Все предыдущее склоняет к мысли изменить постановку курса геометрии так, чтобы привести ее в соответствие с взглядом на геометрию, изложенным в главе 3-ей.

Прежде всего возникает желание изменить самую постановку учебного дела вообще, изменить так, чтобы, вместо обычного задавания и спрашивания уроков, в классе протекала бы работа, выполняемая учениками при содействии учителя, работа, свойственная тому или другому учебному предмету (в данном случае геометрии).

Классные занятия направлялись бы тогда мыслью освоить учащихся с характером указанной работы, а косвенным результатом такой постановки учебного дела явилось бы и накопление у учащихся фактических знаний: в самом деле, работать можно лишь над каким-нибудь материалом, и самое выполнение работы должно повлечь за собою, без всяких заучиваний, усвоение этого материала учащимися или, по крайней мере, должно привести учащихся к убеждению, что надо запомнить известный фактический материал, и учащиеся станут его разучивать не потому, что это им задается или что этого требует учитель, а потому, что они увидят, что без этого они не могут участвовать в текущей классной работе.

Рассмотрим особенности, имеющие общий характер, этой работы по отношению к курсу геометрии. Сделать это необходимо в связи с главою 3-ею, которая устанавливает определенный взгляд, положенный в основу настоящей работы, на самый предмет геометрии.

Работа должна начаться с выработки сознательного отношения к тому факту (он проходит как-то мимо сознания у множества людей, не только учащихся, но и взрослых), что мы повсюду видим границы. Эта сознательность должна заключаться просто в том, что, напр., смотря (чер. 8) мы констатируем, что мы видим и черную и белую области и видим границу между ними. В связи с изложенным в главе 3-ей, учащиеся постепенно устанавливают факт существования границ трех родов, возможность для себя и воображать и мыслить их как бы отдельно существующими, возможность изыскания наиболее простых линии и поверхности и переходят к работе комбинационного характера. Эта работа, начинаясь с очень не сложных комбинаций, постепенно усложняется, появляется ряд вопросов, на которые надо изыскать ответы, ряд руководящих мыслей, которые ведут к новым и новым комбинациям. Всякий раз, когда во время этой работы наше внимание подмечает факты, которые почему-либо представляются нам заслуживающими внимания, мы должны эти факты формулировать словами и по возможности запечатлеть их в своем сознании. Появляется таким образом ряд теорем (и аксиом), причем на первый план окажется выдвинутым вопрос об их происхождении.

Те вопросы, которые появятся на протяжении этой комбинационной работы, потребуют для нахождения на них ответа или какого-нибудь геометрического процесса (наложение, перегибание плоскости, вращение и т. д.) или сопоставления рассматриваемой комбинации с теми, которые уже разучивались ранее. Иногда тот процесс, при помощи которого можно получить новый образ, соответствующий зародившемуся вопросу, а иногда то построение (циркулем и линейкою), которое приводит к этому новому образу, влекут за собою новые вопросы, и на них внимательное рассмотрение процесса или построения сразу дают ответы. Иногда во время рассмотрения процесса или во время вышеуказанного сопоставления выясняются особенности, не являющиеся ответами на возникшие ранее вопросы, а имеющие несколько неожиданный характер. Получаемые результаты во всех случаях являются фактами, обогащающими содержание геометрии. При детальном рассмотрении курса геометрии мы дадим примеры, иллюстрирующие все вышеуказанные случаи.

С точки зрения практического обучения важно наладить работу так, чтобы и направляющие работу вопросы и ответы на них возникали бы сами собою в сознании учащихся, а не навязывались бы им учащим. Однако, неизбежен и тот случай, что учащему приходится приводить в отчетливость тот вопрос, наличность которого можно подозревать у учащихся, но выявить который сами учащиеся не могут, благодаря тому, 1) что они еще очень не привыкли разбираться в своих представлениях и 2) что еще очень затрудняются передавать словами содержание своих представлений. Все это педагогу-практику должно иметь в виду и должно, даже в том случае, когда с первого взгляда кажется, что необходимый, естественно возникающий на протяжении предыдущей работы вопрос вовсе не имеется в сфере сознания учащихся, необходимо должно показать учащимся, что этот вопрос, даже если его придется во всей полноте выразить учащему, не висит в воздухе, а имеет прочную опору в предыдущем, и в представлениях учащихся имеются элементы, которые к этому вопросу должны были бы их самих привести, если бы они были более опытны в умении разбираться в своих представлениях. Примеры этого также будут даны при детальном рассмотрении курса.

