Взгляд на геометрию

Наиболее продуктивным для педагогических целей следует считать взгляд на геометрию, намеченный, хотя и кратко, в вышеупомянутом мемуаре А. Пуанкаре – «Наука и метод»; этот взгляд является объединяющим для всех наук, придавая им характер изысканий в области комбинаций, которые, постепенно усложняясь, создаются каждой наукой из материала, относящегося к ее введению.

Каждая наука отбирает в свое ведение ряд фактов, которые составляют тот материал, над которым наука производит свою работу.
Происходит как бы отбор фактов: такой-то факт известная наука берет в свое ведение, а другой отбрасывает, как не подлежащий ее компетенции. Так, факт существования какой-либо звезды берет в свое ведение астрономия, те события, какие имеют место в России в настоящее время (1918 г.) возьмет в свое ведение история и т. д. и т. д. Иногда удается более или менее удачно общими словами охарактеризовать тот материал, который принадлежит ведению известной науки. Например, механику определяют, как науку о движении, указывая этим, что к ведению механики относятся факты, так или иначе связанные с движением. Иногда, наоборот, бывает чрезвычайно трудно выделить при помощи общего определения тот материал, который относится к ведению известной науки. Например, мы знаем, что чрезвычайно трудно отделить те факты, которые относятся к области физики, от тех, которые относятся к химии.

Каждая наука на разных стадиях своего развития стремится классифицировать свой материал; иногда эта классификация происходит уже на первых стадиях развития науки, иногда – лишь на последующих. При этом всегда имеет место стремление из всего материала, которым наука в данный момент владеет, выделить тот, который по тем или иным признакам признается нами за простейший. Вспомним стремление химии выделять те элементы, которые не удается разложить на другие и которые называются простыми.

Содержание главной работы, при помощи которой происходит развитие науки, во всех науках сводится к изучению различных комбинаций из материала этой науки, причем эти комбинации либо берутся, как отдельные факты, в готовом виде, либо искусственно составляются в связи с известною руководящею мыслью или определенною целью. Это изучение приводит к открытию ряда особенностей каждой комбинации, из которых одни более, а другие менее привлекают ваше внимание. Если у ряда комбинаций удается подметить аналогичные особенности, то это обстоятельство ведет к установлению закона для этой науки. Если когда-то, очень давно, обратила на себя внимание особенность комбинации, получаемой от трения палочки смолы о мех, особенность, состоящая в том, что после этого смола начинает притягивать легкие тела, то эта особенность послужила исходным пунктом для изучения ряда других комбинаций, особенности которых заставили построить целый ряд новых комбинаций и т. д., и в результате мы теперь имеем учение об электричестве с целым рядом законов.

Развитие математики, а в частности геометрии, должно было совершаться таким же путем. За исходный пункт числовой ветви математики (арифметика, алгебра, анализ) следует признать тот факт, что человек умеет выделять из всего окружающего группы предметов. Под влиянием этого факта были созданы числа, сначала целые, а затем, по мере развития работы, дробные, относительные и т. д., и эти числа являются тем материалом, над которым работает числовая ветвь математики.

За исходный пункт геометрии следует признать тот факт, что мы всюду вокруг себя видим различные границы: вот облако на синем небе – мы видим границу между небом и облаком; вот линия горизонта – она нам представляется границею между небом и землею; вот стена – и мы видим границу между нею и внутренностью комнаты и т. д. и т. д.

Ориентируясь в этом факте, мы приходим к заключению, что можно все наблюдаемые нами границы разделить на 3 категории, разницу между которыми трудно выразить словами, но легко подметить эту разницу, если станем показывать различные границы: в одних случаях придется делать движение всею ладонью руки, как бы мазать, в других – делать движение лишь пальцем – обводить и в третьих случаях придется лишь указывать. После внимательного рассмотрения разных наблюдаемых границ, мы приходим к убеждению, что иного сорта границ не существует (точнее: мы не наблюдаем). Далее, рядом опытов, рядом попыток мы приходим к убеждению, что отделить эти границы от предметов нельзя, что эти границы, хотя мы их и видим, самостоятельного материального существования не имеют. Однако, это обстоятельство не может помешать нашему воображению представлять их так, как будто они отдельно существуют, и не может помешать нашему мышлению мыслить об них, как о существующих отдельно. Раз этот акт выполнен нашим сознанием, то этим самым наше сознание создало нематериальные границы трех видов, и мы называем их поверхностями, линиями и точками. Эти нематериальные, геометрические, поверхности, линии и точки и являются тем материалом, над которым работает геометрия.

