Введение в стереометрию

Прохождение первых глав стереометрии должно направляться такою общею мыслью. Изучение различных комбинаций на плоскости привело к установлению основных геометрических понятий, определяющих собою ту или иную особенность расположения. Таковыми понятиями являются: 1) параллельность прямых, 2) перпендикулярность прямых и 3) угол. Теперь работа переходит в более широкую область: раньше работали на плоскости, теперь переходим в пространство. И материал, над которым приходится работать, становится разнообразнее: раньше все время была лишь одна плоскость, теперь – в пространстве – их имеется бесконечно много. В этой работе направляющею мыслью должно служить на первых порах стремление расширить, обобщить идею параллельности, идею перпендикулярности, идею угла на более разнообразные пространственные фигуры.

Наиболее удобным является такое строение курса: 1) параллельность в пространстве; 2) перпендикулярность в пространстве; 3) комбинации, где входят и параллельные и перпендикулярные элементы, и 4) обобщение понятия об угле (угол между двумя непересекающимися прямыми, угол, составленный прямой и плоскостью, двугранный угол, трехгранный и многогранный угол). (Такое строение курса проведено в моей «Геометрии в пространстве».)

Исходным пунктом для развития идеи параллельности является задача: через данную точку построить прямую, параллельную данной прямой; мы умеем решать такую задачу на плоскости и знаем, что ей соответствует постулат, что такая прямая возможно лишь единственная. Возникает вопрос о перенесении этого построения в пространство. Такое перенесение не встречает никаких затруднений, так как данною прямою и данною вне ее точкою определяется положение плоскости, на которой приходится повторить уже известное планиметрическое построение. Разбирая это построение, можно прийти к мысли, что термин «параллельные» прямые следует и для пространства принимать не только как непересекающиеся прямые, но и расположенные в одной плоскости. Учащиеся должны, хотя бы лишь при помощи палочек, достигнуть отчетливого представления о существовании в пространстве прямых и не пересекающихся и не параллельных – их иногда называют скрещивающимися прямыми. Итак, здесь будет установлено, что через любую точку пространства можно построить прямую, параллельную данной, и только единственную. Далее возникает мысль расширить понятие о параллельности, применяя его к плоскости и прямой или к двум плоскостям. Такое расширение находится в зависимости от того, удастся ли или нет построить плоскость и прямую или две плоскости, не пересекающиеся друг с другом. К первому расширению приходим построением прямой, параллельной какой-либо прямой, лежащей на плоскости. Разбирая это построение, приходим к заключению, что через точку можно построить бесконечно много прямых, параллельных данной плоскости. Ко второму расширению понятия о параллельности приходим, рассматривая в предыдущем построении данную плоскость и ту, которая определяется парою прямых, построенных через данную точку параллельно данной плоскости. Здесь возникает вопрос: таких пар параллельных прямых можно через данную точку построить бесконечно много – совпадают ли или нет определяемые ими плоскости? Когда удастся выяснить обязательность совпадения, приходим к установлению положения, что через данную точку можно построить плоскость, параллельную данной, и только единственную.