В некоторых частях курса геометрии поневоле придется отказаться от вышенамеченной схемы ведения курса. А именно, имеются в содержании геометрии отдельные моменты (но их в нашем обычном курсе очень мало), относительно которых возникает сомнение, что быть может, подведение учащихся к таким моментам излишне, так как оно или повторяет работу, уже выполнявшуюся ранее, или требует слишком много времени для своего осуществления, которое более рационально использовать иначе. В таком случае придется стать на обычный путь, т. е. Дать формулировку той геометрической особенности, которая имеет здесь место, а затем дать ее пояснение (если угодно: формулировать теорему, а затем ее доказывать). Но таких моментом, повторяю, не много, и прибегать к этому приему придется более часто только тогда, когда имеешь дело с учениками, уже привыкшими к геометрической работе (с учениками, уже геометрически развитыми). К числу таких моментов, напр., приходится, по-видимому, отнести теорему Пифагора.

На протяжении всей этой геометрической работы явится неизбежным: 1) приводить в отчетливость все те зародыши геометрических знаний, какие имеются у учащихся под влиянием или жизненного опыта или неясной интуиции; 2) приводить в отчетливость все те новые для учащихся представления (т. е. такие, с которыми не приходилось учащимся сталкиваться при жизненном опыте), которые постепенно входят в содержание геометрии и дают начало новым и новым изысканиям; 3) выдвинуть на видное место, всякий раз, когда приходится с этим сталкиваться, ту работу обобщающего характера, на развитии которой зиждятся целые отделы геометрии (напр., учение о равновеликости, учение о перпендикулярности в пространстве и т. п.).

Отнюдь нельзя думать, что приведению в отчетливость всех геометрических представлений, как тех, которые отчасти заимствованы из житейского опыта, так и тех, которые вводятся в курс, по мере его развития, способствуют так называемые определения. Нет, словесные определения, вообще говоря, этой цели не достигают, и лишь тогда, когда учащемуся ясно происхождение того или другого объекта, того или другого представления, становится возможным утверждать, что желаемая ясность достигнута. В виду этого, во многих случаях следует отказаться от определений и заменить их сознанием учащихся: «я умею получить (или построить) то-то и то-то». Сознание «я умею строить треугольник» дает возможность работать над треугольниками и над вопросами, с ними связанными, и дает ее в большей мере, чем знание определения понятия «треугольник». Так же точно, напр., определение окружности (линия, все точки которой находятся на равных расстояниях от одной, данной, точки или геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки) во многих случаях для учащихся является лишь фразою, осмыслить которую их еще неопытный ум не в силах, и эта фраза в таких случаях, в сущности, не дает возможности работать над окружностью и над вопросами с нею связанными. Иное дело, если учащиеся, отказавшись от заучивания определения окружности, усвоят способ ее получения при помощи вращения на плоскости прямолинейного отрезка (около одного из его концов) – этого представления, связанного с умением построить окружность, достаточно, чтобы вести работу над изучением вопросов, где входит построение окружности.

Конечно, в этом отказе от определений не следует доходить до педантизма и вовсе не ставить вопросов, начинающихся словами: «что называется?» … Следует лишь все время иметь в виду, что не в этих словесных определениях суть дела и что они всегда могут быть заменены выяснением происхождения того или другого понятия или умением получить тот или иной объект.

