Правильные многоугольники

148. Мы знаем, что окружность делится пополам всяким диаметром. Если построить 2 взаимно перпендикулярных диаметра, то при центре получим 4 прямых угла, но равным центральным углам соответствуют равные дуги (п. 23), и, следовательно, окружность разделится на 4 равных части. Построив биссекторы этих прямых углов, разделим окружность на 8 равных частей; далее на 16 и т. д., – вообще, мы можем разделить окружность на 2n равных частей.

Легко найти способ деления круга на 6 равных частей. Так как сразу не видим решения этой задачи, то подвергнем ее исследованию.

Деление окружности на шесть равных частей

Допустим, что задача решена и окружность разделена на 6 равных частей, одна из которых есть ◡AB (чер. 155). Соединив точки деления с центром, получим равные центральные углы. Построив радиусы OA и OB и хорду AB, мы видим: 1) ∠AOB = 1/3 части выпрямленного угла = 1/3 (2d) = (2/3)d, 2) ∆AOB равнобедренный и, следовательно, ∠A = ∠B. Так как сумма углов треугольника равна 2d, а ∠AOB = (2/3)d, то ∠A + ∠B = 2d – (2/3)d = (4/3)d. Так как углы A и B равны, то каждый из них = (2/3)d. Таким образом оказывается, что все три угла в ∆AOB равны между собою, откуда следует, что и стороны равны, т. е. AB = OA. Следовательно, хорда, стягивающая шестую часть окружности, равна радиусу. Строить хорды, равные радиусу, мы можем с помощью циркуля, поэтому можно делить окружность на 6 равных частей.

Взяв точки деления чрез одну, разделим окружность на 3 равных части. Разделив пополам углы AOB, AOC и т. д., разделим окружность на 12 равных частей, затем на 24 и т. д., – вообще, можно разделить окружность на 3 * 2n равных частей.

Впоследствии научимся делить окружность на 5, 10, 20 и т. д., на 15, 30, 60 и т. д. равных частей.

Вопрос о делении окружности на равные части имеет важное практическое значение. Но геометр Гаусс (живший в первой половине XVIII века) доказал, что геометрическими средствами, т. е. с помощью циркуля и линейки, можно делить окружность на такое число равных частей, которое выражается формулою: 2n * (2n1 + 1) (2n2 + 1) (2n3 + 1)..., причем множители (2n1 + 1), (2n2 + 1) и т. д. Должны быть числами простыми и все между собою различны. Напр., можно разделить окружность на 204 равных части, ибо 204 = 22 * 3 * 17 = 22(21 + 1) * (24 + 1), но нельзя разделить окружность на 9 равных частей, ибо здесь множитель 3 повторяется два раза.

Существуют механические способы для деления окружности с очень большою точностью на сколько угодно равных частей.

Упражнение. Даны концы отрезка. Построить с помощью циркуля, не пользуясь линейкой, концы вдвое большего отрезка.

Вписанный и описанный многоугольник

149. Пусть окружность в точках A, B, C, D и т. д. (чер. 156) разделена на несколько равных частей. Соединим эти точки хордами, каждую с соседней; тогда получим выпуклый многоугольник, вписанный в круг. Не трудно увидать особенности этого многоугольника: 1) у него все стороны между собою равны, так как равные дуги стягиваются равными хордами (п. 119) и 2) у него все внутренние углы равны между собой, так как эти углы вписанные и опираются на равные дуги: каждый опирается на дугу, равную всей окружности без двух ее частей, например, ∠C опирается на ◡BAKED, которая равна всей окружности без двух частей ◡BC и ◡CD, а вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу; центральные же углы, опирающиеся на равные дуги, равны.

Выпуклый многоугольник, обладающий найденными двумя особенностями (все стороны равны, и все углы равны), называется правильным. Следовательно, мы построили правильный вписанный в круг многоугольник.

