Углы в круге

132. Мы уже знакомы с центральными углами. Построим теперь угол, вершина которого лежит на окружности и сторонами служат хорды. Такой угол называется вписанным в круг. Пусть построен ∠ABC (чер. 135, I или II), вписанный в круг O. Он опирается на дугу AC. Построим еще центральный ∠AOC, опирающийся на ту же дугу. Тогда между ∠ABC и ∠AOC существует простая зависимость. Для ее выяснения построим диаметр DB — мы будем сначала рассматривать случай, когда этот диаметр идет внутри ∠ABC, – получим два равнобедренных треугольника — ∆AOB и ∆BOC, у которых углы при основании равны: на чертеже равные углы обозначены одним и тем же нумером, – ∠A = ∠ABO = ∠1 и ∠C = ∠CBO = ∠2.

Вписанные углы

Тогда ∠AOD является внешним для ∆AOB, и он равен сумме внутренних с ним несмежных, т. е.

∠AOD = ∠1 + ∠1 = 2∠1.

Также ∠DOC есть внешний для ∆BOC и, следовательно,

∠DOC = ∠2 + ∠2 = 2∠2.

Отсюда сложением находим:

∠AOC = ∠AOD + ∠DOC = 2∠1 + 2∠2 = 2(∠1 + ∠2) = 2∠B, где под обозначением ∠B понимаем ∠ABC.

Итак,

∠AOC = 2∠ABC
или ∠ABC = ½ ∠AOC = ∠AOC / 2.

Если одна из сторон вписанного угла проходила бы чрез центр, то дело упрощалось бы и еще скорее получилась бы та же зависимость. Например, для вписанного угла ABD:

∠AOD = 2∠1 = 2∠ABD или ∠ABD = ½ ∠AOD = ∠AOD / 2.

Рассмотрим теперь случай, когда диаметр BD проходит вне угла ABC (чер. 136). Тогда, согласно предыдущему, имеем:

∠ABD = ½ ∠AOD,
∠CBD = ½ ∠COD,

так как одна сторона углов ABD и CBD служит диаметром.

Вписанные углы

Вычитанием находим:

∠ABC = ∠ABD – ∠CBD = ½ ∠AOD – ½ ∠COD =
= ½ (∠AOD – ∠COD) = (∠AOD – ∠COD) / 2.

Но разность ∠AOD – ∠COD равна ∠AOC, следовательно, ∠ABC = ∠AOC / 2.

Итак, найденная зависимость справедлива для всех возможных случаев. Поэтому имеем:

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

133. Если хорду AB (чер. 136) вращать по направлению от BC вокруг точки B, то вписанный угол ABC станет увеличиваться, но все время будет сохраняться найденная выше зависимость между вписанным и центральным углом. Наконец, прямая AB может сделаться касательною к кругу (чер. 137) и тогда получим ∠ABC, составленный хордою и касательною; если касательную продолжить, то получим другой такой же ∠DBC. Уже из того процесса вращения, которым мы перешли от вписанного угла к этому новому углу, видно, что угол, составленных хордою и касательною, являясь предельным случаем вписанного угла, должен подчиниться той же зависимости, которая была найдена в предыдущем п. для вписанного угла. Но возможно то же самое увидать иначе. Рассмотрим, например, ∠CBD (чер. 137). Построим диаметр MN ⊥ BC и соединим точку касания B с O; тогда BO ⊥ AD. Так как ∆KBO прямоугольный, то ∠KBO + ∠KOB = d, но ∠ABO = d или ∠ABK + ∠KBO = d. Отсюда заключаем, что ∠KOB = ∠ABK, так как каждый из этих углов дополняет один и тот же ∠KBO до прямого.

