Окружность

Окружность есть такая плоская кривая, у которой все точки находятся на равном расстоянии от одной точки, лежащей внутри ее и называемой центром.

Круг. Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью.

Радиус. Радиусом называется отрезок, соединяющий центр с какой-нибудь точкой окружности. Радиус есть расстояние точки окружности от центра.

Из самого определения окружности следует, что все ее радиусы равны.

Окружность и ее радиусы

На чертеже 86 кривая линия BCDAEB есть окружность, O ее центр, отрезки OA, OB, OC — радиусы. Эти отрезки равны

OA = OB = OC.

Диаметр. Отрезок, проходящий через центр от одной точки окружности до другой, называется диаметром.

Всякий диаметр состоит из двух радиусов, а так как все радиусы равны, то следовательно и все диаметры равны.

Дуга есть часть окружности.

Слово дуга иногда обозначают знаком ◡, так что дугу BC изображают письменно: ◡BC.

Хорда. Отрезок, соединяющий две какие-нибудь точки окружности, называется хордой. Хорда есть прямая, стягивающая две точки дуги.

На чертеже 86 линия AB есть диаметр, часть окружности BC есть дуга, прямая CD есть хорда.

Сегмент есть часть плоскости, содержащийся между дугой и хордой.

Сектор есть часть плоскости, содержащийся между двумя радиусами и дугой круга.

На чертеже 86 площадь COB есть сектор, а CKD сегмент.

Касательная есть прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, которая называется точкой касания.

Углом при центре называется угол, имеющий вершину в центре. На чертеже 86 прямая FG есть касательная, а E точка касания.

Теорема 55. Прямая может пересечь окружность только в двух точках.

Доказательство. Если бы прямая AB кроме двух точек M и N (черт. 87) имела бы еще третью точку пересечения L, то три точки окружности M, N, L, по свойству окружности, были бы на равном расстоянии от центра O, следовательно, три отрезка MO, NO, LO были бы равны: MO = NO = LO.

Прямая пересекает окружность только в двух точках

Если же NO = LO, то вышло бы, что равные наклонные находятся на неравных расстояниях от перпендикуляра OQ, что противоречит свойству косвенных, следовательно, третьей точки пересечения быть не может (ЧТД).

Теорема 56. Диаметр делит окружность и круг на две равные части.

Доказательство. Перегнем верхнюю часть круга около диаметра CD (черт. 87) до совпадения ее с нижней частью, тогда все точки верхней совпадут с точками нижней части окружности, ибо в противном случае не все точки окружности находились бы на равном расстоянии от центра.

Зависимость между углами, дугами и хордами

Теорема 57. В двух равных кругах равным углам при центре соответствуют равные дуги.

Дано. Две окружности описаны (черт. 88) одними и теми же радиусами и углы при центре равны:

∠AOB = ∠A'O'B'.

Требуется доказать, что ◡AB = ◡A'B'.

Равные углы и равные дуги

Доказательство. Наложим круг O' на круг O так, чтобы центр O' совпал с центром O и сторона OA со стороною O'A'. Точка A' по равенству радиусов совпадает с точкой A. По равенству углов A'O'B' и AOB отрезок O'B' пойдет по отрезку OB и по равенству радиусов точка B' упадет в точку B. Две крайние точки дуги A'B' совпадут с двумя крайними точками дуги AB, следовательно, и все промежуточные точки дуги A'B' совпадут с промежуточными точками дуги AB, так как окружность O' совпадает с окружностью O, ибо они описаны равными радиусами.

Теорема 58 (обратная 57). Равным дугам соответствуют равные углы.

Дано. Дуги AB и A'B' равны (◡AB = ◡A'B') (черт. 88).

Требуется доказать, что ∠AOB = ∠A'O'B'.

Доказательство. Наложим сектор A'O'B' на сектор AOB так, чтобы отрезок O'A' совпал с отрезком OA. Дуга A'B' упадет на дугу AB и B' упадет в B. Отрезок B'O' совпадет с отрезком BO и угол AOB совпадет с углом A'O'B', следовательно,

∠AOB = ∠A'O'B' (ЧТД).

Теорема 59. Диаметр больше всякой хорды.

Даны диаметр CD и хорда MN (черт. 87).

Требуется доказать, что CD > MN.

