Таким образом точка S₁ обладает всеми свойствами внутреннего центра подобия двух кругов.

Если один круг лежит внутри другого (чер. 255), то оба центра подобия расположены внутри меньшего круга: внешний лежит вне отрезка OO1, а внутренний — внутри его.

Центры O и O₁ также соответствуют друг другу, так как SO₁/SO = r/R (из подобия ∆OAS и ∆O₁A₁S) и S₁O₁/S₁O = r/R (из подобия ∆S₁O₁A₁₁ и ∆S₁OA).

Итак, всякие два круга подобно расположены и имеют два центра подобия — внутренний и внешний; центру одного круга соответствует центр другого и любой точке одного соответствует та точка другого, которая расположена на радиусе, параллельном радиусу первого круга, идущему чрез взятую точку, и имеющем то же или обратное направление. Обратно: если чрез S построить любую прямую A и соответствующие точки пересечения соединить с центрами, то полученные радиусы должны быть параллельны между собою.

261. Если окажется, что радиус, напр., O₁C₁ (чер. 254), перпендикулярен к прямой SC₁, то и радиус OC, соединяющий центр O другого круга с его точкою C, соответствующей точке C₁, должен быть также перпендикулярен к SC. Отсюда следует, что касательная из точки S к одному из наших кругов должна касаться и другого круга. Точно так же, если построим касательную к одному кругу чрез точку S₁, то она должна касаться и другого круга.

Этим пользуются для решения задачи: построить общую касательную к двум данным кругам.

Надо найти сначала их центры подобия, для чего надо построить радиус OA и параллельный ему диаметр A₁A₁₁ второго круга (чер. 254). Соединив концы A и A₁, найдем внешний центр подобия S и соединив A и A₁₁, найдем внутренний центр подобия S₁. Затем чрез найденные центры подобия S и S₁ построим касательные к одному кругу — они и должны быть общими касательными. Всего общих касательных у двух кругов может быть 4. Если два круга имеют внешнее касание, то точка касания служит их внутренним центром подобия, и общих касательных тогда будем иметь 3; если два круга пересекаются, то внутренний ценр подобия лежит внутри обоих кругов, и из него нельзя построить касательных, - тогда получим только две общих касательных чрез внешний центр подобия; если 2 круга имеют равные радиусы, то внешний центр подобия удаляется в бесконечность и тогда две внешних касательных параллельны линии центров; если два круга имеют внутреннее касание, то точка касания служит их внешним центром подобия, - тогда возможна лишь одна общая касательная; если, наконец, один круг внутри другого, то оба центра подобия расположены внутри обоих кругов, и общих касательных вовсе не существует.

262. Можно применить понятие о центре подобия кругов к решению задачи, которую раньше мы решили другим способом (п. 227 зад. 3): построить круг, касающийся двух пересекающихся прямых и проходящий чрез данную точку.

Точка пересечения данных прямых является внешним центром подобия искомого круга и какого-либо еще касающегося данных прямых и расположенного внутри того же угла, где лежит данная точка, но не проходящего чрез эту точку. Последний круг легко построить. Затем найдем на нем точку, соответствующую данной, построим чрез найденную точку радиус построенного круга, а чрез данную точку построим прямую, параллельную этому радиусу, - точка пересечения ее с биссектором угла и должна быть центром искомого круга. Задача имеет 2 решения, так как у построенного сначала круга можно найти 2 точки, любую из которых можно принять за соответствующую данной.

263. Если возьмем три каких-либо круга O, O₁ и O₂ (чер. 256), то они попарно подобно расположены и к ним применимо свойство п. 256. У этих трех кругов всего 6 центров подобия и они располагаются на четырех прямых: UST, US₁T₁, SU₁T₁ и TS₁U₁. Чрез каждый центр подобия проходят 2 из этих четырех прямых.

264. Степень точки относительно круга. В п. 222 мы познакомились с понятием о степени точки относительно круга. Этим именем называется, как мы знаем, произведение отрезков какой-либо прямой, проходящей чрез эту точку и пересекающей круг, от этой точки до точек пересечения прямой с кругом. Если точка вне круга, то это произведение равно квадрату касательной из нашей точки к ругу; если точка внутри круга, то это произведение равно квадрату половины хорды, делящейся в этой точке пополам. Чтобы отличить первый случай от второго, считают степень точки во втором случае отрицательною и перед указанным квадратом половины хорды ставят знак минус.

Пусть имеем круг O (чер. 257) и точку M вне его. Построив касательную MA и прямые MO и OA, найдем из прямоугольного треугольника AOM, что степень точки M = MA² = OM² – OA² = OM² – R², где OA обозначаем чрез R.

Возьмем теперь точку M₁ внутри круга. Степень этой точки равна произведению отрезков хорды M₁B и M₁B', взятому со знаком минус. Если эта хорда перпендикулярна к прямой OM₁, соединяющей точку M₁ с центром, то хорда делится в точке M₁ пополам и M₁B₁ = M1B и, следовательно, степень точки M₁ = –M₁B². Из прямоугольного треугольника OM₁B найдем: M₁B² = OB² – OM₁² = R² – OM₁², а, следовательно, степень точки M₁ = – M₁B² = –(R² – OM₁²) = OM₁² – R².

В обоих случаях степень точки выражается одинаково: она равна квадрату расстояния точки от центра минус квадрат радиуса.

Если точка лежит на круге, то легко увидим, что ее степень равна нулю.

