим площадь PBGJ. Так как из равных площадей вычитались равные, то площ. PBGJ = площ. GHLC. Если теперь к каждой из них прибавим площ. BKHG, то получим, что площадь PKHJ = площади BCLK, т. е. удалось преобразовать прямоугольник BCLK в равновеликий ему PJHK так, что основание PJ нового треугольника = DF, т. е. основанию прямоугольника DFNM (в самом деле PJ = BG = KH, а KH и BG отложены равными DF).

Теперь мы имеем:

1) A = площ. PJHK и 2) B = площ. DFNM. Накладывая прямоугольник DFNM на прямоугольник PJHK (а это легко сделать, так как у них основания равны), мы 1) легко узнаем, какая из данных площадей (A или B) больше другой, и 2) если пожелаем, можем получить, хотя бы приближенно, желаемое уравнение. Для примера, данного на чертеже, имеем:

A = 2B + C (A = пл. PJHK, B = пл. DFNM, C есть оставшаяся часть площади прямоугольника PJHK, затушеванная на чертеже).

B = C + D (D есть оставшаяся часть площади прямоугольника DFNM, затушеванная на чертеже).

Тогда B = прибл. 5D, A = прибл. 14D и A = прибл. Дробь.