Естественный порядок развития учения о перпендикулярности в пространстве представляется таковым. На плоскости мы ознакомились с особым расположение двух прямых, выражаемом термином «перпендикулярные прямые», причем были решены две основные задачи: 1) дана прямая и точка на ней; построить через данную точку перпендикуляр к данной прямой; 2) дана прямая и точка вне ее; построить через данную точку перпендикуляр к данной прямой. Каждая из этих задач имела лишь единственное решение. Теперь возникает потребность решить те же две задачи в пространстве. Решение каждой из них легко сводится к планиметрическому построению. В первой задаче через данную прямую строим любую плоскость и на ней выполняем построение перпендикуляра. Во второй задаче данными прямою и точкою определяется лишь единственная плоскость, на которой надо выполнить соответствующее построение. Обращает на себя внимание особенность первой задачи: через точку, взятую на данной прямой, можно построить к этой прямой бесконечно много перпендикуляров. Тогда возникает вопрос: нет ли особенности в расположении этих перпендикуляров? И непосредственное представление, и рассуждения (они даны в моей «Геометрии в пространстве») позволяют установить, что все эти перпендикуляры расположены в одной плоскости. В курсе средней школы, быть может, следует в этом вопросе довольствоваться непосредственным представлением. Раз эта особенность установлена. То является, следовательно, возможность установить особенность расположения данной прямой и полученной плоскости: данная прямая перпендикулярна к любой прямой этой плоскости, проходящей через точку пересечения плоскости с данною прямою. Благодаря этой особенности, является возможным расширить понятие о перпендикулярности и называть данную прямую и полученную плоскость перпендикулярными между собою. Возникает вопрос, как 1-е основные задачи должны иметь место на построение перпендикулярных между собою прямой и плоскости. И легко уясняется, что их должно быть не 2, как на плоскости, а 4. Построить плоскость, перпендикулярную к данной прямой, через точку, 1) данную на прямой и 2) данную вне прямой; построить прямую, перпендикулярную к плоскости, через точку, данную 1) на плоскости и 2) вне плоскости. Надо эти задачи решить, причем последняя из них может привести к рассмотрению комбинаций, где сочетаются перпендикулярные и параллельные элементы. Подробное рассмотрение этих комбинаций имеется в моей «Геометрии на плоскости». Дальнейшее обобщение понятия о перпендикулярности, а именно вопрос: можно ли, и при каких условиях, установить понятие о двух перпендикулярных плоскостях, приходится отложить до того момента, когда, обобщая понятие об угле, придем к двугранным углам.

Обобщение понятия об угле идет в такой последовательности. То, что мы раньше называли именем угол, есть объект, состоящий из точки и двух выходящих из нее лучей. Нельзя ли обобщить это понятие так, чтобы 1) признавать за угол объект, составленных двумя пересекающимися плоскостями, которые как бы обрезаны по прямой пересечения; 2) принимать, что и 2 непересекающиеся прямые образуют угол; 3) считать, что плоскость и прямая, пересекаясь, образуют угол и 4) признать за углы объекты, составленные тремя, четырьмя и т. д. плоскостями, сходящимися в одной точке.

По поводу первого из этих шагов следует обратить внимание на аналогию: там (в обыкновенном угле) точка – вершина угла, здесь прямая – ребро двугранного угла; там из вершины идут, в одном направлении каждая, две стороны, здесь от ребра идут, в одном направлении каждая, две грани. Обычное доказательство теоремы, что равным линейным углам соответствуют равные двугранные углы, желательно заменить решением задачи: дан обыкновенный угол; построить двугранный угол так, чтобы данный угол оказался для него линейным. То обстоятельство, что задача имеет лишь одно решение, должно заменять доказательство вышеуказанной теоремы.

По поводу 3-го шага в этом обобщении следует заметить, что необходимо сначала (а этого обыкновенно не делают) остановиться на случае, когда прямая перпендикулярна к плоскости. В этом случае удобно принять, что «прямая и плоскость составляют прямой угол», выражая этим тот факт, что прямая составляет прямые углы со всеми прямыми, лежащими на плоскости и проходящими через основание перпендикуляра (впрочем, теперь, когда сделан 2-ой шаг обобщения, последняя оговорка и не нужна). Естественен после этого переход к случаю, когда прямая не есть перпендикуляр к плоскости. Здесь является прежде всего потребность исследовать те углы, которые наклонная образует с разными прямыми, проходящими по плоскости через основание наклонной. Выяснится, что среди этих углов есть наименьший (угол наклонной с ее проекциею), наибольший (угол наклонной с продолжением ее проекции), причем эти углы постепенно переходят от наименьшего к наибольшему. Удобно принять за угол прямой и плоскости наименьший из этих углов. Удобство это ясно из рассмотрения следующего построения (чер. 90). Пусть построено OA ⊥ I плоск., OB – наклонная; построим еще плоскость II, определяемую OA и OB – она пересечется с I плоск. по прямой OC. Тогда OC есть проекция наклонной OB; ∠AOC = d, ∠AOB есть угол, составляемый прямыми OA и OB; ∠BOC дополняет ∠AOB до прямого. Так как мы уже приняли, что OA составляет прямой угол с I плоскостью, так как мы видим тот угол (∠AOB), который наклонная OB составляет с перпендикуляром OA, то удобно приять за угол, составляемый OB и I плоскостью, тот, который дополняет ∠AOB до прямого, а таковым является ∠BOC.

