Метод пределов. Определение длины окружности

При рассмотрении каждого вопроса встречаются количества постоянные и переменные.

Постоянные количества. Количества, не изменяющие своей величины при рассмотрении какого-нибудь вопроса, называются постоянными.

Переменные количества. Количества, могущие изменить свою величину, называются переменными.

Если дан круг, то радиус этого круга величина постоянная, хорды же круга, проходящие через какую-нибудь точку, лежащую на окружности, являются величинами переменными.

Точно также с увеличением числа сторон правильного описанного многоугольника апофемы их остаются величинами постоянными, а периметры величинами переменными.

Переменные величины изменяются в каких-нибудь пределах.

Приближающаяся величина. Когда переменная величина при своем изменении увеличиваясь или уменьшаясь приближается к некоторой постоянной величине так, что разность между ней и постоянной величиной может быть сделана менее всякой данной величины, ее называют величиной приближающейся.

Постоянная величина, к которой приближается переменная величина, называется ее пределом.

Предел. Пределом называется такая постоянная величина, к которой приближается другая переменная величина увеличиваясь или уменьшаясь, но никогда ее не достигая, хотя разность может быть сделана менее всякой данной величины.

Метод пределов. Совокупность свойств, которыми обладают величины приближающиеся и их пределы, и применение этих свойств к решению различных вопросов называют методом пределов.

Из самого определения предела вытекают следующие свойства предела:

  1. Предел есть величина постоянная.

  2. Приближающаяся величина всегда более или менее предела.

  3. Разность между приближающейся величиной и ее пределом может быть сделана меньше всякой данной величины.

Сумма углов правильного многоугольника, имеющего n сторон, выражается формулой:

S = 2d (n - 2) = 2nd - 4d

Величина каждого угла будет

A = S/n = 2d - (4d)/n

Эта величина A есть величина переменная. Она изменяется с увеличением n числа сторон правильного многоугольника.

В этом выражении количество 2d обладает всеми тремя свойствами предела:

  1. Во первых количество 2d есть величина постоянная.

  2. Во вторых приближающаяся величина A всегда меньше 2d и

  3. наконец разность (4d)/n с увеличением n может быть сделана менее всякой данной величины.

С увеличением числа сторон правильного многоугольника величина его каждого угла A, увеличиваясь все более и более, приближается к двум прямым, а два прямых есть предел, к которому стремится эта величина.

Если в уравнении X = K + α количество α может быть сделано менее всякой данной величины, а K есть величина постоянная, то X есть величина приближающаяся, а K есть ее предел.

Предел обозначают словом lim. (limite) или пред. (предел), поставленными перед величиной приближающейся.

Таким образом пишут

K = lim X = lim (K + α)

Из этого соотношения видно, что

lim α = 0.

Бесконечно-малая величина есть величина переменная, имеющая своим пределом нуль.

В методе пределов имеют значение следующие теоремы.

Теорема 129. Если две приближающиеся величины равны, то и пределы их равны.

Дано. Пусть X и Y две приближающиеся величины, A и B их пределы, так что

X = A + α, Y = B + β

Переменные величины α и β могут быть сделаны менее всякой данной величины.

Доказательство. Из того, что две приближающиеся величины X и Y равны, вытекает равенство X = Y или

A + α = B + β (a)

Здесь могут иметь место следующие три предположения:

A > B, A < B и A = B

1. Если бы имело место неравенство A > B, то разность A - B была бы равна некоторой конечной постоянной величине k.

A - B = k = β - α

Так как β и α могут беспредельно уменьшаться, то никак нельзя допустить, чтобы разность β - α равнялась постоянной конечной величине k, следовательно, неравенство A > B невозможно.

2. Точно также неравенство A < B ведет к разности

B - A = l

где l постоянная конечная величина.

Из равенства (a) вытекает равенство

B - A = α - β = l

Это неравенство точно также невозможно, следовательно, невозможно и предположение A < B.

Итак остается справедливым только равенство: A = B (ЧТД).

Теорема 130. Отношение величин приближающихся равно отношению их пределов.

Даны две приближающиеся величины

X = A + α и Y = B + β

Требуется доказать, что X/Y = A/B.

