Углы и стороны в треугольниках

85. Построим равнобедренный ∆ABC (чер. 92), у которого AB = BC. Тогда мы знаем, что его углы при основании равны, т. е. ∠A = ∠C. Пронумеруем эти углы, – тогда ∠1 = ∠2. Станем теперь строить новые треугольники ABC', ABC'' и т. д. так, чтобы сторона AB и ∠B оставались неизменными, но сторона BC увеличивалась. Тогда угол A должен увеличиваться (что очевидно), а угол C станет уменьшаться: мы видим, что ∠3 < ∠2, ∠4 < ∠3 и т. д., потому что ∠2 есть внешний угол для ∆ACC' и, следов., ∠2 > ∠3 или ∠3 < ∠2, также ∠3 есть внешний угол ∆AC'C'' и, след., ∠3 > ∠4 или ∠4 < ∠3 и т. д. (уменьшение угла C видно еще из того, что сумма углов треугольника всегда равна 2d: угол B не изменяется, угол A увеличивается, – след., ∠C должен уменьшаться).

Изменение углов в треугольнике

Из этих построений мы вправе сделать заключения:

1) Если в треугольнике две стороны равны, то против них лежат равные углы.

2) Если в треугольнике две стороны не равны, то против большей из них лежит и больший угол.

86. Теперь, наоборот, построим: 1) треугольник с двумя равными углами и 2) треугольник с двумя неравными углами и сравним стороны, противолежащие этим углам. Для решения вопросов, здесь возникающих, воспользуемся способом рассуждения, часто употребляемым в математике.

1) Пусть ∆ABC (чер. 93) постоен так, что ∠A = ∠C. Сравнить стороны BC и BA.

Треугольник с двумя равными углами

Пока, не зная ничего про стороны AB и BC, мы можем сделать об них 3 предположения: 1) AB = BC, 2) AB > BC и 3) AB < BC – иных предположений быть не может. Рассматривая эти предположения, мы можем заметить, что два из них не годятся, так как противоречат предыдущему. В самом деле, 2-е предположение, что AB > BC должно, на основании предыдущего п., повлечь за собою следствие, что ∠C > ∠A, а у нас построено: ∠C = ∠A. Следовательно, это предположение должно быть вычеркнуто. Также из 3-го предположения, что AB < BC следует, что ∠A > ∠C, что также противоречит нашему построению. Следовательно, и это предположение должно быть вычеркнуто. Остается поэтому лишь одно предположение, что AB = BC, которое и должно быть верно, так как иных сделать нельзя. Поэтому имеем:

Если в треугольнике два угла равны, то против них лежат равные стороны.

2) Пусть ∆ABC (чер. 93) постоен так, что ∠A > ∠C. Сравнить стороны BA и BC.
Опять мы можем сделать 3 предположения: 1) AB = BC, 2) AB > BC и 3) AB < BC. Теперь видим, что первое предположение не годится, так как на основании п. 85 из него вытекало бы, что ∠C = ∠A, что противоречит нашему построению; также найдем, что 2-е предположение, что AB > BC не годится, так как из него вытекало бы, что ∠C > ∠A, что противоречит построению. Остается лишь 3-е предположение, что AB < BC, которое и должно быть верно. Поэтому имеем:

Если два угла в треугольнике неравны, то против большего из них лежит большая сторона.

Теперь легко решаются вопросы: 1) какая из сторон прямоугольного треугольника самая большая? 2) Какая из сторон тупоугольного треугольника самая большая?

87. В двух предыдущих пп. мы имели дело с двумя положениями: 1) против большей стороны лежит больший угол и 2) против большего угла лежит большая сторона. Мы нашли, что эти мысли справедливы для одного треугольника. Возникает вопрос, справедливы ли они для двух треугольников? Несомненно справедливы для двух равных треугольников, так как равные треугольники можно наложением слить в один треугольник. Но, вообще говоря, к двум различным (не равным) треугольникам эти положения не могут быть применимы: мы можем построить два таких треугольника ∆ABC и ∆A'B'C' (чер. 94), чтобы ∠B был > ∠B', но AC была бы < A'C'. Чертеж пояснений не требует. Но есть один случай, когда указанные мысли применимы и к двум различным треугольникам).

Сравнение углов разных треугольников

Этот случай легко уясняется наглядно. Возьмем две палочки AB и BC (чер. 95 bis) и сложим их концами (в точке B). Если вращать палочку BC около точки B по стрелке, то ∠B станет увеличиваться: сторона BC будет менять свое положение (пусть одно из них есть BC'), но все время BC останется равным самому себе; не изменяется также и отрезок AB. Обратим внимание, что точками A и C определяется еще отрезок AC, на чертеже не изображенный. При вышеуказанном вращении точка C меняет свое место и нам ясно, что этот отрезок AC, не изображенный на чертеже, должен увеличиваться (напр. AC' > AC), т. е., если 2 стороны треугольника не изменяются, а угол между ними увеличивается, то третья сторона так же увеличивается. В тексте этот случай выяснен без помощи такого наглядного представления.

