Правильные вписанные и описанные многоугольники

Правильный многоугольник. Правильным называется такой многоугольник, у которого все стороны и все углы равны.

Правильный треугольник есть равносторонний треугольник, каждый угол которого равен (2/3)d или 60°.

Правильный четырехугольник есть квадрат, каждый угол которого равен прямому углу или 90°.

Правильный многоугольник, имеющий n сторон, есть многоугольник, каждый угол которого равен формула величины угла правильного многоугольника.

Таким образом, полагая n = 3, 4, 5, 6, мы имеем для каждого угла величину (2/3)d, d, (6/5)d, (4/3)d и т. д.

Угол правильного пятиугольника равен (6/5)d = 108°, угол правильного шестиугольника равен (4/3)d = 120° и т. д.

Одноименные многоугольники. Все многоугольники, имеющие одинаковое число углов, называются одноименными многоугольниками.

Все правильные одноименные многоугольники имеют одинаковые углы и различаются только величиной сторон.

Подобие правильных многоугольников. Одноименные правильные многоугольники подобны, ибо у них углы равны и стороны пропорциональны.

Из подобия их вытекает, что периметры одноименных правильных многоугольников относятся как стороны.

Теорема 117. Около правильного многоугольника всегда можно описать окружность.

Дан правильный многоугольник ABCDEF (черт. 192). Стороны его и углы равны между собой:

AB = BC = CD = DE = EF = AF и
A = B = C = D = E = F

Требуется доказать, что существует точка, равноотстоящая от всех его вершин.

Точка равноотстоящая от всех вершин правильного многоугольника

Доказательство. Проведем через три точки A, B, C окружность. Для этого из середины линий AB и BC восставляем перпендикуляры до взаимного их пересечения в точке O. Точка O есть центр круга, проходящего через три точки A, B, C. Докажем, что эта окружность пройдет и через точки D, E, F. Для этого соединим точку O с вершинами многоугольника отрезками AO, BO, CO, DO, EO, FO.

1. Все эти отрезки разделяют углы многоугольника пополам.

Из равнобедренных треугольников AOB и BOC видно, что

∠α = ∠β, ∠γ = ∠δ

Так как ΔABO = ΔBCO, то

∠β = ∠γ = ½B,

т. е. угол B делится пополам.

Из равенств

∠δ = ½B = ½C

следует, что угол C тоже делится пополам.

Точно также легко доказать, что угол D тоже делится пополам.

Треугольники BOC и COD равны, ибо OC сторона общая, BC = CD как стороны правильного многоугольника, ∠δ = ∠ε, следовательно, ∠γ = ∠η.

Так как ∠γ = ½B = ½C = ½D, то и угол η = ½D, т. е. угол D делится тоже пополам.

Подобным образом легко доказать, что все углы многоугольника делятся пополам отрезками, соединяющими точку O с вершинами многоугольника.

2. Все отрезки OA, OB, OC, OD, OE, OF равны.

Действительно, по построению следует, что

OA = OB = OC

Из равенства треугольников BOC и COD следует, что

OC = OD

Из равенства треугольников COD и DOE следует, что

OD = OE и т. д.

Таким образом точка O находится на равном расстоянии от всех вершин многоугольника, т. е. окружность, описанная радиусом OA, пройдет через все вершины многоугольника, и точка O будет центром описанного многоугольника (ЧТД).

Теорема 118. Центр описанного круга будет также центром круга, вписанного в правильный многоугольник.

Доказательство. Из точки O центра описанного многоугольника (черт. 192) опустим перпендикуляры Oa, Ob, Oc, Od, Oe, Of на стороны многоугольника. Так как треугольники ABO, BCO равнобедренные и многоугольники правильные, то

Aa = aB = Bb = bC = Cc = cD = ...

Два прямоугольных треугольника aBO и BbO равны, ибо BO сторона общая

aB = Bb

следовательно, Oa = Ob.

Точно также легко доказать, что Ob = Oc и т. д.

Следовательно, вообще Oa = Ob = Oc = Od = Oe = Of.

Если мы радиусом Oa опишем окружность, то она коснется сторон правильного многоугольника в точках a, b, c, … т. е. она будет вписана в многоугольник.

Точки a, b, c, … делят стороны многоугольника пополам.