Углы между касательной и хордой

Но ∠CBD = выпрямленному углу – ∠ABK и ∠BON = выпрямленному углу – ∠KOB. Следовательно, ∠CBD = ∠BON = ∠COB / 2, где под именем ∠COB надо понимать угол, больший выпрямленного и который опирается на дугу CNB, то и ∠CMB равен половине того же центрального угла COB. Отсюда заключаем, что ∠CBD = ∠CMB. Также (еще проще) можно получить, что ∠ABC = ∠CNB (углы CMB и CNB на чертеже не даны). Этот результат можно выразить в следующей форме:

Угол, составленный хордой и касательной, равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, заключенную внутри первого угла.

134. Построим в круге O (чер. 138) диаметр AC и какой-либо вписанный ∠ABC, опирающийся на полуокружность ADC или, как часто говорят, опирающийся на диаметр AC.

Тогда ∠ABC = ½ ∠AOC, но ∠AOC выпрямленный; следовательно, ∠ABC = d, т. е.:

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, – прямой.

135. Построим в круге какую-либо хорду AB (чер. 139) и ряд вписанных углов, опирающихся на ◡AB: ∠C, ∠C1 и т. д.

Углы, опирающиеся на хорду

Тогда каждый из этих углов равен половине центрального угла, опирающегося на дугу AB, и следовательно ∠C = ∠C1 = …

Этот результат можно истолковать в следующей форме. Пусть в точке C помещен наш глаз, тогда лучи зрения, идущие из глаза к концам отрезка AB, составляют ∠ACB, – говорят, что из точки C отрезок AB виден под углом ACB. Переместим наш глаз в точку C1; тогда отрезок AB будет виден под углом AC1B, который равен прежнему. Вообще, в какую бы точку дуги ACDB мы ни поместили наш глаз, отрезок AB будет виден все под таким же углом.

Поместим теперь наш глаз в какую-либо точку M, находящуюся внутри круга; тогда из этой точки отрезок AB будет виден под углом AMB, который уже неравен прежнему; продолжив AM до пересечения с окружностью в точке D и соединив D с B, получим ∆MBD, для которого ∠AMB есть внешний, и, следовательно, ∠AMB > ∠ADB или ∠AMB > ∠C (ибо ∠ADB = ∠C).

Поместим теперь наш глаз в какую-либо точку N вне круга. Чтобы упростить чертеж, возьмем точку N на продолжении прямой AD; тогда из точки N отрезок AB виден под углом ANB. Рассматривая ∆BDN, найдем ∠ADB > ∠N (ибо ∠ADB внешний для ∆BDN) или ∠N < ∠ADB или ∠N < ∠C, т. е. из внешней точки отрезок AB виден под меньшим углом, чем из точек дуги ACDB.

Заметим, что мы здесь должны брать точки C, M и N только по одну сторону от прямой AB.

Общим результатом предыдущих изысканий является заключение:

Геометрическим местом точек, из которых какой-либо отрезок виден под одним и тем же углом, есть дуга круга, проходящего чрез концы этого отрезка.

Если бы мы захотели рассмотреть точки и по другую сторону прямой AB, то нашли бы и с другой ее стороны такую же дугу, так что полное геометрическое место указанных точек состоит из двух дуг (см. чер. 140).

Геометрическое место точек, из которых виден один и тот же отрезок

136. Построить геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под данным углом.

Пусть дан отрезок AB и угол m (чер. 141). Построим геометрическое место точек, из которых AB виден под углом m. Постараемся сначала найти одну точку этого места. Чрез точку A построим произвольный луч AN и на нем выберем произвольную точку M, при которой построим ∠AMC = ∠m. Тогда замечаем, что из нашей точки M виден под углом m не весь отрезок AB, а лишь его часть AC. Но теперь не трудно на луче AM найти такую точку, из которой весь отрезок AB виден под углом m, для чего следует построить чрез точку B прямую BN || CM, – точка N пересечения луча AN и BN и явится искомою точкою. Чтобы получить искомое геометрическое место, остается построить круг чрез точки A, N и B, что мы умеем делать (п. 113).