Доказательство. Проведем радиусы MO и NO. Ломаная линия MON больше прямой MN

MON > MN или MO + ON > MN

Так как MO = CO, NO = OD, то заменяя MO и NO равными им величинами, получим неравенства:

CO + OD > MN или CD > MN (ЧТД).

Теорема 60. Равные хорды стягивают равные дуги.

Даны равные хорды AB и CD (черт. 89) (AB = CD).

Требуется доказать, что ◡AB = ◡CD.

Равные хорды

Доказательство. Соединив точки A, B, C, D с центром, имеем

∆AOB = COD, ибо

OA = OC и OB = OD как радиусы, AB = CD по условию.

Следовательно, ∠AOB = ∠COD, откуда ◡AB = ◡CD (ЧТД).

Теорема 61 (обратная 60). Равные дуги стягиваются равными хордами.

Дано. Дуги AB и CD равны (черт. 89) (◡AB = ◡CD).

Требуется доказать, что AB = CD.

Доказательство. Два треугольника AOB и COD равны, ибо OA = OC и OB = OD как радиусы, ∠AOB = ∠COD ибо по условию дуги AB и CD равны, а потому и углы равны (теорема 58). Следовательно, AB = CD (ЧТД).

Теорема 62. Если дуги меньше полуокружности, то против большей дуги лежит большая хорда.

Дано. Дуга BD больше дуги AC (черт. 90) (◡BD > ◡AC).

Требуется доказать, что BD > AC.

Против большей дуги лежит большая хорда

Доказательство. Соединим точки A, C, B, D с центром O. В двух треугольниках AOC и BOD OA = OB и OC = OD как радиусы, BOD > AOC. Следовательно, BD > AC (теорема 23) (ЧТД).

Теорема 63 (обратная 62). Против большей хорды лежит большая дуга.

Дано. Хорда BD больше хорды AC (черт. 90) (BD > AC).

Требуется доказать, что ◡BD > ◡AC.

Доказательство. В двух треугольниках AOC и BOD OA = OB и OC = OD как радиусы, BD > AC по условию. Поэтому ∠BOD > ∠AOC (теорема 24). Следовательно, ◡BD > ◡AC (ЧТД).

Взаимное отношение хорд и их расстояний от центров

Теорема 64. Радиус, перпендикулярный к хорде, делит как хорду так и дугу пополам.

Радиус OC перпендикулярен к хорде AB (черт. 91).

CO AB.

Требуется доказать, что AD = BD и ◡AC = ◡CB.

Радиус, перпендикулярный к хорде

Доказательство. Соединим точки A и B с центром O. Равные наклонны OA и OB находятся на равных расстояниях от перпендикуляра OC, следовательно, AD = DB.

Если же перпендикуляр CD восставлен из середины отрезка AB, то его точка C находится на равном расстоянии от концов перпендикуляра, поэтому хорды AC и CB равны, а следовательно,

◡AC = ◡CB

т. е. дуга AB делится перпендикуляром OC пополам (ЧТД).

Следствие. Перпендикуляр, восставленный из середины хорды, проходит через центр.

Доказательство. Так как центр находится на равном расстоянии от концов хорды, то он находится на перпендикуляре, восставленном из середины хорды.

Теорема 65. Равные хорды находятся на равном расстоянии от центра.

Дано. Хорды AB и CD равны: AB = CD (черт. 92).

Требуется доказать, что их расстояния от центра равны, т. е.

OE = OF

Расстояние от центра до равных хорд

Доказательство. Соединив точки A и C с центром O, имеем два равных прямоугольных треугольника AEO и COF, ибо OA = OC как радиусы, AE = CF как половины равных хорд (теорема 64). Следовательно,

OE = OF (ЧТД).

Теорема 66 (обратная 65). На равных расстояниях от центра находятся равные хорды.

Дано. Расстояния хорд AB и CD от центра равны, т. е.

OE = OF (черт. 92).

Требуется доказать, что AB = CD.

Доказательство. Два прямоугольных треугольника AEO и COF равны, ибо имеют по равной гипотенузе и равному катету. Действительно, OE = OF по условию, OA = OC как радиусы, следовательно, AE = CF или ½AB = ½CD, откуда

AB = CD (ЧТД).

Теорема 67. Большая хорда к центру ближе меньшей.

Дано. Хорда AB больше хорды AC (черт. 93), т. е. AB > AC.

Требуется доказать, что OD < OE.

