Методика геометрии

В настоящее время, под влиянием ничтожности результатов от обучения геометрии в средней школе, большинство педагогов приходит к мысли о необходимости разделить курс геометрии на две части – на пропедевтический курс и на систематический курс. Вот несколько выписок из разных авторов, характеризующих эти курсы.

1. С. А. Богомолов. (Труды Первого Всероссийского Съезда преподавателей математики. Т. I, стран. 47 и след.) «Первая часть – пропедевтический курс – должна иметь целью развитие пространственной интуиции и накопление геометрических знаний. Учащиеся должны проделать в этом курсе тот путь, каким в глубокой древности шло человечество, закладывая основы нашей науки; при этом самым широким образом надо использовать их способность пространственного воображения; ее постоянное упражнение и послужит лучшим средством к ее развитию. Мало того, в пропедевтическом курсе необходимо отвести видное место так назыв. лабораторному методу, т. е. Экспериментированию всякого рода …

Будем пока иметь в виду исключительно пропедевтический курс; вследствие особого его характера – преобладания наглядных доказательств, основанных единственно на интуиции, опыте и т. п., – увеличение его содержания не представит каких-либо затруднений. Мы думаем поэтому, что учащихся окажется возможным ознакомить с началами проективной геометрии …
Но особенно подходит к духу этого курса геометрия начертательная; последняя даст твердую опору для пространственной интуиции, научив изображать пространственные образы в плоскости, не говоря уже о той практической пользе, которую принесет многим знакомство с ней …

Словом класс будет готов для перехода к систематическому курсу, который является второю частью намеченной программы. Этот курс будет уже построен по плану, требуемому основными положениями современной аксиоматики; в качестве исходной точки будет принято несколько первоначальных понятий, причем нет надобности стремиться к их minimum'у, и известным образом выбранная система аксиом …

Затем должно быть твердо установлено, что эти предпосылки являются единственными во всем дальнейшем; а интуиция и чертежи будут лишь весьма удобным вспомогательным средством …
Покончив с основаниями геометрии, класс перейдет к ее изучению по намеченному выше методу; каждая теорема представится в виде необходимого логического следствия из доказанного ранее, т. е. в конечном счете вся цепь геометрических знаний явится лишь неизбежным выводом из поставленных во главе аксиом».

2. С. И. Шохор-Троцкий. (С. И. Шохор-Троцкий. – «Геометрия в задачах». Книга для учителей. М. 1908. Стран. XV и XX.) «Новое направление в преподавании математики прежде всего предполагает разделение курса на две ступени. Первая является экспериментальною фазою усвоения учениками более или менее закругленного и полного цикла математического знания; вторая имеет целью – систематизацию знания и дополнение его новыми идеями и взглядами …

Основной (он же – предварительный, приготовительный или пропедевтический в полном смысле этого последнего слова) курс геометрии должен и может быть только тою отраслью естествознания, в которой более, чем во всякой другой его отрасли, можно применять вычисление и измерение. Важнейшую роль в основном курсе геометрии должны играть именно опыт и наблюдение, а также планомерный эксперимент.» (Автор в предыдущем указывает, что его «основной» курс не следует смешивать с «пропедевтическим», понимаемым в обычном (узком) смысле этого слова.)

3. Из «Инструкции преподавания математики» во французских школах. (См. «Сборник программ и инструкций по преподаванию математики в Западной Европе». Под ред. Проф. Д. М. Синцова. М. 1914. Стран. 38.) «При объяснении фактов преподаватель должен постоянно обращаться к опыту и без колебаний считать, как экспериментальную истину, то, что детям кажется очевидным … всегда возможно и даже желательно дать почувствовать ученику необходимость доказательства в некоторых случаях, но давать его нужно только в том случае, если ученик убежден в его необходимости» (все это относится к первому циклу средней школы).

4. Из объяснительной записки по преподаванию геометрии в школах Вюртемберга (Там же. Стран. 228-229.)

«Систематическое преподавание геометрии во всех типах школ подготовляется при помощи наглядного курса геометрии в III классе. Исходным пунктом последнего служит наглядное знакомство с простыми телами. На них выводятся основные понятия геометрии, относительное расположение прямых и плоскостей и простые геометрические фигуры. В связи с этим преподаванием, которое избегает научных определений, стоит с самого начала черчение …

В систематической планиметрии следует, насколько это удобно, получать теоремы опытным путем и только после этого доказывать их логически …

Строго логический ход доказательств нет надобности полностью проводить во всех теоремах. В теоремах, которые представляются ученику более или менее очевидными, достаточно оттенить основание доказательства.»