Таким образом точка O, будучи центром описанного, есть в то же время и центр круга, вписанного в правильный многоугольник (ЧТД).

Апофема. Перпендикуляр, опущенный из центра на сторону правильного многоугольника, называется апофемой.

Теорема 119. Периметры одноименных правильных многоугольников относятся как радиусы описанных и вписанных кругов.

Даны два правильных одноименных многоугольника (черт. 193). Из центров O и O' проведем радиусы кругов описанных и вписанных.

Требуется доказать, что

(AB + BC + CD + DE + EA) / (ab + bc + cd + de + ea) = OA/O'a = OG/O'g

Отношение периметров одноименных многоугольников

Доказательство. Два треугольника GOB и gOb подобны, ибо они прямоугольны и ∠GBO = ∠gbO', следовательно,

GB/gb = OB/O'b = GO/gO'

Так как GB = ½AB, gb = ½ab, то

AB/ab = OB/O'b = GO/gO' (a)

Кроме того имеют место следующие равенства отношений:

AB/ab = BC/bc = CD/cd = DE/de = EA/ea

откуда по свойству пропорций имеем:

(AB + BC + CD + DE + EA) / (ab + bc + cd + de + ea) = AB/ab

Обозначим периметры этих многоугольников через P и p, имеем:

P/p = AB/ab (b)

Сравнивая пропорции (a) и (b), получаем равные отношения:

P/p = AB/ab = OB/O'b = GO/gO' (ЧТД).

Теорема 120. Если углы описанного многоугольника равны, то и стороны равны, т. е. равноугольный описанный есть многоугольник правильный.

Дано. В описанном многоугольнике ABCDE углы равны (черт. 194):

A = B = C = D = E.

Требуется доказать, что AB = BC = CD = DE = EA.

Равноугольный описанный многоугольник

Доказательство. Соединим вершины описанного многоугольника и точки прикосновения с центром круга O.

1. Два прямоугольных треугольника aBO и BbO равны, ибо у них BO сторона общая, aO = bO как радиусы, следовательно, ∠aOB = ∠Bob и ∠aBO = ∠bBO, т. е. отрезки, соединяющие вершины описанного многоугольника с центром, делят углы многоугольника пополам.

2. Треугольники AOB и BOC равны, ибо BO сторона общая, ∠ABO = ∠CBO по доказанному, ∠BAO = ∠BCO по условию, следовательно, AB = BC.

Таким образом можно доказать равенство остальных сторон описанного многоугольника, имеющего равные углы (ЧТД).

Теорема 121. По данному вписанному правильному многоугольнику можно описать правильный многоугольник того же числа сторон.

Дан правильный вписанный многоугольник (черт. 195) ABCDEF, следовательно, стороны и углы его равны.

AB = BC = CD = DE = EF = FA и
◡AB = ◡BC = ◡CD = ◡DE = ◡EF = ◡FA

Для построения правильного описанного многоугольника по данному вписанному применяют два способа.

Первый способ. Нужно центр правильного вписанного многоугольника соединить с вершинами и в вершинах провести к этим отрезкам перпендикуляры, которые, пересекаясь, образуют правильный описанный многоугольник.

Проведем радиусы AO, BO, CO, и т. д. и в вершинах A, B, C, D, E, F проведем перпендикуляры к этим радиусам до взаимного их пересечения в точках a, b, c, d, e, f. Образуется многоугольник abcdef.

Требуется доказать, что многоугольник abcdef будет правильным описанным многоугольником.

Построение правильного описанного многоугольника

Доказательство. Многоугольник abcdef будет описанным многоугольником, потому что ab, bc, … будут касательными к окружности, так как они проведены перпендикулярно к радиусам из их концов.

2. Треугольники AaB, BbC … равнобедренны, ибо

∠aAB = ∠aBA
∠bBC = ∠bCB и т. д.

так как они измеряются половиной одной и той же дуги, следовательно, и соответствующие стороны равны

aA = aB, bB = bC, cC = Dc и т. д.

3. Треугольники AaB и BbC равны, ибо AB = BC как стороны правильного вписанного многоугольника

∠aAB = ∠bCB
∠aBA = ∠bBC

ибо они измеряются половиной равных дуг.