Если в точках A, B, C и т. д. Деления окружности на равные части построить касательные, то, принимая точки пересечения каждой касательной с двумя соседними за вершины, получим выпуклый многоугольник MNPQR..., описанный около круга. Этот многоугольник также правильный. В этом убедимся, рассматривая треугольники AMB, BNC, CPD и т. д. Все эти треугольники равнобедренные: например, в ∆AMB имеем ∠A = ∠B, так как каждый из них равен одному и тому же вписанному углу, опирающемуся на ◡AB (п. 133), откуда заключаем, что MA = MB. Кроме того, все наши треугольники равны между собою, так как у них имеется по одной равной стороне AB = BC = CD = … и углы, прилегающие к ним, равны, так как ◡AB = ◡BC = ◡CD = … Из равенства треугольников заключаем, что ∠M = ∠N = ∠P = … и, кроме того, AM = MB = BN = NC = CP = …, откуда видим, что каждая сторона описанного многоугольника состоит из двух равных отрезков (MN = MB + BN, NP = NC + CP и т. д.), – следовательно, все стороны этого многоугольника равны между собою, то есть MN = NP = … Оба признака правильного многоугольника выполнены.

Итак, мы умеем в круг вписать и около него описать правильные многоугольники, число сторон которых есть такое, на сколько равных частей мы умеем делить окружность.

150. Упражнения.

  1. Построить правильный 4-угольник (квадрат), описанный около круга. Сторона этого квадрата равна диаметру круга.
  2. Построить правильные вписанные в круг 6-угольник и 12-угольник.
  3. Построить вписанный в круг и описанный около него правильные треугольники. Сторона правильного описанного треугольника в 2 раза больше стороны вписанного.
  4. Построить правильный звездчатый 8-угольник, разделив окружность на 8 равных частей и соединяя точки деления чрез две (например, на чер. 156 A с D и т. д.).

151. Возможно предположение, что правильный многоугольник построен как-либо иначе без помощи окружности. Тогда возникает вопрос, возможно ли около него описать и в него вписать окружности.

Правильный многоугольник

Пусть имеем правильный многоугольник ABCDEF (чер. 157), следовательно, у него все стороны и все углы равны между собой. Разделим 2 его угла, напр., ∠A и ∠F пополам, пусть биссекторы OA и OF этих углов пересекаются в точке O. Соединим еще O с B и рассмотрим ∆FOA и ∆OAB; у них сторона OA общая, AF = AB, как стороны правильного многоугольника, углы между ними равны, потому что OA есть биссектор угла A. Отсюда заключаем, что OB = OF = OA (последнее равенство справедливо потому, что в ∆OFA углы при точках F и A равны, как половины равных углов многоугольника ABCDEF). Далее видим, что ∠ABO = ∠AFO и равен, следовательно, ½ угла B многоугольника, т. е. OB есть биссектор угла B. Соединив O с C, также найдем, что OC = OB = OA = OF и т. д. Следовательно, если примем O за центр и построим круг радиусом OA, он пройдет чрез все вершины многоугольника ABCDEF. Отсюда заключаем, что около всякого правильного многоугольника можно описать круг.

После этого стороны нашего многоугольника можно рассматривать как равные хорды построенного круга, но мы знаем, что равные хорды равно удалены от центра, т. е. перпендикуляры OM, ON, OP, опущенные из O на стороны многоугольника, все равны между собою. Построив, принимая O за центр, круг, радиусом OM, найдем, что он пройдет чрез точки M, N, P и т. д., и что каждая сторона AF, AB, BC и т. д. будет касательною к этому кругу. Мы можем теперь утверждать, что во всякий правильный многоугольник можно вписать круг.

Общий центр кругов вписанного и описанного называют центром правильного многоугольника. Его можно найти построением биссекторов двух углов многоугольника или построением перпендикуляров к двум сторонам чрез их средины, или построением биссектора одного угла и перпендикуляра к одной стороне из ее середины.

Радиус OA описанного круга называют радиусом правильного многоугольника. Радиус OM вписанного круга называют апофемой правильного многоугольника.