Влияние изменения угла на изменение стороны треугольника

Построим два таких треугольника, чтобы у них было по две равных стороны, но чтобы углы между ними не были равны. Пусть в ∆ABC и в ∆A'B'C' (чер. 95) имеем AB = A'B', BC = B'C', но ∠B > ∠B'. Сравним стороны AC и A'C', лежащие против неравных углов. Для этого наложим ∆A'B'C' на ∆ABC так, чтобы сторона A'B' совпала с равною ей стороною AB. Тогда сторона B'C' должна пойти внутри ∠B, потому что ∠B' < ∠B, но где кончится эта сторона, т. е., где расположится точка C', неизвестно. Может быть, она расположится как раз на стороне AC, может быть, расположится вне ∆ABC, а может быть внутри этого треугольника. Разберем эти три случая отдельно.

1) Пусть ∆A'B'C' расположится так, что займет положение ∆ABD (чер. 96), так что точка C' попадет в D, на сторону AC; тогда, очевидно, AD < AC или A'C' < AC (AD есть та же сторона A'C', только перенесенная в другое место).

Наложение треугольников

2) Пусть ∆A'B'C' при наложении займет положение ∆ABD (чер. 97), т. е. точка C' расположится в точке D, вне ∆ABC. Тогда, соединив точки C и D, получим ∆BCD, у которого BC = BD, так как, по построению, B'C' = BC, а BD есть та же сторона B'C', лишь перенесенная в другое место. Поэтому ∆BCD – равнобедренный, и ∠BCD = ∠BDC. Рассмотрим теперь ∆ACD; про два его угла, а именно про ∠C (или ∠ACD) и про ∠D (или ∠ADC) легко сообразить, пользуясь отмеченными равными углами равнобедренного треугольника, какой из них больше другого. В самом деле, мы видим, что ∠ACD < отмеченного угла BCD при основании равнобедренного треугольника, а ∠ADC > отмеченного угла BDC при основании равнобедренного треугольника. Но ∠BCD = ∠BDC, следовательно, ∠ADC > ∠ACD. Поэтому на основании п. 86 (применяя его к ∆ACD) имеем AC > AD, но AD есть сторона A'C', перенесенная в другое место, – следовательно, AC > A'C'.

Наложение треугольников

3) Пусть ∆A'B'C' при наложении займет положение ∆ABD (чер. 98), т. е. точка C' расположится внутри ∆ABC. Тогда, соединив точки C и D, получим равнобедренный ∆CBD (BD = BC, ибо BD есть сторона B'C', перенесенная в другое положение, а B'C' = BC по построению) и, следовательно, ∠BCD = ∠BDC. Если продолжить стороны BD и BC по направлениям DM и CN, то получим два внешних угла этого равнобедренного треугольника ∠MDC и ∠NCD, но ∠MDC = ∠NCD, следовательно, ∠ADC > ∠ACD, а поэтому, на основании п. 86, имеем AC > AD, или AC > A'C' (AD есть сторона A'C', перенаправленная в другое положение).

Итак, во всех трех случаях оказалось, что

AC > A'C',

т. е., если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, но углы между ними не равны, то против большого угла лежит большая сторона.

88. Разберем обратный вопрос. Пусть построены ∆ABC и ∆A'B'C' (чер. 95) так, что AB = A'B', BC = B'C', но AC > A'C', т. е. два треугольника имеют по две равных стороны, но третьи стороны их не равны. Сравнить ∠B и ∠B'.
Воспользуемся тем же способом рассуждения, как в п. 86.

Пока мы можем об углах B и B' сделать три предположения: 1) ∠B = ∠B', 2) ∠B > ∠B' и 3) ∠B < ∠B'.

Первое предположение не годится, так как тогда наши треугольники, имея по построению по две равных стороны и равные углы между ними, были бы равны, и, следовательно, AC' = A'C', а это противоречит построению. Третье предположение, что ∠B < ∠B' также не годится, так как тогда к этим треугольникам был бы применим результат, найденный в предыдущем п., на основании которого имели бы AC < A'C', что также противоречит построению. Остается второе предположение, что ∠B > ∠B', которое и должно быть верно. Итак:

Если две стороны одного треугольника равны соответственно двум сторонам другого, но третьи стороны этих треугольников не равны, то против большей стороны лежит и больший угол.