Начальный курс геометрии

В пп. 5 и 6 выяснены как увлечения современной методической мысли по отношению к геометрии, так и ошибки современной методики геометрии. Поэтому тот «пропедевтический» курс геометрии, который предназначен для маленьких учащихся и который связан с этими увлечениями, приходится отвергнуть (образцы таких курсов представляют собою учебники Астряба, Кемпбеля, Кулишева, Гебеля (по Горнбруку) и др). Однако самая мысль начать обучение геометрии с малого возраста заслуживает полного внимания. И маленьких детей можно учить геометрии, но только это надо делать так, чтобы на протяжении обучения дети осваивались бы. Насколько это согласуется с их развитием, а, следовательно, и с возрастом, с характером той работы, какая свойственна геометрическим изысканиям. Важно не то, чтобы в голове ребенка накопилась масса знаний геометрического характера, а важно то, чтобы сознание ребенка проделало бы, хотя бы и маленькую, но чисто-геометрическую работу.

Для классного обучения геометрии наиболее подходящим моментом для начала курса геометрии является 3-й год обучения или, быть может, вторая половина 2-го года. Для начальной школы с четырехлетним курсом является возможным построить маленький курс начал геометрии (будем его называть «Начальный курс»), связанный до известной степени с арифметикой. При пятилетнем курсе или при наличности благоприятных условий и при четырехлетнем курсе явится возможность увеличить материал курса и достигнуть уже сравнительно большого развития геометрического представления у учащихся и, быть может, большего, чем то, какое имелось у большинства учеников, окончивших нашу прежнюю среднюю школу.

Начальный курс геометрии, так же, как и вообще всякое обучение геометрии, должен опираться на те основные пожелания, которые изложены в п. 7, где выяснен желательный характер вообще для курса геометрии. Однако, начальный курс должен иметь и некоторые особенности.

Первая категория особенностей имеет своею причиною то обстоятельство, что психика детей не может выполнять ту работу, которая требует продолжительного внимания и запечатления отдельных ее моментов. Такою работою является прежде всего сопоставление нового геометрического образа с разученными ранее и получение из этого сопоставления каких-либо выводов. Лишь на 5-м году обучения таковую работу можно ввести в курс, да и то с известною осторожностью. Результатом этого общего соображения явится необходимость значительно сократить тот материал, который должен быть проработан в начальном курсе. Так, думается, ни на третий, ни на 4-ый годы обучения было бы неуместно вводить признаки равенства треугольников и пользоваться этим равенством для получения каких-либо свойств более сложных фигур. Лишь наличность особенно благоприятных условий может позволить ввести в дело равенство треугольников во 2-ой половине 4-го года обучения. Так же точно много сомнений возникает по поводу введения в курс 3-го или 4-го года обучения учения о подобии треугольников. С одной стороны, идея подобия, иллюстрируемая фотографиями, планами и т. п., представляется вполне доступной детскому разумению. Но, с другой стороны, нельзя не согласиться, что эта идея подобия у детей, и даже не маленьких, имеется лишь в форме какой-то неясной интуиции, а задача ввести сюда отчетливость представляется крайне трудною для методиста-геометра. И вот, не смотря на желательность возможного раннего ознакомления детей с подобием плоских фигур, не смотря на значение подобия для практики, приходилось, за недостатком методической разработки этого вопроса, отказываться от введения учения о подобии в начальный курс геометрии. Если же на практике и приходилось встречаться с тем или иным проявлением идеи подобия, то приходилось довольствоваться только теми туманными интуициями о «сходстве», которые имеются у детей под влиянием жизненного опыта. Таким образом введение в начальный курс геометрии учения о подобии – дело будущего, когда появится ряд работ по этому вопросу.

Другая категория особенностей начального курса имеет причиною то обстоятельство, что ученики, окончившие начальную школу с 4-5 летним курсом (а иногда и с трехлетним), этим и заканчивают свое образование. В таком случае школе приходится озаботиться о том, чтобы снабдить их практическими умениями, которые им могут пригодиться в их жизни. И на геометрию падает доля этой заботы. Отсюда вытекает надобность дать учащимся на протяжении начального курса геометрии несколько практических сведений. К этим практическим геометрического характера сведениям можно отнести и кое-какие сведения из области подобия, о котором шла речь выше. Однако, на эту сторону курса так и надо смотреть, что здесь мы сообщаем учащимся ряд практических умений, а забота об их геометрическом развитии здесь отходит на задний план. Поэтому здесь уже не приходится заботиться о том, чтобы учащиеся ясно себе представили непреложность того или иного сообщаемого сведения, а забота должна быть направлена главным образом на то, чтобы учащиеся запомнили эти сведения и умели бы их применять к практике. К области этих сведений относятся вопросы об измерении площадей различных фигур и об измерении объемов различных тел.