Вписанные углы

Вот другой способ построения того же геометрического места. При точке A (чер. 142) отрезка AB построим ∠BAD = m, затем построим чрез середину отрезка AB перпендикуляр CO к этому отрезку AO ⊥ AD; точка пересечения O этих двух перпендикуляров служит центром искомого круга; так как O лежит на CO, то круг, описанный радиусом OA, принимая O за центр, пройдет и чрез точку B; ∠AOC = ∠BAD = ∠m, ибо ∠AOC И ∠BAD каждый в отдельности дополняет ∠OAB до прямого, но ∠AOC есть половина центрального угла AOB; поэтому всякий вписанный ∠AMB должен равняться ∠AOC и, следовательно, = ∠m.

137. Упражнения. 1. Найти точки, из которых два данных отрезка видны под прямыми углами.
2. Найти точки, из которых два данных отрезка видны каждый под данным углом.
3. Построить треугольник по основанию, противолежащему углу и по высоте.
Треугольников, имеющих данное основание и данный противолежащий угол, можно построить бесчисленное множество: их вершины расположены на том же геометрическом месте точек, из которых данное основание видно под данным углом. Остается среди этих вершин выбрать те, которые удалены от основания на расстояние, равное данной высоте, для чего строим прямую, параллельную основанию и отстоящую от него на расстояние, равное данной высоте.
4. Построить треугольник по основанию, медиане и углу при вершине.

Вписанный четырехугольник

138. В круг O (чер. 143) впишем какой-либо четырехугольник (выпуклый), для чего возьмем 4 точки A, B, C и D круга и соединим их по порядку прямыми. Рассмотрим полученные вписанные углы. Построив радиусы OA и OC и называя 2 полученных центральных угла m и n, а именно ∠AOC, опирающийся на дугу ABC, обозначим m (он меньше выпрямленного) и ∠AOC, опирающийся на дугу ADC, обозначим n (он больше выпрямленного), найдем:

∠D = m/2 и ∠B = n/2.

Сложением отсюда получим:

∠D + ∠B = (m + n) / 2,

но углы m и n в сумме составляют два выпрямленных угла (что легко увидеть, продолжив, напр. сторону OC) или 4 прямых угла; поэтому (m + n) / 2 = выпрямленному углу = 2d и, следовательно, ∠D + ∠B = 2d.

То же можно получить и для суммы углов A и C. Поэтому имеем:

Во всяком вписанном в круг выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна 2d.

Найденное свойство является необходимым признаком вписанного в круг четырехугольника, т. е., если 4-угольник вписан в круг, то необходимо, чтобы сумма двух противоположных углов = 2d. Посмотрим, достаточен ли этот признак для того, чтобы четырехугольник мог быть вписанным, или, другими словами, чтобы около него можно было бы описать круг (ведь, вообще говоря, через 4 произвольно взятых точки нельзя построить окружность, так как она определяется вполне тремя точками и может, следовательно, не пройти чрез четвертую точку).

Вписанный четырехугольник

Пусть имеем 4-угольник ABCD такой, что ∠B + ∠D = 2d (чер. 144). Прежде всего заметим, что тогда непременно сумма двух других углов, т. е. ∠A + ∠C, тоже равна 2d: в самом деле, мы имели (п. 81), что сумма всех четырех углов четырехугольника = 4d; так как ∠B + ∠D = 2d, то, следовательно, ∠A + ∠C = 2d.

Построим чрез три точки A, B и C круг, что делать умеем; возникает вопрос: пройдет ли он чрез точку D или нет? Допустим сначала, что точка D окажется вне круга и последний пересечет сторону AD в точке E. Соединив C и E, получим 4-угольник ABCE, вписанный в этот круг, и тогда имеем:

∠B +∠E = 2d.

Сравнивая это равенство с данным, что ∠B + ∠D = 2d, придем к заключению, что ∠E = ∠D (суммы равны и одно слагаемое одинаковое, следовательно, и другие слагаемые равны), но этого быть не может, так как ∠E (точнее ∠AEC) есть внешний для ∆ECD, а ∠D внутренний.