Возникает потребность разобраться в этом материале: нельзя ли выделить из него какие-либо элементы, которые по некоторым признакам могли бы быть признаны за простейший материал. Придется при этом, конечно, руководиться лишь представлениями, которые возникают на почве наблюдения и опыта, так кк иного критерия в нашем распоряжении еще не имеется. И прежде всего эти представления заставляют нас признать, что все точки сходны между собою – среди них выбирать простейших не приходится. Среди линий – указывают нам те же представления – имеется большое разнообразие, и мы можем поставить задачу об изыскании линий, которые по каким-либо признакам можно было бы признать за простейшие. Наилучшим средством для решения этого вопроса является опыт вращения проволоки, закрепленной в двух местах (точках). Этот опыт говорит нам, что если мы вообразим через две точки какую-либо линию, то таких же линий мы можем через эти 2 точки вообразить бесконечно много. Однако, этот опыт говорит нам и о том, что может выйти случай, что линия при ее вращении вокруг двух точек не меняет своего положения. Это значит, что мы можем вообразить, можем мыслить особую линию, положение которой определяется двумя точками. Этот признак достаточен, чтобы признать ее за самую простую линию, чтобы назвать ее особым именем – прямая линия, и чтобы наделить ее особым свойством, отличающим ее от других: через 2 точки можно вообразить лишь одну прямую линию.

Становится на очередь следующая задача: выделить, если удастся, среди поверхностей такие, которые по известным признакам могли бы быть сочтены за простейшие. К решению ее можно подойти двояко: 1) при помощи известного опыта прикладывания к поверхности стола, стены и т. п. ребра линейки, обрезанного по прямой линии (ею уже можно пользоваться), с целью увидать промежутки между испытуемой поверхностью и ребром линейки – под влиянием этих опытов возникает мысль о возможности признать существование поверхности, на которой прямая линия укладывается всюду, и как бы ее ни положили, без промежутков; 2) при помощи образования поверхности посредством движения прямой линии – если прямая a движется так, что всегда проходит через точку M и всегда встречает прямую m (не проходящую через точку M), то прямая a описывает особую поверхность, которую мы можем признать за самую простую (не вкладывая в это слово «простую» ничего более, как только то, что способ образования этой поверхности нам очень ясен). Оба приема позволят признать полученные поверхности существующими, дать их особое имя – плоские поверхности – и наделить их свойствами: при первом приеме само собою выясняется, что всякая прямая совпадает с плоскостью, если имеет с ней две общих точки, а при втором непосредственно выясняется, что прямая и точка вне ее определяют положение плоскости. Конечно, в свое время должен быть решен вопрос, тождественны ли те поверхности, которые являются результатами этих двух определений. С точки зрения методики не следует поэтому вводить сразу оба приема для выделения из множества поверхностей особой, плоскости, так как вряд ли возможно сейчас же поставить естественно возникающий из сопоставления обоих приемов вопрос на разрешение.

Комбинационная работа, благодаря которой развивается содержание геометрии, должна начаться с рассмотрения наиболее простых комбинаций. Комбинируем самую простую линию, прямую, и точку. Если мы вообразим (построим) как-нибудь прямую линию и как-нибудь точку, то в этой комбинации мы не замечаем ничего особенного до тех пор, пока точка не будет взята на прямой линии. Тогда мы подметим некоторую особенность: прямая разделилась на 2 части, каждая часть идет от точки без конца. Эта особенность требует лишь введения новых названий: каждую часть называем лучем. Возникает вопрос: не будет ли в какой-нибудь момент чего-либо еще особенного, если точка станет передвигаться по этой прямой? Представив себе это перемещение точки, отвечаем: нет, ничего нового не будет – всякий раз будет получаться 2 луча. Тогда усложним комбинацию: возьмем прямую и на ней 2 луча. В этой комбинации мы, кроме двух лучей, замечаем еще новое: прямая разделилась на 3 части, две из которых суть лучи, а третья часть идет от точки до другой точки; эту третью часть мы называем опять новым именем – «прямолинейный отрезок» или просто «отрезок». Станем 2 точки перемещать по прямой: в одном или в противоположных направлениях, навстречу друг другу или обратно, – мы представляем, что чего-либо нового, чего-либо особенного здесь ни в один момент не будет: всякий раз будут получаться те же 3 части. Тогда является мысль построить комбинацию, обратную (в известном смысле слова) рассмотренной: здесь были скомбинированы одна прямая и на ней 2 точки; возьмем теперь одну точку и через нее 2 прямых. Полученная комбинация обладает известною симметриею и, благодаря этому, возникает мысль сначала рассмотреть более простую комбинацию: точку из нее два луча – даем ей название «угол». Подобно тому, как выше мы передвигали 2 точки по прямой, теперь станем вращать лучи вокруг точки, и, в противоположность предыдущему, здесь наступает момент, когда замечается особенность: в известный оба луча расположатся по прямой линии. Комбинация по своему составу осталась такою же: точка и из нее 2 луча; поэтому должно ей оставить прежнее название «угол», но у нее есть особенность: лучи расположены по одной прямой; поэтому это – особенный угол, выпрямленный или развернутый.