Чем больше хорда, тем ближе она к центру окружности

Доказательство. Линия OD перпендикулярна к AB, а линия OF наклонна, следовательно, OD < OF. Так как OF < OE, то и подавно OD < OE (ЧТД).

Свойства касательной

Прямая называется секущей, если она пересекает окружность в двух точках, и касательной, если она имеет с окружностью только одну общую точку. Эта точка называется точкой касания.

Теорема 68. Прямая, проведенная через в конец радиуса, перпендикулярно к нему, будет касательной к окружности.

Дано. Прямая AF перпендикулярно к радиусу AO в конце радиуса (черт. 94)

AF AO.

Требуется доказать, что AF касательная к окружности.

Касательная в точке касания перпендикулярна радиусу

Доказательство. Всякая другая точка B перпендикуляра AB находится на расстоянии BO большем AO, ибо наклонная больше перпендикуляра, следовательно точка B находится вне окружности. Таким образом прямая AB имеет с окружностью только одну общую точку A, следовательно, она будет касательной (ЧТД).

Теорема 69 (обратная 68). Касательная к окружности, проведенная в конец радиуса, перпендикулярна к радиусу.

Дано. Прямая AF касается окружности в точке A (черт. 94).

Требуется доказать, что AF OA.

Доказательство. Прямая AB как касательная имеет с окружностью только одну общую точку A. Всякая другая точка B лежит вне окружности, следовательно, всякий отрезок OB больше OA. Таким образом, отрезок OA есть кратчайшее расстояние точки O от AB, следовательно, OA AB (ЧТД).

Теорема 70. Между параллельными хордами находятся равные дуги.

Дано. Хорды AB и CD параллельны: AB || CD (черт. 95).

Требуется доказать, что ◡AC = ◡BD.

Равные дуги между параллельными хордами

Доказательство. a) Из центра окружности O опустим перпендикуляр OM на хорду AB, тогла отрезок OM перпендикулярен и к хорде CD.

По теореме 64

◡CM = ◡MD
◡AM = ◡MB

Вычитая второе равенство из первого, получим:

◡CM - ◡AM = ◡MD - ◡MB или
◡AC = ◡BD.

b) Если параллельные хорды AB и EF (черт. 95) лежат по обе стороны центра, то, продолжив прямую OM до пересечения с окружностью в точке G, имеем:

◡MA = ◡MB, ◡GE = ◡GF.

Так как полуокружности MAG и MBG равны

MAG = MBG, то следовательно,
MAG - ◡MA - ◡GE = MBG - ◡MB - ◡GF
или ◡AE = ◡BF (ЧТД).

Относительное положение двух окружностей

Концентрические и эксцентрические круги. Два круга называются концентрическими, когда они имеют один общий центр, и эксцентрическими, когда из центры не совпадают.

На чертеже 96 представлены круги концентрические и на чертежах 97, 98, 99, 100 и 101 круги эксцентрические.

Концентрические и эксцентрические круги

Внешние и внутренние круги. Круги называются внешними, когда все точки одного лежат вне площади другого круга, и внутренними, когда все точки одного лежат внутри площади другого круга.

На чертежах 97 и 99 изображены круги внешние, на чертежах 96, 98 и 100 круги внутренние.

Касательные окружности. Окружности называются касательными, когда они имеют одну общую точку.

Касательные окружности

Общая точка двух касательных окружностей называется их точкой соприкосновения. Соприкосновение называется внешним, когда два круга, имея общую точку, лежат один вне другого, и внутренним, когда один круг лежит внутри другого. На черт. 99 имеем случай внешнего, а на чертеже 100 случай внутреннего соприкосновения.

Пересекающиеся окружности. Окружности называются пересекающимися, когда они имеют две общие точки (черт. 101).

Пересекающиеся окружности

Линия центров есть отрезок, соединяющий центры двух кругов.

Теорема 71. Две окружности, имеющие общую точку на линии центров, другой общей точки иметь не могут.

Дано. Две окружности с центрами O и O' имеют общую точку A (черт. 102).

Требуется доказать, что другой общей точки у них нет.

Общая точка окружностей на линии центров

 

Доказательство. Положим, существует другая общая точка B, следовательно,

 

OB = OA и O'B = O'A.

Складывая эти равенства, мы имели бы

OB + O'B = OA + O'A или
OB + O'B = OO'

равенство несообразное, ибо ломаная не может равняться прямой.

Итак, другой общей точки быть не может (ЧТД).