Сделанные выписки достаточно характеризуют направление современной педагогической мысли в ее исканиях чего-то нового для дела обучения геометрии. Однако, вдумываясь в то, что дано в предыдущих цитатах, невольно начинаешь сомневаться в правильности этого направления, и возникает опасение, что это «новое» не будет «лучшим» по сравнению с тем, что было в прошедшем, что есть в настоящем.

Пот эти сомнения:

1. Г. Богомолов (и это не единичный пример) рекомендует, чтобы учащиеся проделали в пропедевтическом курсе тот путь, которым в глубокой древности шло человечество, закладывая основы геометрии. Но ведь прежде всего мы не знаем этого пути, и история математики не в состоянии отчетливо воспроизвести этот путь. Затем – и это самое главное, – человечеству понадобилось для прохождения этого пути слишком большой период времени, а мы должны своих учеников в короткий срок приобщить к богатствам геометрии. Ясно, что для этого нужен иной путь, который может лишь отчасти опираться на данные истории развития геометрии. А главною опорою такого пути должен служить определенный взгляд на геометрию, при помощи которого мы в настоящее время можем объяснять развитие содержания этой науки. Думается, что вышеизложенный взгляд (в главе 3-й) удовлетворяет этому заданию.

2. Все сделанные выписки говорят в той или иной форме, что в пропедевтическом курсе к геометрии должен быть привлечен опыт: г. Богомолов говорит о «наглядных доказательствах, основанных на интуиции, опыте и т. п.»; С. И. Шохор-Троцкий говорит, что «важнейшую роль в основном курсе геометрии должны играть именно опыт и наблюдение»; инструкция для французских школ говорит, что «преподаватель должен постоянно обращаться к опыту и без колебаний считать, как экспериментальную истину, то, что детям кажется очевидным».

В предыдущем мы видели, что опыт, сам по себе, убедить в непреложности какого-либо геометрического свойства не может; его роль сводится лишь к тому, что, благодаря ему, в некоторых случаях (и далеко не часто) возникает потребность выполнить ту или иную геометрическую работу, а эта последняя приводит иногда к установлению непреложности известного свойства. Поэтому сказать, как то, напр., делает С. А. Богомолов, что нужны «наглядные доказательства, основанные на интуиции, опыте и т. п.» – слишком мало; должно было присоединить сюда ряд примеров, где бы отчетливо выяснялось бы, как именно можно использовать опыт, чтобы, благодаря ему, сделать ясной необходимость известного свойства. Если этого не сделать, то будет иметь место сомнение, что на практике в пропедевтические курсы геометрии будет введен в дело опыт в его грубой форме. Ниже будут даны указания, что действительно на практике так именно и бывает. Аналогичные сомнения возникают и по поводу отношения к пользованию опытом и со стороны С. И. Шохор-Троцкого и со стороны авторов инструкций по преподаванию геометрии для школ Франции и Вюртемберга. Все эти сомнения сводятся к следующему: так как здесь не выяснено, как использовать опыт, чтобы при его помощи получилось действительно «доказательство» какого-либо свойства или чтобы необходимость известно свойства сделалась «очевидною», то возникает опасение, что на практике опыту будет придано совсем не то значение, какое он может иметь для развития содержания геометрии «практика показывает справедливость этих опасений).

3. Во многих случаях (это особенно сказалось в данной выше выписке из доклада С. А. Богомолова) имеется стремление дать в этом пропедевтическом курсе слишком большой материал. С. А. Богомолов желает даже ознакомить в этом курсе учащихся с началам проективной геометрии и считает очень подходящим материалом для этого курса факты из начертательной геометрии. С этим стремлением увеличить количественно материал пропедевтического курса геометрии приходится постепенно встречаться. Напр., Н. А. Тамамшева в своем докладе «О реформе преподавания математики», прочитанном на 1-м Всерос. Съезде преподавателей математики, считает возможным уже на 2-ой год обучения (обучения вообще, а не обучения геометрии) ввести в дело метод координат, на 4-й год обучения – пропорциональные линии и подобие фигур, на 5-й год – конические сечения и т. п. (Труды 1-го Всероссийского Съезда преподавателей математики. Т. II, стран. 143-148.) В программе приготовительного курса для III кл. кадетских корпусов можно найти подобие фигур, центр подобия, правильные многоуг-ки и т. п. (К. М. Щербина. – «Математика в русской средней школе». Стран. 100.)

Такое стремление нельзя признать рациональным. И здесь можно отметить 2 опасности: 1) при необходимости, согласно требованиям программы, ознакомить учащихся с массою фактов так легко вступить на тот путь, который упорно держится в нашей школе, на путь заучивания тех словесных фраз, которыми выражаются подлежащие изучению факты; 2) при загромождении курса фактами, на второй план отходит то, что должно бы быть признанным самым существенным, а именно: освоение учащихся с тою работою геометрических изысканий, при помощи которой обогащается содержание геометрии; отпечаток, оставляемый этою на сознании учащихся, и должен быть признан наиболее ценным элементом геометрического развития.

