Измерение углов и дуг круга

186. В самом начале курса геометрии было установлено, что значит равные углы, что значит один угол больше другого и что значит найти сумму двух углов, причем, чтобы не делать каких-либо ограничений, надо принять во внимание п. 19, где угол рассматривается, как результат поворота луча около точки (в плоскости). Благодаря этому, углы составляют систему величин, а каждый отдельный угол является определенным ее значением.

Так как здесь налицо те же основные положения, как и при рассмотрении отрезков, то все, что мы нашли для отрезков, справедливо и для углов: также можно измерять углы, принимая один из них за единицу, или находить отношение двух углов.

Чтобы измерять отрезки, нужно было только одно умение (пп. 165 и 172): откладывать на большем отрезке меньший. Так же точно, чтобы выполнять измерение углов, мы должны уметь откладывать меньший угол на большем, – а это мы умеем делать, умеем отличать больший угол от меньшего и умеем строить угол, равный данному.

Что же касается приближенного измерения углов (подобного изложенному в п. 181 для отрезков), то мы можем средствами геометрии лишь выполнять эти измерения с точностью до ½, ¼, 1/8, 1/16 и т. д., так как умеем угол делить только на 2, 4, 8, 16 и т. д. Равных частей. Существуют механические способы деления угла на сколько угодно равных частей.

За единицу при измерении углов принимают прямой угол; в предыдущем курсе мы часто встречались с углами, измеренными прямым углом. Например, если в равнобедренном треугольнике один угол прямой, то каждый из остальных = ½ прямого (½ d); каждый из углов равностороннего треугольника = 2/3 d; сумма внутренних углов n-угольника = 2d (n – 2) и т. д.

Но эта единица оказывается очень велика и на практике берут другую единицу, которая = 1/90 части прямого угла (1/90 d) и которая называется угловым градусом, при письме обозначают эту единицу знаком (°) и, следовательно,

угол равностороннего треугольника = 2/3 d = 60°,
сумма углов треугольника = 2d = 180° и т. д.

Затем вводят еще единицы: угловой градус делят на 60 равных частей, и такую часть называют угловою минутою, – ее знак ('); угловую минуту делят еще на 60 равных частей и такую часть называют угловой секундою, – ее знак ('').

Например, имеем ¼ d = 22°30'; 1/16 d = 5°37'30''.

Деление прямого угла на 90 равных частей, а углового градуса на 60 равных частей и т. д. Нельзя выполнять геометрически (циркулем и линейкою), а возможно лишь выполнять механическими способами.

187. Упражнения. 1. Часы показывают 25 минут второго. Вычислить в градусах угол между стрелками часов.

2. Вычислить в градусах (минутах и секундах) внутренний угол правильного 8-угольника, 12-угольника, 20-угольника (его еще мы не умеем строить), 14-угольника (его геометрическими способами невозможно построить).

3. Даны 2 угла; найти отношение этих углов, полагая, что при отыскании общей меры этих углов дойдем до остатка, о котором можно, хоть приближенно, принять, что он укладывается в предыдущем целое число раз (наложение одного угла на другой надо выполнять при помощи циркуля).

188. В п. 21 мы научились различать равные дуги одного круга (или равных кругов) и неравные дуги (знаем, что значит одна дуга больше другой), составили понятие о сумме двух дуг. Надо лишь иметь в виду, что сумма нескольких дуг может оказаться больше всего круга: прикладывая к одной дуге другую, к полученной сумме третью и т. д., можем обойти весь круг и зайти за ту точку, где начинается первая дуга. На основании этих сведений мы также, как и для отрезков, можем утверждать, что дуги одного круга можно выражать числами, принимая за единицу любую дугу. Для выполнения измерения дуг необходимо лишь одно умение, – умение откладывать равные дуги, а это можно выполнять при помощи циркуля, которым можно откладывать равные хорды: равным хордам соответствуют равные дуги (п. 119).

Обычно за единицу при измерении дуг принимают 1/360 часть всей окружности; разделить окружность на 360 частей геометрическими способами мы не можем, можем достигнуть этого механическими приемами (п. 148). Эта единица называется дуговым градусом; дуговой градус делят еще на 60 равных частей и эту часть называют дуговою минутою; разделив последнюю на 60 равных частей, получим дуговую секунду. Знаки для их обозначения употребляются такие же (°, ' и '') как и для угловых градуса, минуты и секунды. Недоразумения здесь быть не может, так как всегда видно, об измерении угла или дуги идет речь. Например,

∠AOB = 56° 8' 24'' и ◡MN = 17° 42' 5''

(в первом случае угловые единицы, во втором — дуговые).