Теорема 72. Две окружности, имеющие одну общую точку вне линии центров, имеют и другую общую точку по другую сторону линии центров.

Дано. Две окружности, центры которых O и O', имеют общую точку A вне отрезка OO' (черт. 103), соединяющей центры.

Требуется доказать, что существует и другая общая точка по другую сторону центров.

Общие точки окружностей

Доказательство. Из точки A опустим на линию центров перпендикуляр AG и на продолжении его отложим отрезок BG, равный AG.

Докажем, что точка B будет другая общая точка. Точка B лежит на окружности O, ибо AO = BO как равные наклонные, находящиеся на равных расстояниях AG и BG от перпендикуляра OO'. Точка B лежит на окружности O', ибо AO' = BO' как равные наклонные, находящиеся на равных расстояниях AG и BG от перпендикуляра OO', следовательно, точка B есть другая общая точка (ЧТД).

Теорема 73. Если две окружности пересекаются в двух точках, то линия центров перпендикулярна и делит пополам хорду, соединяющую точки пересечения.

Дано. Точки A и B есть точки пересечения (черт. 104) двух окружностей.

Требуется доказать, что AG = BG и AB OO'.

Хорда между точками пересечения окружностей

Доказательство. Треугольники OAO' и OBO' равны, ибо OO' сторона общая.

OA = OB как радиусы окружности O.

O'A = O'B как радиусы окружности O'.

Следовательно,

∠AOO' = ∠BOO'

Треугольники AOG и BOG равны, ибо OG сторона общая, AO = BO как радиусы, ∠AOG = ∠BOG по доказанному. Следовательно, AG = BG (хорда AB делится линией центров пополам), ∠AGO = ∠BGO (хорда AB перпендикулярна к линии центров).

Таким образом, хорда AB делится пополам и перпендикулярна к линии центров OO' (ЧТД).

Расстояние между центрами окружностей

1. Если две окружности пересекаются в двух точках, расстояние центров меньше суммы и больше разности радиусов.

Действительно, с одной стороны (черт. 104)

OO' < AO + AO'

с другой

AO + OO' > AO'

следовательно,

OO' > AO' - AO

2. Если две окружности касаются, расстояние центров равно сумме радиусов, если соприкосновение внешнее, и разности радиусов, если соприкосновение внутреннее.

Расстояние центров соприкасающихся окружностей

Из чертежа 105 видно, что

OO' = AO + AO'

а из чертежа 106

OO' = AO - AO'.

3. Если одна окружность лежит вне другой, расстояние центров больше суммы радиусов.

Из чертежа 107 видно, что

OO' > AO + BO'

4. Если окружность лежит одна внутри другой, расстояние центров меньше разности радиусов.

Действительно, из чертежа 108 видно, что

OO' < AO - BO'.

Расстояние между центрами окружностей

Измерение углов

Центральные углы. Углы, имеющие вершину при центре, называются центральными углами.

Относительно этих углов имеют место следующие теоремы.

Теорема 74. Равным центральным углам в одной и той же окружности соответствуют равные дуги.

Дано. Углы AOB и COD равны (черт. 109).

Требуется доказать, что ◡AB = ◡CD.

Равные центральные углы и равные дуги окружности

Доказательство. Проведем хорды AB и CD и соединим точки A, B, C, D с центром. Два треугольника AOB и COD равны, ибо AO = CO и BO = DO как радиусы, ∠AOB = ∠COD по условию. Следовательно, хорды AB и CD равны.

Против равных хорд лежат равные дуги, следовательно и дуги AB и CD равны: ◡AB = ◡CD (ЧТД).

Теорема 75 (обратная 74). Равным дугам в одной и той же окружности соответствуют равные углы.

Дано. Дуги AB и CD равны (черт. 109).

Требуется доказать, что ∠AOB = ∠COD.

Доказательство. Из того, что дуги AB и CD равны, следует, что и хорды AB и CD тоже равны (теорема 61).

Два треугольника AOB и COD равны, ибо AB = CD как равные хорды, AO = CO и BO = DO как радиусы. Следовательно, ∠AOB = ∠COD (ЧТД).

Теорема 76. Отношение центральных углов равно отношению соответствующих им дуг.

Даны два центральные угла AOB и COD (черт. 110).

Требуется доказать, что

AOB/COD = AB/CD.

Отношение центральных углов и дуг

Доказательство. Здесь имеют место два случая:

1) Когда дуги AB и CD соизмеримы и 2) когда они несоизмеримы.