В частности, особенно много сомнений вызывают мысли, высказанные С. А. Богомоловым, о желательности ввести в пропедевтический курс основания проективной и начертательной геометрии. Очень естественно, что авторы руководств начальной геометрии при составлении их, а также преподаватели во время своей работы в классе должны иметь в виду то понимание геометрических фактов, какое имеет место в проективной геометрии, и это обстоятельство должно отразиться и на составляемых этими авторами учебниках и на практической работе таких преподавателей. Но отсюда очень далеко до введения в пропедевтический курс оснований проективной геометрии. Здесь еще более усиливаются два вышеотмеченных опасения.

4. По отношению ко второй части обучения геометрии, к систематическому курсу, в вышеприведенных выписках можно найти двоякое отношение. Инструкции по преподаванию геометрии для школ Франции и Вюртемберга в той или иной форме говорят о доказательствах теорем. Согласно этому, следует думать, что для авторов этих инструкций курс геометрии распадается, как то было и раньше, на ряд теорем и главною заботою (опять-таки, как и раньше) является вопрос о доказательствах этих теорем. Французская инструкция лишь обращает внимание на необходимость добиться того, чтобы ученик почувствовал потребность доказательства, а вюртембергская инструкция рекомендует сначала получать теоремы опытным путем, а потом уже их доказывать, причем не всегда даже рекомендуется проводить полностью строго логический ход доказательства.

Не останавливаясь на мелких сомнениях (напр., при помощи опыта нельзя получить теорему, а можно лишь использовать опыт с целью подтолкнуть к изысканиям по отношению к известному геометрическому вопросу), обратим внимание на то, что здесь систематический курс предлагается, в общем, такой же, каковым он был и раньше, когда не было в начальной школе или в младших классах средней школы пропедевтического курса. Это обстоятельство, с одной стороны, указывает, что даже сами реформаторы не придают существенного значения пропедевтическому курсу, а с другой стороны, имеет место опасение: раз систематический курс геометрии, как то было и раньше, распадается на ряд теорем, то не будет ли иметь место и в будущем тот результат, который так часто приходилось встречать в прошедшем, а именно – ученикам, окончившим среднюю школу, геометрия представляется в виде собрания теорем, неизвестно почему или зачем появившихся, причем эти теоремы надо еще почему-то доказывать.

Другое отношение к систематическому курсу имеется в докладе С. А. Богомолова. Здесь мы ясно видим стремление переделать обычный курс геометрии по новому: 1) установить определенную систему аксиом; 2) каждая теорема должна явиться необходимым логическим следствием системы аксиом и доказанного ранее – все это говорит о стремлении автора придать систематическому курсу форму логической системы. В этом направлении уже имеется и ряд работ: 1. F. Enriques. – «Fragen der Elementargeometrie» (перевод с итальянского). Здесь даны работы ряда лиц по различным вопросам элементарной геометрии, причем руководителем этих работ является сам F. Enriques, которому принадлежат 2 статьи в этой книге, и одна из них – «Bemerkungen zum Unterricht in der wissenchaftlichen Geometrie» – трактует вопросы педагогического характера. Многие дальнейшие статьи изложены так, что у многих, подпавших под влияние работ Паша, Веронезе, Гильберта и др., может возникнуть мысль провести многие результаты этих статей в учебник геометрии. 2. Halsted. – «Geometrie rationelle» (перевод с английского). Автор дает учебник геометрии для средней школы именно в том духе, который имеет место в докладе С. А. Богомолова: в основу положены аксиомы Гильберта, а дальнейшее содержание состоит из ряда теорем, которые автор стремится привести в логическую систему. (Конечно, как это отмечено выше по отношению к работам Гильберта, можно сомневаться в возможности этого, а тем более для учебника.)

Такое отношение к систематическому курсу геометрии может возбудить большое сомнение: неужели же средняя школа должна насильственно вовлекать своих учеников на тот путь по отношению к геометрическим знаниям, какой избран лишь специалистами, посвятившими свои силы на проведение геометрии в логическую систему. Если мы вообразим ученика, имеющего задатки сделаться в будущем вторым Штейнером, то та кропотливая и мелочная работа приведения в логический порядок уже разученных геометрических фактов должна показаться ему неинтересною и может побудить его вовсе бросить занятия геометриею. Еще более сомнений может вызвать такой курс для учеников, не обладающих данными для посвящения себя изучению математики после окончания средней школы.

Вот те сомнения, какие имеют место по отношению к взглядам современной педагогической мысли, ищущей новой постановки курса геометрии.