Та система преподавания геометрии, которая обычно имеет место в нашей средней школе и направляется учебниками типа А. Давыдова, А. Киселева и т. п., отчасти отразила в себе вышеизложенный взгляд на геометрию, как на логическую систему, но отразило крайне искаженно: логическая система, в сущности, отсутствует, но логика в форме ряда силлогизмов имеется налицо. Достаточно указать лишь один пример, чтобы понять, что в нашем традиционном курсе о «системе» не может быть и речи: напр., тщательно доказывается, что диагонали параллелограмма взаимно делятся пополам, но не дается доказательства, что эти диагонали пересекаются внутри параллелограмма, да и не дается руководящей нити, как это доказать (да и возможно ли это?). Вся суть нашего традиционного курса геометрии сводится к разучиванию доказательств ряда теорем: сперва объявляется теорема, затем она доказывается, после чего следует классическое, «что и требовалось доказать». Методические работы по геометрии (см., напр., характерную в этом отношении книгу Юнг – «Как преподавать математику») сводятся в огромном большинстве случаев к изысканию более удобных для классного изложения, более простых для запоминания доказательств и к рассуждении о ценности различных доказательств. Мало того, укрепившийся за последнее время принцип наглядности повел по отношению курса средней школы к изготовлению ряда пособий, иллюстрирующих также… доказательства теорем. Нет ничего удивительного, что под влиянием такой постановки дела преподавания геометрии у учащихся в средней школе слагается взгляд на геометрию, как на собрание ряда теорем, неизвестно почему или зачем появившихся, причем к этому присоединяется еще (неприятная – для многих) обязанность доказывать эти теоремы.

Неудивительно это потому, что при обычном ходе преподавания ни учебник, ни преподаватель не делают ничего, чтобы так или иначе осветить вопрос о происхождении теорем. И только в редких случаях мы имеем исключение: некоторые преподаватели в той или другой форме выдвигают на первое место вопрос о происхождении теорем, и тогда для учащихся у этого преподавателя курс геометрии принимает иной характер и перестает быть только собранием теорем. А иногда некоторые из учащихся, независимо и от учебники и от преподавателя, сами полусознательно приходят к представлению или к мысли о том, что такая-то теорема появилась не потому, что этого захотел автор учебника или преподаватель, а потому, что она служит ответом на вопрос, естественно возникший во время предыдущей работы. И для таких учеников (это, может быть, самые способные и не только «к математике», но и вообще) геометрия принимает характер, существенно отличный от вышеуказанного: геометрия сводится к ряду изысканий, имеющих целью найти ответы на ряд вопросов, естественно возникающих по мере течения геометрической работы, вопросов, которые следуют друг за другом и образуют как бы цепь, разветвленную в ее многих местах.