1-й случай. Дуги AB и CD соизмеримы.

Пусть дуга AE будет их общей мерой. Положим, что она p раз содержится в дуге AB и q раз в дуге CD. Разделив дугу AB на p, а CD на q равных частей и соединив точки деления дуг с центром O, мы разделим угол AOB на p, а угол COD на q равных углов, из которых каждый равен углу AOE.

Из равенств

AB = pAE, CD = qAE
AOB = pAOE, COD = qAOE

получаем

AOB/COD = p/q, AB/CD = p/q, откуда
AOB/COD = AB/CD (ЧТД).

2-й случай. Дуги AB и CD несоизмеримы.

Отложим дугу AF равную CD и соединим F с O. Углы AOF и COD равны.

Требуется доказать, что

AOB/AOF = AB/AF

Доказательство. A) Положим

AOB/AOF > AB/AF (1).

Для того, чтобы имело место равенство, нужно дробь во второй части неравенства (1) увеличить. Для этого следует ее знаменатель уменьшить.

Положим, мы нашли, что имеет место равенство

AOB/AOF = AB/AG (a)

Разделим дугу AB на равное число таких частей, чтобы каждая часть была менее GF; тогда одна из точек деления i упадет в промежутке между G и F. Дуги AB и Ai соизмеримы, следовательно,

AOB/AOi = AB/Ai (b).

Разделив равенства (b) на (a), находим

AOF/AOi = AG/Ai

равенство несообразное, ибо первая часть его больше, а вторая меньше 1, следовательно, допущение (1) не имеет места.

B) Допустим, что

AOB/AOF < AB/AF (2)

Тогда вторую часть этого неравенства нужно уменьшить для того, чтобы имело место равенство. Для этого нужно знаменатель дроби AB/AF увеличить. Положим, мы нашли такую точку H, чтобы удовлетворялось равенство

AOB/AOF = AB/AH (c)

Разделив дугу AB на такие равные части, чтобы каждая часть была меньше FH, мы найдем, что одна из точек деления J упадет в промежуток между F и H. Дуги AB и AJ будут соизмеримы, следовательно,

AOB/AOJ = AB/AJ (d)

Разделив равенство (d) на (c) найдем

AOF/AOJ = AH/AJ

Это равенство несообразно, ибо первое отношение меньше, а второе больше единицы, следовательно, и допущение (2) тоже не имеет места, откуда видно, что справедливо только равенство AOB/AOF = AB/AF (ЧТД).

Зная, что отношение углов равно отношению дуг, описанных равными радиусами, мы в пропорции (черт. 111)

AOB/COD = AB/CD

можем принять за единицу любую дугу. В этом случае должны принять за единицу и соответствующий ей угол.

Отношение дуг и углов

Принимая дугу CD, а следовательно, и угол COD за 1, имеем равенство

AOB/1 = AB/1

или отношение угла к своей единице равно отношению дуги к своей соответствующей единице, откуда

∠AOB = ◡AB.

Это равенство означает, что

числовая величина угла равна числовой величине дуги, или что угол измеряется дугой, описанной из его вершины, как из центра.

Мера углов и дуг

За единицу угла обыкновенно принимают прямой угол.

Углы и дуги измеряют также частями окружности.

Для этого делят окружность на 360 равных частей, называемых градусами, градус на 60 минут, минуту на 60 секунд.

Таким образом, окружность имеет 360 градусов или 360°. Градус имеет 60 минут или 60'. Минута включает 60 секунд или 360''.

Выражение 12°7'16'' означает дугу круга, имеющую 12 градусов 7 минут и 16 секунд. Угол, опирающийся на эту дугу, называется также углом в 12°7'16''.

Прямой угол имеет 90°.

Теорема 77. Углы, имеющие вершину на окружности, измеряются половиной дуги, содержащейся между его сторонами.

Здесь может быть несколько случаев (черт. 112).

Первый случай. Угол BAC образуется диаметром AC и хордой AB.

Соединим центр O с точкой B; тогда

∠BOC = ∠ABO + ∠BAO

Так как ∠ABO = ∠BAO как углы равнобедренного треугольника AOB, то

BOC = 2BAO и
BAO = ½ BOC.

Угол BOC измеряется дугой BC, следовательно, угол BAO измеряется дугой ½ BC.

Углы с вершиной на окружности

Второй случай. Угол BAD образуется двумя хордами, лежащими по обе стороны диаметра.