Доказательство. Отношение двух приближающихся величин будет

X/Y = (A + α) / (B + β)

Обозначим конечную величину этого отношения через l, тогда

(A + α) / (B + β) = l

откуда

A + α = Bl + Bβ (1)

A + α есть приближающаяся величина, имеющая своим пределом A; Bl + Bβ есть приближающаяся величина, имеющая своим пределом величину Bl.

На основании предыдущей теоремы равенство (1) ведет к равенству

A = Bl

Следовательно, l = A/B откуда

(A + α) / (B + β) = A/B (ЧТД).

Теорема 131. Внешняя ломаная больше выпуклой кривой, находящейся внутри ломаной.

Внешняя ломаная и кривая

Доказательство. Если бы кривая ABC не была меньше всякой внешней ломаной (черт. 203 а), то существовала бы такая внешняя ломаная, которая была бы меньше всякой другой внешней ломаной, а следовательно и меньше кривой ABC.

Пусть ADEC будет такая ломаная.

В этом случае можно всегда провести так отрезки mn, pq, чтобы они не пересекали кривой ABC, тогда образуется новая ломаная AmnpqC, которая меньше ADEC, ибо

mn < mD + Dn
pq < pE + Eq

Прибавив к этим неравенствам величины Am, np, qC, получим:

mn + pq + Am + np + qC < mD + Dn + pE + Eq + Am + np + qC
или AmnpqC < ADEC.

Таким образом предположение, что существует внешняя ломаная меньше кривой, не имеет места.

Отсюда вытекает следствие: периметр описанного многоугольника больше окружности.

Теорема 132. Разность между периметром одноименного описанного и вписанного многоугольника при удвоении числа сторон может быть сделана меньше всякой данной величины.

Разность периметров вписанного и описанного многоугольников

Обозначив через P и p периметры описанного и вписанного многоугольника, имеющего n сторон (черт. 204), мы знаем, что

P/p = OA/Oa

откуда

(P - p)/p = (OA - Oa)/Oa, (P - p)/p = Aa/Oa, P - p = (Aa/Oa)p (a)

Периметр всякого многоугольника больше периметра многоугольника, заключающегося внутри, следовательно, периметр p меньше периметра описанного квадрата.

Периметр описанного квадрата равен 8 · Oa (8 радиусам), следовательно, p < 8 · Oa.

Вставив вместо p во вторую часть равенства (a) величину 8 · Oa, мы ее увеличим, следовательно,

P - p < 8 · Oa · (Aa/Oa) или
P - p < 8Aa

При удвоении числа сторон длина отрезка Aa может быть сделана меньше всякой данной величины, ибо с удвоением числа сторон угол AOB, а следовательно, и угол AOn уменьшаются, и наклонная AO приближается к перпендикуляру nO так, что разность между косвенной и перпендикуляром может быть сделана меньше всякой данной величины.

Теорема 133. С увеличением числа сторон периметры описанного и вписанного многоугольников приближаются к одному и тому же пределу.

Доказательство. Из неравенства

P - p < 8Aa

вытекает равенство

P - p = 8g · Aa

где g < 1.

С удвоением числа сторон периметр описанного многоугольника уменьшается, а периметр вписанного увеличивается. Так как предел Aa равен 0, то предел (P - p) = 0. Откуда пред. P = пред. p, или lim P = lim p (ЧТД).

Теорема 134. Окружность есть предел периметров многоугольников вписанных и описанных.

При удвоении числа сторон периметр правильного описанного многоугольника уменьшается, а периметр вписанного увеличивается. При этом периметр описанного многоугольника больше, а вписанного меньше окружности. Так как разность между периметрами описанного и вписанного многоугольников может быть сделана меньше всякой данной величины, то и подавно с постепенным удвоением числа сторон разность между периметрами правильных многоугольников описанных и окружностью, а также между окружностью и периметрами вписанных правильных многоугольников может быть сделана меньше всякой данной величины, следовательно:

Окружность есть предел периметров вписанных и описанных многоугольников.

Теорема 135. Окружности пропорциональны радиусам.

Доказательство. Обозначим длины двух окружностей через O и O', их радиусы через R и R'.