Из равенства треугольников AaB и BbC вытекает, что aB = Bb, т. е.

Каждая сторона таким образом описанного многоугольника делится в точке прикосновения пополам.

4. Кроме того,

aA = aB, или ½af = ½ab = ½bc и т. д.

следовательно,

af = ab = bc = cd и т. д.,

т. е. все стороны многоугольника равны.

5. Наконец, ∠a = ∠b, следовательно и все углы многоугольника abcdef равны. Поэтому этот многоугольник правильный (ЧТД).

Второй способ. Нужно из центра на стороне правильного вписанного многоугольника опустить перпендикуляры, продолжить их до пересечения с окружностью и в точках пересечения провести касательные прямые до взаимного их пересечения. Эти точки пересечения и будут вершинами правильного описанного многоугольника.

Дан правильный вписанный многоугольник ABCDEF (черт. 196).

Из центра O опустим перпендикуляр на стороны вписанного многоугольника и в точках m, n, p, q, r, s их встречи с окружностью проведем касательные до их взаимного пересечения в точках a, b, c, d, e, f.

Требуется доказать, что abcdef есть правильный описанный многоугольник.

Построение правильного описанного многоугольника

Доказательство. 1. Стороны многоугольника abcdef касательны к окружности, следовательно, abcdef есть многоугольник описанный.

2. Его стороны параллельны сторонам правильного вписанного многоугольника, поэтому его углы равны

∠a = ∠b = ∠c = ∠d = ∠e = ∠f.

3. Соединим точки m, n, p, q … прямыми линиями.

Точки m, n, p, q … суть середины дуг AB, BC и т. д., следовательно, для дуг и хорд имеют место равенства:

sm = mn = np = pq = qr = rs.

4. Треугольники sam, mbn, ncp … равнобедренны, ибо

∠asm = ∠ams, ∠bmn = ∠bnm и т. д.

следовательно,

as = am, bm = bn, cn = cp и т. д.

5. Треугольники sam и mbn равны, ибо

∠ams = ∠bmn
∠asm = ∠bnm

следовательно, am = bm, т. е. стороны описанного многоугольника делятся в точках прикосновения пополам.

6. Наконец из равенства as = am следует равенство

½af = ½ab или af = ab, т. е.

стороны описанного многоугольника равны.

Таким образом многоугольник abcdef есть правильный описанный многоугольник (ЧТД).

Теорема 122. По данному правильному описанному можно вписать правильный многоугольник того же числа сторон.

Здесь тоже имеют место два способа.

Первый способ. Чтобы по данному правильному описанному вписать правильный многоугольник, нужно соединить точки прикосновения описанного многоугольника между собой.

Дан описанный правильный многоугольник abcdef, следовательно,

ab = bc = cd = de = ef = fa и
∠a = ∠b = ∠c = ∠d = ∠e = ∠f.

Стороны правильного описанного многоугольника (черт. 195) делятся в точках прикосновения пополам, следовательно,

aB = bB = bC = Cc = ...

Соединим точки прикосновения A, B, C, D, E, F между собой.

Требуется доказать, что ABCDEF есть правильный вписанный многоугольник, т. е.

AB = BC = CD = DE = EF = FA и
∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E = ∠F.

Доказательство. 1. Треугольники AaB и BbC равны, ибо они имеют по равному углу, содержащемуся между двумя равными сторонами. Действительно,

aA = bC
aB = bB
∠a = ∠b

следовательно, AB = BC.

Точно также можно доказать, что

BC = CD = DE = EF = FA,

следовательно, и стороны и дуги AB, BC, CD … равны.

Таким образом стороны вписанного многоугольника равны.

2. Сравнивая две дуги BCDEF и CDEFA, мы находим, что
BCDEF = окружности - AB - AF
CDEFA = окружности - AB - BC.

Так как ◡AF = ◡BC, то

◡BCDEF = ◡CDEFA

следовательно,

∠A = ∠B.

Подобным же образом можно доказать равенство других углов, следовательно,

∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E = ∠F

Таким образом углы вписанного многоугольника как и стороны тоже равны, следовательно, ABCDEF правильный вписанный многоугольник (ЧТД).

Второй способ. Чтобы по данному правильному описанному многоугольнику вписать правильный одноименный многоугольник, соединим его вершины с центром круга и точки пересечения этих отрезков с окружностью соединим между собой.