Необходимо обратить внимание на то, что проработка курса геометрии в вышеуказанном направлении потребует значительно больше времени, чем обычно на этот курс предназначается. В особенности нельзя спешить при прохождении начала курса; здесь необходимо дать учащимся много материала для работы, которая позволила бы прочно закрепиться в сознании учащихся основным геометрическим образам. Так же точно следует очень замедлять темп курса тогда, когда в курсе выступает ряд обобщений. Можно, наоборот, ускорить темп курса в его последних частях (измерение поверхностей и объемов), когда учащиеся уже настолько привыкли к характеру геометрической работы, что нет надобности уже долго останавливаться на ее отдельных этапах. Однако, здесь придется затратить сравнительно много времени на приучения учащихся к стереометрическим чертежам и на ряд упражнений, связанных с вопросами измерения поверхностей и объемов.

Следует еще заметить, что естественно сначала выделить рассмотрение комбинаций, умещающихся на плоскости, а затем уже перейти к комбинациям пространственным; другими словами, я считаю, что обычное подразделение курса геометрии на планиметрию и стереометрию – законно и естественно. Если сторонники фюзионизма дадут в своих будущих работах новые образцы слияния планиметрии и стереометрии в один курс и эти образцы окажутся способными выдержать серьезную критику, то я соглашусь на одновременное прохождение геометрии на плоскости и в пространстве. В настоящее время таких образцов не имеется и приходится, не впадая, однако, в педантизм, строить методику курса на основе разделения планиметрии и стереометрии.

Курс геометрии G. Lazzeri und A. Bassani, написанный под влиянием идей фюзионизма, не является достаточно убедительным для оправдания слияния планиметрии со стереометриею в учебном курсе геометрии.

Следует еще остановиться на геометрических задачах на построение.

Задачи на построение достигают цели развития учащихся только тогда, когда происхождение этих задач ясно для учащихся. Последнее будет иметь место лишь тогда, когда отдельные задачи на построение появляются само-собою благодаря развитию какого-либо общего вопроса. Основные задачи на построение (вроде построения перпендикуляра к данной прямой, деление угла пополам, построение треугольника, например, по 3 сторонам и т. п.) появятся в курсе, как необходимые его элементы. Например: нельзя работать над изучением треугольника, если не уметь его построить, нельзя пользоваться равенством треугольников, если не уметь построить треугольника, равного данному, и т. п. Более сложные задачи на построение отнюдь не следует предлагать учащимся так, как это обычно у нас делают. А обычный порядок таков: берут или особый сборник задач на построение или маленькие сборники, прилагаемые к различным главам учебника, и стремятся добиться, чтобы ученики умели решать многие из задач этих сборников, причем стремятся даже привести в формальный порядок мысль учащихся по поводу этих задач, для чего вводят 4 стадии работы: анализ задачи, построение, доказательство и исследование построения. Для приведения самих задач в известную систему, облегчающую учащимся усвоение их решения, служат, как известно, «методы» решения геометрических задач на построение.

Такое отношение к делу следует признать глубоко неправильным. Почему, например, как то имеет место в учебнике А. Киселева, учащимся предлагают еще в начале курса геометрии решить задачу на построение треугольника по основанию, противолежащему углу, и по сумме двух остальных сторон? Для учащихся не выяснена та работа комбинационного характера, которая способствовала появлению этой задачи, и, благодаря этому, ученик станет думать и работать над решением такой задачи только потому, что от него это требуют, но для него и непонятно происхождение этой задачи и безжизненны те «анализ, построение, доказательство и исследование», которые связывают с этой задачей.

Естественно возникшей эта задача могла бы быть в таком курсе геометрии, в котором было бы уделено известное место вопросу о том, какие треугольники определяются, если построен один треугольник, помимо этого построенного. Так как этот вопрос вряд ли уместен в нашем школьном курсе геометрии, то приходится думать, что как эта задача, так и целый ряд других, происхождение которых не может быть выяснено на протяжении этого школьного курса, должны быть отброшены. Взамен того появится ряд задач, тесно связанных с курсом, происхождение которых будет в большей или меньшей степени ясно для учащихся, и решению этих задач не придется учить, пользуясь схемой: «анализ, построение, доказательство и исследование»; их решение становится достаточно ясным для учащихся, раз ясно происхождение самих задач.

Во всяком случае, следует установить, что геометрии учат не для того, чтобы научить решать ряд более или менее замысловатых задач на построение.