189. В том случае, когда две дуги одного круга или два угла несоизмеримы, отношение этих дуг или отношение этих углов признается нами равным какому-то иррациональному числу. Однако, мы не можем утверждать, что эти числа таковы же, как и те, которым равны отношения каких-либо двух отрезков: чтобы это утверждать, надо было бы убедиться, что для любой пары углов (или дуг одного круга) можно было бы построить два таких отрезка, чтобы можно было признать отношение двух углов (или дуг круга) равным отношению двух построенных отрезков, т. е. чтобы быть убежденным, что всякое рациональное число, большее одного из этих отношений, больше и другого, и всякое рациональное число, меньшее одного из этих отношений, меньше и другого. Геометрического решения указанного вопроса (построить требуемые два отрезка) вообще не возможно, но общая теория иррациональных чисел позволяет утверждать, что отношение двух несоизмеримых значений одной и той же системы величин (напр., углов) дает иррациональное число, которое можно рассматривать, как отношение двух несоизмеримых отрезков.

190. В частном случае мы можем легко усмотреть, что отношение двух углов равно отношению двух определенных дуг.

Отношение углов равно отношению дуг

Построим круг O (чер. 194) и два центральных угла ∠AOB и ∠COD, которые опираются соответственно на дуги AB и CD. Рассмотрим два отношения ∠AOB/∠COD и ◡AB/◡CD. Найдем самое большое число со знаменателем n, чтобы оно было меньше первого отношения. Для этого разделим ∠COD на n равных частей (выполнить на самом деле такое построение мы можем лишь тогда, когда число n есть степень числа 2, т. е. 4, 8, 16, 32 …, если же число n какое-либо иное число, то все дальнейшее должно основываться на допущении, что существует угол, хотя мы его построить и не умеем, составляющий 1/n часть данного ∠COD) и станем такие углы укладывать на угле AOB, – допустим, что их уложится m с остатком KOB (∠KOB < 1/n ∠COD); тогда мы найдем число m/n, самое большое со знаменателем n, которое меньше ∠AOB/∠COD (здесь же получим самое малое число со знаменателем n, которое больше ∠AOB/∠COB, – оно есть (m+1)/n).

Мы знаем (п. 23), что равным центральным углам соответствуют равные дуги и обратно, что большему центральному углу соответствует большая дуга и обратно. Поэтому делением ∠COD на n равных частей мы и дугу CD разделим на n равных частей; затем, когда откладывали n-ые части ∠COD на ∠AOB, мы в то же самое время откладывали n-ые части ◡CD на ◡AB: их на ◡AB уложилось тоже m, и остаток KB меньше 1/n части ◡CD. Поэтому дробь m/n должна быть также меньше отношения ◡AB/◡CD (а число (m+1)/n должно быть больше ◡AB/◡CD).

Отсюда мы приходим к заключению, что нельзя найти такое число, чтобы оно было больше одного из рассматриваемых отношений и меньше другого; поэтому

∠AOB/∠COD = ◡AB/◡CD,

т. е. отношение двух центральных углов равно отношению соответствующих им дуг.

191. Обращаясь к практическому измерению углов угловыми градусами, а дуг — дуговыми градусами, мы прежде всего обратим внимание на то, что центральному углу в 1° соответствует дуга в 1°.

Мера углов и дуг

Это ясно из следующего: построим для круга O (чер. 195) два перпендикулярных диаметра CC' ⊥ BB'; тогда окружность разделится на 4 равные части и каждой из них соответствует прямой центральный угол. Но в четвертой части окружности 360/4 = 90 дуговых градусов; следов., прямому углу, в котором 90 угловых градусов, соответствует дуга, в которой 90 дуговых градусов.

Если мы дугу B'C' (четверть окружности) разделим на 90 равных частей и точки деления соединим с центром O, то в силу первого положения (равным дугам соответствуют равные центральные углы) и прямой ∠C'OB' разделится на 90 равных частей. Следовательно, наше положение оправдывается.

Если, напр., ◡B'M = 1°, то ∠B'OM = 1°.