Тот факт, что среди углов есть особенный угол, чрезвычайно важен для геометрии. Отсюда, между прочим, вытекает то обстоятельство, что для отрезков нет абсолютной единицы – меры, а для углов есть. Возможно, но это для педагогической стороны дела менее удобно, за основной особенный угол принять «полный» угол: при вращении один луч, описав полный оборот, совпадает с другим.

Далее возникает потребность комбинировать между собою уже образованные комбинации: отрезки между собою и углы между собою. Здесь, так или иначе, должна возникнуть мысль о сближении с арифметикой, и мы находим возможным применять к отрезкам, а также к углам, понятие «столько ж, больше и меньше», понятие о сложении и вычитании отрезков и углов. Относительно отрезков дело чрезвычайно просто, и мы остановимся здесь лишь на одном моменте. Сложение чисел в арифметике появилось, как отражение процесса «сдвижения» двух групп предметов: из двух групп образуется одна. Аналогично этому возникает возможность сдвижения двух отрезков, чтобы из двух отрезков получился один. Это слово «получился» можно понимать и в более широком смысле: чтобы двумя отрезками определился один. И если мы «сдвинем» два отрезка так, как на черт. 1, то мы увидим, что «сдвинутые» (сближенные) отрезки AB и AC даже и в данном на чертеже расположении определяют новый отрезок BC.

Два луча и точка

Мы можем хотя бы один из этих отрезков вращать около точки A, и определяемый отрезок BC будет все время оставаться, хотя и будет деформироваться; мы можем, наконец, остановиться и на том особенном расположении, когда точки B, A и C расположатся на одной прямой, и принять этот случай за наиболее удобный и наиболее простой (здесь получается не какая-либо новая комбинация – фигура, как на чертеже, а прежняя). Вопрос, какое именно расположение сдвигаемых отрезков выбрать за расположение, определяющее их сумму, зависит от того, как мы можем перемещать отрезок в пространстве, чтобы считать, что при этом перемещении он оставался бы равным самому себе. И мы знаем различные отношения к этому вопросу: если, например, мы признаем, что отрезок остается равным самому себе, как бы он в пространстве ни перемещался, то мы выбираем из предыдущего определения суммы такой случай, какой нам представляется наиболее удобным и простым (черт. 2): к отрезку AB придвинут другой отрезок так, чтобы один его конец совпал с точкою A, а другой попал бы в какую-либо точку C, лежащую на одной прямой с B и A.

Перенесение отрезка

Если мы признаем, что направление отрезка существенно и что отрезок остается равным самому себе лишь тогда, когда он перемещается параллельно самому себе, то мы принуждены при выполнении сложения отрезков ограничиться только этим параллельным перенесением (чер. 3): к отрезку AB придвинут другой отрезок так, что новое положение AC параллельно первоначальному.

Параллельное перенесение отрезка

Первым способом мы пользуемся в геометрии, а вторым в теории векторов.

По отношению к углам возникает затруднение: мы, по-видимому, не можем, рассматривая угол, лишь как комбинацию «точка и из нее два луча», и не присоединяя к нему еще чего-либо, ни выполнять сравнения углов, ни выполнять действий над углами. Является надобность присоединить к углу еще что-либо, и поводом для этого является то обстоятельство, что мы всегда можем рассматривать угол расположенным на плоскости и что эта плоскость делится углом на 2 области. Присоединим одну из них к углу, какую именно – безразлично, так как нет непосредственных признаков, как-либо отличающих одну от другой. Эту присоединенную к углу область называют внутреннею областью угла (она лежит «внутри» угла), а другую назыв. внешнею (она лежит «вне» угла). (D Hilbert так смотрит на понятие угол: пусть из точки O построены на плоскости 2 луча h и k. Тогда система этих лучей h и k называется углом. Эта система (лучей h и k и точки O) все остальные точки разделяет на 2 области. Если точка A в одной области и B – в другой, то ломаная, соединяющая A и B, непременно или проходит через O или имеет общую точку с h или k. Если A и A' в одной области, то можно соединить эти точки такою ломаною, что она не проходит через O и не пересекает лучей h и k. Одна из этих областей отличается от другой лишь тем, что в одной можно взять такую пару точек, что прямолинейный отрезок, их соединяющий, пересекает h и k, а в другой таких двух точек найти нельзя. Первая называется внешнею областью угла, а вторая – внутреннею.) Внутреннюю область угла следует, если не сделано по этому поводу каких-либо добавочных условий, отмечать, например, как на чер. 4. В зависимости от того, какая именно область принята за внутреннюю и присоединена к углу, мы, после построения точки и из нее двух лучей, получаем 2 разных угла.