BAD = BAC + CAD
уг. BAD измеряется дугой ½ BC
уг. CAD измеряется дугой ½ CD.

Следовательно, угол BAD измеряется дугой

½ BC + ½ CD = ½ (BC + CD) = ½ BD.

Т. е. угол BAD измеряется половиной дуги, заключающейся между его сторонами (ЧТД).

Третий случай. Угол EAB образуется двумя хордами, лежащими по дну сторону диаметра.

EAB = EAC - BAC
EAC измеряется дугой ½ EC
BAC измеряется дугой ½ BC

следовательно, EAB измеряется дугой

½ EC - ½ BC = ½ (EC - BC) = ½ EB.

Правило остается то же.

Теорема 78. Угол, образуемый касательной и хордой, измеряется половиной дуги, стягиваемой хордой.

Доказательство. Угол FAE (черт. 112) есть угол, образуемой касательной AF и хордой AE. Проведя диаметр AC, мы получим прямой угол FAC.

FAE = FAC - EAC

Прямой угол FAC измеряется дугой ½AC.

Угол EAC измеряется дугой ½EC.

Угол FAE измеряется

½AC - ½EC = ½(AC - EC) = ½AE (ЧТД).

Теорема 79. Угол, имеющий вершину внутри окружности, измеряется полусуммой дуг, заключающихся между его основаниями.

Дан угол ACB, имеющий вершину C внутри окружности (черт. 113).

Требуется доказать, что он измеряется дугой ½(AB + DE).

Угол с вершиной внутри окружности

Доказательство. Из точки B проведем прямую BF параллельную AE, тогда

∠ACB = ∠DBF

Угол DBF измеряется дугой ½DF или

∠DBF = ½ DEF = ½ (DE + EF)

◡AB = ◡EF как дуги, содержащиеся между параллельными сторонами, следовательно,

ACB = ½ (DE + AB) (ЧТД).

Теорема 80. Угол, имеющий вершину вне окружности, измеряется полуразностью дуг, заключающихся между его сторонами.

Дано. Угол ACB имеет вершину вне окружности (черт. 114).

Требуется доказать, что он измеряется дугой ½ (AB - EF).

Величина угла вне окружности

Доказательство. Проведем из точки F прямую FG параллельную AC, тогда

∠C = ∠GFB

Мера угла C равна мере угла GFB = ½ GB

GB = AB - AG

Так как AG = EF, то GB = AB - EF, следовательно, ∠C = ½ (AB - EF) (ЧТД).

Из предложенных теорем вытекают заключения:

1) Все углы, имеющие вершину на окружности и опирающиеся на диаметр, являются прямыми, ибо все они измеряются половиной полуокружности.

2) Все вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу, равны.

Обратно:

3) Все прямые углы, имеющие вершину на окружности, опираются на концы диаметра.

4) Угол при центре вдвое больше угла вписанного и опирающегося на одну и ту же дугу.

Свойства углов и сторон описанного и вписанного четырехугольника

Теорема 81. Во всяком четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна двум прямым.

Дано. Вписан четырехугольник ABCD (черт. 115).

Требуется доказать, что A + C = 2d, B + D = 2d.

Вписанный четырехугольник

Доказательство. Угол B измеряется половиной дуги ADC, угол D измеряется половиной дуги ABC, следовательно сумма углов B + D измеряется ½ (ADC + ABC), т. е. полуокружностью.

Полуокружность есть мера двух прямых, следовательно,

B + D = 2d.

Это же заключение справедливо и для суммы углов A и C

A + C = 2d (ЧТД).

Теорема 82. Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны.

Дан описанный четырехугольник ABCD (черт. 116); a, b, c, d четыре точки прикосновения его сторон с окружностью.

Требуется доказать, что AB + CD = BC + AD.

Стороны описанного четырехугольника

Доказательство. Соединим вершины и точки прикосновения a, b, c, d описанного четырехугольника с центром O.

Из чертежа 116 видно, что

∆OaC = ObC
ObD = OcD
OcA = OdA
OdB = OaB

ибо они, будучи прямоугольными, имеют по равной гипотенузе OC, OD, OA, OB и равным катетам, следовательно,

aC = bC
aB = dB
cA = dA
cD = bD

Сложив эти равенства, получаем:

aC + aB + cA + cD = bC + dB +dA + bD

или

BC + AD = CD + AB (ЧТД).