Пусть теперь имеем какой-либо центральный ∠AOB, которому соответствует дуга AB. Отложим от точки A по дуге AB дуговые градусы и концы откладываемых дуг соединим с центром; тогда увидим, что в центральном угле AOB уместится столько угловых градусов, сколько дуговых уместится на дуге AB. Если при отложении дугового градуса на ◡AB получим остаток, меньший дугового градуса, то соответственный центральный угол должен быть меньше углового градуса. Если в этом остатке укладывается определенная часть дугового градуса несколько раз без остатка, то, в силу первого положения, в угловом остатке уложится столько же раз такая же часть углового градуса.

Напр., если в дуговом остатке дуговая минута уложится несколько раз с остатком, то в угловом остатке уложится столько же угловых минут с остатком. В этих остатках (угловом и дуговом) угловая секунда и дуговая секунда или их одинаковые части также должны укладываться по одинаковому числу раз.

Отсюда заключаем:
В центральном угле столько угловых градусов, минут, секунд и их частей (вообще угловых единиц), сколько дуговых градусов, минут, секунд и их таких же частей (вообще соответствующих дуговых единиц) в соответствующей этому углу дуге.

То же выражают короче: центральные углы измеряются соответствующими им дугами.

Если, напр., нашли, что ◡AB = 66° 12' 48'', то и ∠AOB = 66° 12' 48'' (в первом случае дуговые градусы, минуты и секунды, а во втором — угловые).

192. На практике для измерения углов градусами употребляется инструмент, основанный на предыдущем свойстве и называемый транспортиром. Вот его устройство.

Транспортир

Берется металлический полукруг (чер. 196), разделенный на градусы (в хороших транспортирах делают деления чрез ½ градуса или даже чрез 1/3 градуса). На линейке, связанной в одно целое с полукругом, отмечается центр последнего O. Для измерения какого-либо угла располагают транспортир так, чтобы точка O транспортира совместилась с вершиною угла и прямая OA (или OA') транспортира совместилась с одною из сторон угла. Тогда надо заметить, в каком месте разделенной дуги транспортира эта последняя пересекается с другою стороною угла, – найденное деление и дает выражение угла в градусах. Также транспортиром можно пользоваться для того, чтобы чертить углы данного числа градусов.

193. В пп. 132 и 133 было найдено, что вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, что и угол, составленный хордою и касательною, равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, заключенную внутри первого угла.

Теперь, пользуясь предыдущим п., мы можем установить, что вписанный угол и угол, составленный хордою и касательною, измеряется половиною дуги, заключенной внутри этих углов. Например, если ◡AB (чер. 197) = 80° 21' 18'', то ∠ACB = 40° 10' 39'' и если ◡MN' = 41° 10', то ∠N'MP = 20° 35'.
Вписанный угол и угол между хордой и касательной

194. Рассмотрим еще AOB (чер. 198), вершина которого расположена на окружности, а стороны как-либо пересекают окружность. Продолжив сторону OA в направлении OC, получим вписанный ∠COB, который опирается на ◡CMB. Пусть в ◡OB заключено m° и в дуге OC — n°; тогда ◡CMB = 360° – (m + n), а Вычисление величины угла. Тот же угол ∠AOB, который нам нужен, дополняет ∠COB до выпрямленного, т. е.

Вычисление величины угла

Вписанный угол

Поэтому, построив еще луч OD, продолжение луча OB, и замечая, что ◡OB = m° лежит внутри ∠AOB, а ◡OC = n° лежит между продолжениями сторон этого угла, мы имеем:

Угол, вершина которого расположена на окружности, а стороны пересекают окружность, измеряется половиною суммы дуг, заключенных между сторонами угла и их продолжениями.

195. Упражнения.

  1. 1. Угол, вершина которого расположена внутри круга, измеряется полусуммою дуг, заключенных между сторонами этого угла и их продолжениями.
    (Можно построить треугольник, для которого данный угол явится внешним, а внутренние, с ним не смежные, сумме которых он равен, явятся вписанными в этот круг углами).
  2. 2. Угол, вершина которого лежит вне круга, а стороны или пересекают круг, или касаются его, измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.
  3. 3. Окружность разделена на 4 части, относящиеся как 2 : 3 : 5 : 6, и точки деления соединены по порядку прямыми. Вычислить углы полученного вписанного 4-угольника.
  4. 4. Окружность разделена на 3 части, относящиеся как 8 : 9 : 10, и в точках деления построены касательные. Вычислить углы полученного описанного треугольника.