Если, как это указано выше, распределить начальный курс геометрии на 3 года, на 3-ий, 4-ый и 5-ый года обучения, то намечается такой план этого курса.

3-ий год обучения. Прямолинейные отрезки, углы; операции над ними. Треугольник. Понятие о параллельности. Прямой угол. Квадрат и прямоугольник.

4-ый год обучения. Измерение площадей параллелограмма, треугольника, трапеции. Измерение углов градусами. Длина и площадь круга. Построение сетки куба; куб. Измерение объемов.

5-ый год обучения. Построение угла, равного данному. Равенство треугольников. Равнобедренный треугольник. Построение параллельных прямых. Изучение параллелограмма, ромба, прямоугольника. Изучение при помощи куба взаимного расположения плоскостей и прямых в пространстве. Геометрические места точек плоскости и пространства, находящихся на данном расстоянии от данной точки или данной прямой, находящихся на равных расстояниях от двух или трех данных точек, от двух параллельных прямых или плоскостей, от двух пересекающихся прямых или плоскостей и т. п.

В пояснение этой краткой программы следует дать несколько указаний.

Курс 3-го года обучения должен состоять в приобретении учащимися ряда умений (вроде: «я умею строить угол», «я умею строить прямой угол»), причем после приобретения умения строить квадрат и прямоугольник явится прочная опора для изучения квадратных мер и для измерения площадей прямоугольников. Таким образом желательно статью о квадратных мерах из арифметики перенести в геометрию (или, по крайней мере, тесно их связать). Само собою разумеется, что уже в таком случае не следует проходить квадратные меры на 2-м году обучения.

В 4-ый год обучения явится возможность расширить практическую часть курса рассмотрением вопросов об измерении площадей различных фигур. Построение сетки куба и получение при помощи перегибания этой сетки самого куба даст прочное основание для изучения кубических мер и для измерения объемов. Таким образом статью о кубических мерах из арифметики следует перенести на 4-ый год обучения и связать ее с геометриею.

В 5-ый год обучения уже надлежит особое внимание обратить на чисто-геометрическую сторону курса, для чего необходимо ввести в дело циркуль. И надо, чтобы каждый учащийся имел циркуль и выполнял при его помощи ряд работ. Основным построением является здесь построение угла, равного данному; при помощи этого построения является легкая возможность перейти и к построению параллельных прямых и к изучению признаков равенства треугольников и затем, конечно, к использованию этих признаков для изучения других геометрических фигур. Что касается заглавия программы – «Равнобедренный треугольник», то это заглавие приведено в рубрике для 5-го года обучения потому, что, быть может, удобнее всего именно на 5-м году обучения использовать свойства равнобедренного треугольника с практическою целью построения прямых углов на местности. Геометрическая же сторона этого вопроса настолько проста, что она доступна, пожалуй, даже и на 3-ий год обучения. Поэтому является полная возможность перенести изучение свойств равнобедренного треугольника на 4-ый или даже 3-ий год обучения. Что касается двух последних частей курса «Взаимное расположение плоскостей и прямых в пространстве» и «Геометрические места точек ...», то им следует придавать существенное значение для геометрического развития учащихся, но для успеха дела необходимо, чтобы сами учащие овладели бы этими вопросами в совершенстве.

Мною сделана попытка составить руководство для предлагаемого в выше указанном плане начального курса геометрии. Эта попытка вылилась в форме книги – «Начальный курс геометрии», которая должна помогать учителю вести дело с учениками 3-го и 4-го годов обучения, а ученикам на руки может быть дана лишь на 5-м году обучения, и задачника – «Упражнения по начальному курсу геометрии», который уже дается на руки ученикам, начиная с 3-го года обучения (т. е. с самого начала курса геометрии).