Различные углы

Теперь является возможность выполнять сравнение углов (т. е. отличать равные углы и больший от меньшего), для чего имеет место способ наложения: накладывают один угол на другой, чтобы совпали их вершины и по одной их стороне и чтобы их внутренние области пошли бы друг по другу. Если построен выпрямленный угол, то сравнение двух углов, получаемых от присоединения к нему одной или другой части плоскости, показывает, что оба угла следует считать равными. Если присоединить сюда еще сравнение двух выпрямленных углов, построенных в разных местах плоскости, то явится возможным установить, что все выпрямленные углы равны, и тогда все остальные углы явится возможным разделить на 2 класса: углы, меньшие выпрямленного, и углы, большие выпрямленного. Возможно, как это обычно и делают, ограничиться на первых порах только одним из этих классов, а именно – углами, меньшими выпрямленного. Тогда вводится условие: если внутренняя область угла не обозначена как-либо (например, как это обозначалось на предыдущем чертеже), то предполагается угол, меньший выпрямленного. Нетрудно также теперь изобрести процесс сдвижения углов, который соответствовал бы действию сложения. Если ввести в дело углы, большие выпрямленного, то выполнение сложения двух, каждый из которых больше выпрямленного, углов потребует дальнейшего расширения взгляда на угол, а именно, введения углов, больших полного.

После введения в дело действий над углами, возникает целый ряд вопросов, ведущих к построению новых комбинаций и к изучению их особенностей. Тот факт, что при сложении двух углов явится возможность случая, когда получаемая сумма есть выпрямленный угол, ведет к понятию о смежных углах.

Задача «дополнить данный угол до выпрямленного», которая может быть решена двумя приемами (продолжить или одну сторону или другую данного угла), ведет к изучению фигуры, какую мы уже построили, а именно к комбинации, состоящей из точки и двух прямых, проходящих через эту точку. Здесь подмечается особенность, которая, после введения термина «вертикальные углы», формулируется предложением: «вертикальные углы равны между собою». Это предположение является первою теоремою.

Теперь ясен тот путь, который поведет к происхождению других теорем; в дальнейшем придется разучивать новые быть может, более сложные комбинации, построенные согласно каким-либо естественно возникшему вопросу, либо согласно намеченной цели; если при этом разучивании удастся подметить какую-либо особенность, какую мы признаем и интересною и существенною, то эту особенность мы запечатлеваем в словесной форме, – таким образом получается ряд теорем геометрии.

Мы остановились на комбинации, состоящей из точки и двух прямых, через нее проходящих. Здесь возникают две руководящих мыли для продолжения работы: 1) до сих пор мы имели дело лишь с прямыми пересекающимися; возникает вопрос: нельзя ли получить две прямых, вовсе не пересекающихся? Этот вопрос ведет к учению о параллельных прямых. 2) Мы рассмотрели комбинацию, состоящую из двух пересекающихся прямых; усложним ее присоединением третьей прямой, – эта мысль ведет к изучению треугольников.

Возможно, в зависимости от того, как нам это больше понравится, направить дальнейшее развитие геометрических знаний и в том и в другом направлении. В дальнейшем также являются возможности направиться или в том ли в другом направлении. Таким образом все содержание геометрии представится в виде ряда подмеченных особенностей, являющихся результатами работы над рядом вопросов, естественно возникающих, последовательно один за другим, но не располагающихся в одну непрерывную цепь, а располагающихся, скорее, в форме скелета дерева (ствол, суки и ряд ветвей).

Следует отбросить взгляд на геометрию, как на цепь необходимых логических заключений. Логика прежде всего не есть цель геометрии; логика является лишь орудием, и не единственным, для приобретения геометрических знаний. Роль логики двоякая: 1) она принимает участие в постановке тех вопросов и в установлении тех целей, которые ведут и к построению новых комбинаций и к изучению их; 2) она принимает участие и в изыскании ответов на поставленные вопросы и в той работе, благодаря которой удается подметить особенности разучиваемых комбинаций.

Пусть этот взгляд на развитие содержания геометрии не отражает в большой мере исторический ход этого развития, но зато этот взгляд является ответом на естественный вопрос: как могло бы быть объяснено развитие содержания геометрии? Для преподавания геометрии иметь такой взгляд на предмет преподавания является чрезвычайно ценным, и он положен в основу дальнейшего построения настоящего курса методики геометрии.