Впишем в обе окружности правильные многоугольники, имеющие n сторон. Обозначив их периметры через Pn и Pn', мы имеем равенство

Pn/Pn' = R/R'

Так как

Pn = O - α
Pn' = O - β

то предыдущее равенство дает

(O - α)/(O - β) = R/R'

С последовательным увеличением числа сторон разности α и β между окружностями и периметрами вписанных многоугольников могут быть сделаны меньше всякой данной величины, следовательно, разности O - α, O' - β являются величинами приближающимися, а величины O и O' их пределы. На основании теоремы 130 имеем равенство (O - α)/(O' - β) = O/O', откуда

O/O' = R/R'

На основании равенств

O/R = O'/R' или O/2R = O'/2R'

вытекает следствие: отношение каждой окружности к своему диаметру есть величина постоянная.

Это постоянное отношение окружности к диаметру называют буквой π.

Из равенства

O/2R = π

вытекает равенство

O = 2πR

Длина окружности равна радиусу, умноженному на 2π.

Здесь длина выражается в тех же единицах, в каких выражается радиус.

Отвлеченное количество π есть величина несоизмеримая.

Приближенная величина его 22/7 дана Архимедом. Она выражает истинную величину π с точностью до 0,01.

Меций, живший в конце 16-го столетия, нашел для π приближенную величину 355/113 = 3,141592 с точностью до 0,000001.

Это отношение легко помнить, если его представить в виде

1/π = 113 ÷ 355.

Длина дуги, имеющей n градусов. Окружность имеет 360°. Длина окружности радиуса R выражается формулой 2πR. Длина одного градуса будет величина (2πR)/360.

Обозначив через s длину дуги, имеющей n градусов, имеем:

s = (2πRn)/360 (a)

Формула (a) связывает три величины: n число градусов дуги, s ее длину и R радиус круга. Она дает возможность определить одну из них по двум другим.

Определение величины π

Формула, выражающая длину окружности,

O = 2πR

принимает для R = 1 вид

O = 2π

откуда видно, что 2π выражает длину окружности, описанной радиусом равным единице.

Для определения π вычисляют периметры правильных многоугольников вписанного и описанного с одинаковым числом сторон. Длина окружности заключается между периметрами этих многоугольников. Она меньше периметров описанных и больше периметров вписанных многоугольников. Разность между периметрами укажет в каких пределах заключается погрешность в определении окружности, а следовательно и в определении π.

Чтобы убавить эту погрешность в определении π, последовательно вычисляют периметры многоугольников с удвоенным числом сторон.

Разность между периметрами их будет все меньше и меньше, а следовательно, увеличивается и точность, с какой можно определить π.

Обозначив длину стороны правильных многоугольников, имеющих n сторон, вписанного через an, описанного через An и радиуса через r, мы для определения длины стороны вписанного многоугольника с удвоенным числом сторон пользуется формулой:

формула длины стороны вписанного многоугольника

а для определения стороны описанного многоугольника по стороне вписанного формулой:

формула длины стороны описанного многоугольника

Обозначив через Pn и pn периметры описанного и вписанного правильного многоугольника, имеем:

Pn = nAn, pn = nan

Приближенная величина π удовлетворяет неравенствам:

π > (nan)/2, π < (nAn)/2

в которых an и An вычислены для окружности с радиусом равным 1, следовательно, в формулах, их определяющих принимают r = 1.

Формулы (1) и (2) для r = 1 принимают вид:

Формулы длин сторон многоугольников при r = 1

Предположив, что n = 6, мы для a6 стороны правильного вписанного шестиугольника при r = 1 имеем:

a6 = 1

откуда

Вычисление длин сторон различных многоугольников

Умножая эти величины на число сторон, имеем следующую таблицу периметров правильных вписанных и описанных многоугольников соответствующего числа сторон, вычисленных с точностью до 6 десятичных знаков

Таблица периметров соответствующих вписанных и описанных правильных многоугольников

Из этой таблицы видно, что разность между периметрами правильных многоугольников вписанного и описанного все уменьшается.

Для 96-угольника она уже меньше 0,01, а для многоугольника, имеющего 3072 стороны, она меньше 0,00001.

Архимед остановился на вычислении стороны 96-угольника и дал приближенную величину π с точностью до 0,01. Меций дал для π величину π = 355/113 = 3,1415920 с точностью до 0,000001.