Дан правильный описанный многоугольник ABCDEFA (черт. 197), следовательно,

AB = BC = CD = DE = EF = FA
∠A = ∠B = ∠C = ∠D = ∠E = ∠F

и стороны его делятся в точках прикосновения пополам, т. е.

As = Bs = Cm = Cn = Dn = и т. д.

Соединим вершины его с центром и означим точки пересечения этих линий с окружностью через a, b, c, d, e, f.

Требуется доказать, что многоугольник abcdef правильный.

Построение вписанного многоугольника по описанному

Доказательство. 1. Углы при центре AOB, BOC, COD и т. д. равны, а следовательно и дуги ab, bc, de, ef, fa равны.

Отсюда вытекает, что стороны тоже равны

ab = bc = cd = de = ef = fa

2. Углы многоугольника тоже равны, ибо измеряются дугами одинаковой величины.

Теорема 123. По данной стороне правильного вписанного многоугольника можно определить сторону описанного многоугольника того же числа сторон.

Означим длину стороны вписанного правильного многоугольника имеющего n сторон через an и одноименного описанного многоугольника через An, а радиус круга через r (черт. 195)

AB = BC = CD = DE = … = an
ab = bc = cd = de = … An

Соединим точку a с O, тогда

aB = ½An, BQ = ½an

Из треугольника aBO имеем:

Определение длины стороны описанного многоугольника по длине стороны вписанного

формулу, определяющую сторону правильного вписанного многоугольника по стороне одноименного правильного описанного многоугольника.

Удвоение числа сторон правильного вписанного многоугольника

Чтобы удвоить число сторон правильного вписанного многоугольника, опускают из центра перпендикуляры на его стороны, соединяют с вершинами данного многоугольника точки пересечения их с окружностью.

1. Полученный таким образом многоугольник будет правильным (черт. 198).

Удвоение числа сторон правильного вписанного многоугольника

Доказательство. Стороны его равны, ибо перпендикуляры делят как хорды, так и дуги AB, BC, … пополам, следовательно,

Aa = aB = Bb = bC = Cc = …

Углы тогда равны, ибо измеряются одинаковыми дугами.

2. Периметр многоугольника при удвоении числа сторон увеличивается.

Действительно,

Aa + aB > AB
Bb + bC > BC и т. д.

Складывая эти неравенства, получим

Aa + aB + Bb + bC + … > AB + BC + ...

Обозначив периметр правильного многоугольника, имеющего n сторон, через pn, имеем:

p2n >pn

Теорема 124. Можно определить длину стороны вписанного многоугольника с удвоенным числом сторон по радиусу и стороне данного многоугольника.

Из треугольника AaO (черт. 198) длина стороны Aa, как стороны, лежащей против острого угла, выражается равенством:

Aa2 = AO2 + aO2 - 2aO · PO.

Из треугольника APO имеем:

Нахождение стороны многоугольника с удвоенным числом сторон

Обозначив через r радиус круга, an длину стороны правильного вписанного многоугольника, имеющего n сторон, и через a2n сторону многоугольника с удвоенным числом сторон, мы имеем по формуле (a)

Нахождение стороны многоугольника с удвоенным числом сторон

Удвоение числа сторон правильного описанного многоугольника

Чтобы удвоить число сторон правильного описанного многоугольника нужно разделить дуги ab, bc, cd, … пополам и провести через точки деления отрезки mn, pg, rs, … до пересечения их со сторонами данного многоугольника (черт. 199).

В этом случае образуется многоугольник равноугольный, ибо его углы измеряются одинаковой мерой. В равноугольном же описанном многоугольнике стороны равны (теорема 120).

Периметр описанного многоугольника с удвоенным числом сторон уменьшается.

Действительно,

An > αn
Bp > βp, следовательно,
AB > αn + np + pβ

Такие же равенства имеют место и для сторон BC, CD, … и т. д. Сложив их, находим, что

AB + BC + CD + … > mn + np + pq + …
или Pn > P2n

где Pn и P2n означают периметры правильных описанных многоугольников, имеющих n и 2n сторон.

Построение описанного многоугольника с удвоенным числом сторон

Теорема 125. Сторона правильного вписанного шестиугольника равна радиусу (a6 = r).