Проекция прямой на плоскость

По поводу 4-го шага обобщения понятия об угле следует указать, что обычное изложение статьи о трехгранный и многогранных углах в той его части, которая дает свойства плоских углов, следует отбросить. Вот схема того урока, какой нужно посвятить разбираемому вопросу.

Урок посвящается ознакомлению с трехгранными углами. Основная мысль урока – добиться рельефного представления о строении трехгранного угла и об его свойствах, минуя доказательство теорем по учебникам. В зависимости от того, как шел курс геометрии до этого момента, следует обратить в той или иной степени на идею обобщения, имеющую место в стереометрии. Речь идет об обобщении понятия угол: сначала (в курсе планиметрии) мы знали лишь обычный угол, т. е. фигуру, составленную из двух лучей, исходящих из одной точки. Постепенно это воззрение расширяется: 1) устанавливается возможность говорить, что и две прямые, непараллельные и непересекающиеся, образуют угол; 2) устанавливается возможность говорить, что перпендикуляр к плоскости составляет с этою плоскостью прямой угол; 3) устанавливается возможность говорить о двугранном угле и 5) устанавливается возможность еще расширить понятие об угле, рассматривая фигуру, состоящую из нескольких плоскостей, пересекающихся в одной точке. Простейшим из последней категории углов является трехгранный угол.

Трехгранный угол

Показывается прежде всего модель, сделанная из картона, трехгранного угла, на которой учащиеся показывают вершину, ребра и грани (названия эти здесь же им и сообщаются); затем показывается трехгранный угол при помощи трех палочек, сходящихся концами, где их и держат рукой (чер. 91). Здесь учащиеся видят вершину, видят ребра и должны прийти к мысли, что этим самым определены и грани трехгранного угла: каждою парою ребер (а таких пар 3), как двумя пересекающимися прямыми, определяется положение плоскости. На этих же двух моделях показывается учащимся, что в каждом трехгранном угле имеется 2 обыкновенных угла («плоские» углы), каждый из которых образован двумя ребрами, и 3 двугранных угла, каждый из которых образован двумя гранями. В соответствии с показанными моделями трехгранных углов на доске выполняются их рисунки (чер. 92 и чер. 93). На этих рисунках вновь ищутся: вершина, ребра, грани, плоские углы и двугранные углы.

Трехгранные углы

Затем полезны следующие вопросы: 1) на чер. 93 я вижу плоские углы: ∠ASB, ∠ASC, ∠CSB; правде ли, что здесь ∠ASC сложен с ∠CSB? Если учащиеся в предыдущем хорошо усвоили процесс сложения углов, то они не затруднятся дать ответ: нет, неправда, потому что сложение углов выполняется на одной плоскости, а углы ASC и CSB расположены в разных плоскостях. Имея в виду других учащихся, для которых это не столь ясно, надо обратиться к рисунку на чер. 92 и к модели трехгранного угла, составленного из палочек, и подтвердить вышеуказанный ответ. 2) На чер. 93 я вижу плоские углы ASC и ASB; правда ли, что ∠ASB > ∠ASC? Опять-таки, те из учащихся, которые отчетливо представляют себе трехгранный угол, дадут ответ: этого наверное утверждать нельзя, так как эти углы лежат в разных плоскостях. Следует опять-таки иллюстрировать этот ответ на модели трехгранного угла, составленного из палочек.

Три угла на плоскости

После этого явится возможность предложить вопрос: как получить трехгранный угол, чтобы его плоскими углами служили ∠1, ∠2 и ∠3, построенные на плоскости так, как на чер. 94, или так, как на чер. 95. Ответ легко находится учащимися: надо, если имеем дело со случаем, данным на чер. 95, перегибать плоскость по лучам OB и OC, добиваясь того, чтобы свободные лучи OA и OD совпали, причем надо предварительно удалить из плоскости ее часть, затушеванную на чер. 95; что касается случая, данного на чер. 94, то здесь мы лишены возможности образовать из ∠1, ∠2 и ∠3 трехгранный угол. После выяснения этого учащиеся приходят сами к заключению, что для получения трехгранного угла надо построить на плоскости вокруг точки 3 таких угла, чтобы их сумма была меньше 4d. Так как эти углы после перегибания сделаются плоскими углами трехгранного, то приходим к заключению: сумма плоских углов трехгранного угла < 4d.