Допустим, что точка D окажется внутри круга и последний пересечет продолжение стороны AD в точке F. Тогда ∠B + ∠F = 2d, так как 4-угольник ABCF вписанный. Сравнивая с данным равенством ∠B + ∠D = 2d, получим, что ∠D = ∠F, чего быть не может, так как ∠D есть внешний, а ∠F внутренний угол для ∆DCF.

Остается, следовательно, принять, что круг пройдет чрез точку D и что, следовательно, около данного четырехугольника можно описать круг. Итак:

Если в выпуклом четырехугольнике сумма противоположных углов равна 2d, то около него можно описать круг.

Четырехугольник, около которого можно описать круг, называют часто вписываемым.

Прямое и обратное заключение этого п. можно выразить в иной форме:

Для того, чтобы выпуклый четырехугольник был вписываемым, необходимо и достаточно, чтобы сумма его двух противоположных углов равнялась 2d.

Упражнения. 1. В каком случае около параллелограмма можно описать круг?
2. В каком случае можно описать круг около трапеции?

139. Задача. Построить касательную к данному кругу чрез точку, данную вне круга.
Пусть дан круг O и точка A вне его (чер. 145). Требуется чрез A построить касательную к кругу.

Построение касательной из точки вне круга

Соединив центр круга O с данною точкою A, примем отрезок OA за диаметр нового круга. Построив этот второй круг (его центр есть середина отрезка OA), найдем его точки пересечения B и C с первым. Тогда прямые AB и AC служат касательными из точки A к кругу O.

В самом деле, соединив B с O, получим ∠OBA, вписанный во второй круг и опирающийся на его диаметр OA; такой угол прямой (п. 134), следовательно, AB ⊥ OB, а этого достаточно для того, чтобы прямая AB была касательной к кругу (п. 118). Также выясним, что AC есть касательная к кругу O.

OA есть линия центров наших кругов, поэтому она является осью симметрии всей фигуры: перегибая фигуру по оси OA, найдем, что B совместится с C и AB с AC, т. е. AB = AC. Итак, имеем:

Чрез точку, взятую вне круга, можно построить две касательных к этому кругу, и отрезки их от данной точки до точек касания равны между собою.

140. Построим треугольник, описанный около круга; для этого возьмем 4 точки A, B, C и D данного круга (чер. 146) и построим чрез эти точки касательные к кругу, точки пересечения M, N, P и Q последовательных касательных служат вершинами этого четырехугольника.

Описанный четырехугольник

Выбор 4 точек A, B, C и D несколько ограничен: две соседних точки не должны лежать на одном диаметре круга; напр., если бы точки B и C были концами одного диаметра, то касательные в них были бы параллельны и вершины N нельзя было бы найти.

Применяя к полученному описанному 4-угольнику MNPQ свойство касательных предыдущего п., найдем:

MA = MB = a; NB = NC = b; PC = PD = C; QD = QA = d,

где мы ввели обозначения a, b, c и d для четырех пар отрезков, равных между собой.

Мы можем скомбинировать 8 полученных отрезков в две группы, по 4 в каждой, равных попарно отрезков. Такая комбинация напрашивается сама собою. Возьмем сумму двух противоположных сторон четырехугольника:

MN + PQ = MB + BN + PD + DQ = a + b + c + d.

Также для двух других сторон найдем:

QM + PN = QA + AM + NC + CP = d + a + b + c.

Отсюда заключаем:

MN + PQ = QM + PN

т. е. сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна сумме двух других сторон.

Найденное свойство является необходимым признаком описанного 4-угольника, т. е., если 4-угольник описан около круга, то необходимо должно иметь место найденное свойство.