Дано. Пусть AB сторона правильного шестиугольника (черт. 200), вписанного в круг, радиус которого обозначим через r.

Требуется доказать, что AB = a6 = r.

Доказательство. Дуга AB равна 60°. Соединив A и B с центром O, имеем треугольник ABO, у которого угол AOB имеет 60° = (2/3)d.

Углы A и B равны, следовательно, из равенства A + B + O = 2d, имеем:

2A + (2/3)d = 2d, откуда A = B = (2/3)d

Таким образом треугольник ABO равносторонний и следовательно AB = AO = r.

Теорема 126. Сторона правильного вписанного треугольника равна радиусу, умноженному на 3 (a3 = r√3).

Дан правильный вписанный треугольник ABC (черт. 201).

Требуется доказать, что AB = r√3.

Доказательство. Из центра O опустим перпендикуляр OD к стороне AB и соединим D с вершинами A и B. Стороны AD и DB как стороны правильного вписанного шестиугольника равны радиусу. Четырехугольник ADBO есть ромб, ибо у него все стороны равны радиусу. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, следовательно,

AE = EB = DE = EO и AB ⊥ DO.

Из треугольника AEO вытекает равенство

AE2 = AO2 - EO2

Так как AE = AB/2, EO = DO/2 = r/2, то это равенство дает

AB2/4 = r2 - r2/4 = (3/4)r2, откуда
AB = a3 = r√3 (ЧТД).

Чему равна сторона треугольника, вписанного в круг

Теорема 127. Сторона вписанного квадрата равна радиусу, умноженному на √2.

Дан правильный вписанный четырехугольник или квадрат ABCD (черт. 202).

Требуется доказать, что AB = r√2.

Доказательство. Соединим B с D. Отрезок BD есть диаметр, ибо прямой угол B опирается на концы диаметра.

Из прямоугольного треугольника ABD вытекает равенство

AB2 + AD2 = BD2

Так как AB = AD, BD = 2r, то

2AB2 = 4r2, откуда AB = a4 = r√2 (ЧТД).

Теорема 128. Сторона правильного вписанного десятиугольника равна большей части радиуса, разделенного в крайнем и среднем отношении.

Дано. Положим AB есть сторона правильного вписанного десятиугольника (черт. 203), следовательно, дуга AB = 1/10 окружности и

∠AOB = (4d)/10 = (2/5)d.

Требуется доказать, что AB есть большая часть радиуса среднепропорциональная между целым радиусом и меньшей его частью.

Отношение между стороной вписанного десятиугольника и радиусом

Доказательство. Соединим точки A и B с центром и разделим угол BAO пополам.

∠AOB = (2/5)d

В равенстве ∠BAO + ∠ABO + ∠AOB = 2d

∠BAO = ∠ABO, следовательно, ∠BAO = ∠ABO = (4/5)d.

Так как ∠α = ∠β по построению, то из равенства

∠α + ∠β = (4/5)d следует, что ∠α = ∠β = (2/5)d

Треугольник ABC равнобедренный, ибо

∠α = (2/5)d, ∠B = (4/5)d,

следовательно, из равенства

∠α + ∠B + ∠ACB = 2d имеем:
(2/5)d + (4/5)d + ∠ACB = 2d и ∠ACB = (4/5)d.

Таким образом

∠ACB = ∠ABC = (4/5)d

следовательно,

AB = AC

Треугольник ACO тоже равнобедренный, ибо

∠β = (2/5)d и ∠AOB = (2/5)d

следовательно, AC = CO и таким образом AB = AC = CO.

Так как отрезок AC делит угол треугольника пополам, то имеет место пропорция (теорема 98)

AO/AB = OC/CB

Так как AB = OC и AO = OB, то

OB/OC = OC/CB

откуда видно, что OC равно большей части радиуса OB, разделенного в крайнем и среднем отношении. Так как OC = AB, то и сторона десятиугольника обладает тем же свойством.

Обозначив ее через a10, а радиус через r, имеем пропорцию

r/a10 = a10/(r - a10)

откуда положительное решение квадратного уравнения, определяющее сторону правильного вписанного десятиугольника, будет:

a10 = ((√5 - 1)/2)r.