Получение трехгранного угла

Затем надо иллюстрировать самое перегибание плоскости, какое выше уже намече6но, заготовленными заранее моделями (чер. 96). Желательно, чтобы ∠1, ∠2 и ∠3 были на каждой модели разных цветов (на чер. 96 внутренняя область каждого из углов – ∠1, ∠2 и ∠3 – затушевана различными штрихами). I модель, данная на чер. 96, не приведет к образованию трехгранного угла, также не даст трехгранного угла и II модель, и лишь III модель приведет к получению трехгранного угла. Исследование причин этого приведет учащихся к заключению, что I модель не дала трехгранного угла потому, что ∠1 + ∠3 < ∠2, II модель также не привела к трехгранному углу потому, ∠1 + ∠3 = ∠2, а III модель, где ∠1 + ∠3 > ∠2, дает трехгранный угол. Так как возможно, напр., ∠3 переставить так, как на чер. 97, то придем к заключению, что для того, чтобы получился трехгранный угол, надо при точке построить 3 угла так, чтобы сумма двух из них была больше третьего, откуда получаем, наконец, свойство трехгранных углов: каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других плоских углов.

Трехгранный угол

Если имеется в запасе достаточно времени, то возможно здесь обратить внимание на аналогию последнего свойства плоских углов трехгранного угла с известным уже свойством сторон треугольника; тогда может возникнуть мысль о том, не связаны ли между собою эти свойства так, что одно из них можно вывести, опираясь на другое. И вот появляется возможность ввести в курс то «доказательство» теоремы «Плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других плоских углов», какое обычно имеется в наших учебниках геометрии, но теперь уже цель введения этой теоремы состоит не в том, как это, к сожалению, обычно делается, чтобы из ее доказательства узнать указываемое свойство плоских углов, а в том, чтобы привести в причинную связь это, уже известное, свойство трехгранного угла с аналогичным, также уже известным, свойством треугольника. Здесь возникает возможность обратной постановки вопроса: как, исходя из свойства плоских углов (один плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других плоских углов), получить аналогичное свойство сторон треугольника? Конечно, сделать это нетрудно: придется воспользоваться тем же построением, какое обычно употребляется, но вести рассуждения в обратном порядке, – на этом не останавливаюсь.

Думаю, что предлагаемое здесь изложение должно оказать большее влияние, чем при обычном изложении, и на развитие геометрического представления учащихся и на стремление привести разрозненные факты в логическую связь.

Заканчивая, считаю необходимым указать на необходимость введения в соответствующих местах курса рассмотрения ряда вопросов, существенных и для практических применений и для геометрического развития. Вот эти вопросы.

1. Дана в пространстве точка; сколько можно построить через нее прямых так, чтобы каждая к каждой была перпендикулярна (взаимно-перпендикулярных прямых)?

После рассмотрения этого вопроса явится возможным установить, что плоскость имеет 2 измерения, а пространство 3 и, быть может, указать на возможность геометрии 4 и более измерений.

2. Много ли можно найти в пространстве точек, равноотстоящих от двух данных? Где они расположены (короче: каково геометрическое место точек пространства, равноотстоящих от двух данных точек)? Каково геометрическое место точек пространства, равноотстоящих от трех данных точек?

3. Каково геометрическое место точек пространства, равноотстоящих от двух параллельных прямых? Равноотстоящих от двух пересекающихся прямых? От трех, пересекающихся в трех точках, прямых (или от трех прямых, из которых 2 параллельны, а третья пересекает их обоих)?

4. Каково геометрическое место точек пространства, равноотстоящих от двух параллельных плоскостей? От двух пересекающихся плоскостей? От трех плоскостей, пересекающихся по трем параллельным прямым? От граней трехгранного угла? и т. д.

Наконец, полагаю, что следует присоединить сюда так называемую теорему Эйлера для незамкнутых многогранных поверхностей (число граней и вершин вместе на 1 больше числа ребер) и для многогранника (сумма чисел граней и вершин многогранника на 2 больше числа его ребер). Конечно, при введении этих теорем надо иметь в виду, что они справедливы для односвязных поверхностей и многогранников.

На теореме Эйлера легко, и с большим интересом для учащихся, строиться теория правильных многогранников. (См. мою «Геометрию в пространстве».)