Посмотрим, является ли это свойство достаточным признаком для того, чтобы при его наличности этот четырехугольник мог бы быть рассматриваем, как описанный около круга, т. е. достаточно ли этого свойства для того, чтобы в четырехугольник можно было вписать круг (вписать круг в 4-угольник значит построить такой круг, который касался бы всех четырех его сторон).

Описанный четырехугольник

Пусть имеем 4-угольник MNPQ (чер. 147), у которого

MN + QP = MQ + NP.

Построим круг, касающийся прямых MQ, MN и NP, чтобы его центр лежал внутри полосы QMNP (п. 125 задача 4). Возникает вопрос, коснется ли этот круг стороны QP?

Допустим, что круг не коснется стороны QP и расположится внутри 4-угольника QMNP. Тогда, построив чрез Q вторую касательную QR к кругу, которая пересечет сторону NP в точке R, получим описанный 4-угольник QMNR, для которого имеем:

MN + QR = MQ + NR.

Вычитая это равенство по частям из данного, найдем:

QP – QR = NP – NR или QP – QR = RP.

Но это равенство противоречит свойству треугольника RPQ (п. 91), согласно которому должны иметь

RP > QP – QR.

Допустим затем, что круг пересекает сторону QP. Тогда касательная к этому кругу чрез точку Q займет положение QS и пересечет сторону NP в точке S. Из описанного 4-угольника QMNS имеем:

MN + QS = MQ + NS.

Вычитая отсюда данное равенство MN + QP = MQ + NP по частям, получим:

QS – QP = NS – NP или QS – QP = PS,

что опять-таки невозможно, так как из треугольника SQP имеем:

PS > QS – QP.

Поэтому остается принять, что построенный нами круг касается и стороны QP, т. е. в наш 4-угольник удалось вписать круг. Итак:
Если сумма двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна сумме двух других его противоположных сторон, то в такой четырехугольник можно вписать круг.

Четырехугольник, в который можно вписать круг, называют описываемым. Прямое и обратное заключение этого пункта можно выразить в такой форме:

Для того, чтобы четырехугольник был описываемым, необходимо и достаточно, чтобы сумма одной пары его противоположных сторон равнялась сумме другой пары.

Упражнения. 1. Найти необходимый и достаточный признак того, чтобы параллелограмм был описываемым.

2. Пусть около данной трапеции можно описать круг и в нее можно вписать круг. Показать, что каждая из непараллельных сторон этой трапеции равна ее средней линии.

141. Упражнения на всю главу.

  1. Свойство углов вписанного в круг 4-угольника, найденное в п. 138, можно выяснить иным способом. Построим диагональ BD (чер. 143) четырехугольника и касательную MN к кругу в точке B. Тогда ∠ADC = ∠MBA + ∠NBC (на осн. п. 133). Отсюда можно увидать, что ∠B + ∠D = выпрямленному углу (на чер. 143 BD и MN не даны).
  2. Геометрическим местом середин хорд, проходящих чрез данную точку внутри данного круга, служит другой круг, диаметр которого есть прямолинейный отрезок между центром данного круга и данною точкою.
  3. Отрезки прямых, проходящих чрез точку пересечения двух кругов, ограниченные двумя другими точками пересечения с этими кругами, видны из другой точки пересечения кругов под одним и тем же углом.
    Следует построить 2 таких отрезка и углы, под которыми они видны из другой точки; тогда можно заметить, что каждый из углов слагается из двух других углов: одно слагаемое общее и другие слагаемые равны между собою.
  4. Найти точку, из которой стороны треугольника видны под равными углами.
    (Надо суметь построить угол = 1(1/3)d.)
  5. Около треугольника описан круг; из какой-либо точки этого круга опущены перпендикуляры на его стороны. Основания всех трех перпендикуляров расположены на одной прямой (прямая Симсона).
    Надо найти четырехугольник, около которых можно описать круги, и рассмотреть полученные вписанные углы.
  6. Биссекторы внутренних углов какого-либо четырехугольника образуют, пересекаясь, вписываемый 4-угольник.