265. Пусть теперь имеем 2 круга O и O₁ (чер. 258). Возникает вопрос, не существует ли таких точек, степени которых относительно обоих кругов равны между собой. Если такие точки существуют, то где они расположены? Допустим, что M такая точка. Называя радиус OA чрез R и радиус O₁A₁ чрез r, имеем для этой точки M

Из этого равенства и их равенства OB + O₁B = d мы можем определить отрезки OB и O₁B, - получим для каждого одно решение (уравнения первой степени), откуда заключаем, что точка B вполне определена. Отсюда выводим: если бы мы нашли другую точку M₁, степени которой относительно наших кругов равны, и на нее опустим перпендикуляр на линию центров, то он должен пройти чрез ту же точку B и, следовательно, слиться с MB. Следовательно, все точки, степени которых относительно двух кругов равны, расположены на перпендикуляре к линии центров. Этот перпендикуляр носит название — радикальная ось двух кругов. Обратно, легко показать, что всякая точка перпендикуляра MB имеет равные степени относительно наших кругов.

Из равенства (2) видим: 1) если R = r, то OB – O₁B = 0 и OB = O₁B, т. е. радикальная ось двух равных кругов делит расстояние между их центрами пополам; 2) если R > r, то OB > O₁B, т. е. радикальная ось расположена ближе к центру меньшего круга.

Но, если мы назовем чрез x и y расстояния точки B от круга O и от круга O₁ (мы применяемся к случаю данному на чертеже: круги расположены один вне другого), то OB = R + x, O₁B = r + y и, подставив в равенство (2), найдем:
f48

У нас R + r < d и R – r > 0 (ибо считаем, что R > r). Тогда из последнего равенства вытекает x < y, т. е. радикальная ось ближе к большему кругу.

Далее видим, что если построить общую касательную CC₁ к нашим кругам, то для ее точки пересечения T с радикальною осью должны иметь: TC² = TC₁², или TC = TC₁, т. е. общая касательная двух кругов делится радикальною осью пополам.

Если два круга пересекаются, то радикальная ось должна пройти чрез точки пересечения, так как степень каждой из этих точек одинакова относительно каждого круга (она равна нулю); для построения радикальной оси в этом случае следует лишь построить прямую, определяемую этими точками пересечения.

Если два круга касаются, то радикальная ось есть перпендикуляр к линии центров чрез точку касания.

266. Пусть имеем 3 круга O, O₁ и O₂ (чер. 259). Построив радикальные ости mn и m₁n₁ двух пар кругов, мы найдем, что они пересекаются в какой-либо точке C, если только центры всех трех кругов не расположены на одной прямой. Так как точка C лежит на оси m₁n₁, то степени ее относительно кругов O₁ и O₂ одинаковы. Отсюда следует, что точка C имеет одинаковые степени и относительно кругов O и O₂, т. е. она должна лежать на радикальной оси последней пары кругов. Итак,

Радикальные оси трех кругов, взятых попарно, пересекаются в одной точке, которая называется радикальным центром трех рассматриваемых кругов.

Если из радикального центра построить касательные ко всем трем кругам, то они равны между собою.

Если три круга попарно пересекаются, то их общие хорды проходят чрез одну точку (общая хорда двух пересекающихся кругов есть их радикальная ось).

267. Свойством предыдущего п. можно воспользоваться для построения радикальной оси для двух непересекающихся кругов. Пусть даны круги O и O₁ (чер. 260). Построим третий круг O₂ чтобы его центр не лежал на линии центров OO₁ и чтобы он пересекался с каждым из данных кругов: с кругом O и точках A и B и с кругом O1 в точках C и D. Тогда AB есть радикальная ось кругов O и O₂, CD — радикальная ось кругов O₁ и O₂, точка пересечения K прямых AB и CD есть радикальный центр наших трех кругов. Построив прямую KK₁ ⊥ OO₁, получим радикальную ось кругов O и O₁.

268. Построить круг, касающийся данного круга и проходящий чрез две данных точки.

Пусть дан круг O и точки A и B (чер. 261). Воспользуемся предыдущею задачею. Искомый круг должен касаться данного; следовательно, радикальною осью этой пары кругов должна служить их общая касательная. Если бы ее удалось построить, то легко было бы построить и искомый круг. Для построения этой радикальной оси воспользуемся, как в предыдущем п., третьим кругом O₂, пересекающим и данный и искомый круг. Но у искомого круга мы знаем пока только 2 точки A и B; следовательно, и этот третий круг O₂ мы можем построить лишь так, чтобы он проходил чрез точки A и B. Итак, построим любой круг O₂, проходящий чрез точки A и B и пересекающий круг O, напри., в точках A' и B'. Тогда прямая AB есть радикальная ось искомого круга и круга O₂, прямая A'B' есть радикальная ось кругов O и O₂, а точка их пересечения K есть радикальный центр всех трех кругов. Теперь нетрудно построить радикальную ось круга O и искомого, так как она должна касаться круга O: надо чрез точку K построить касательную к кругу O, а их можно построить две KC и KC' (C и C' точки касания). Тогда получим два решения: 1) искомый круг определяется точками A, B и C и 2) искомый круг определяется точками A, B и C'.

269. Мы имеем в виду решить еще две задачи на построение кругов: 1) построить круг, касающий двух данных кругов и проходящий чрез данную точку; и 2) построить круг, касающийся трех данных кругов (задача Аполлонин). Для этого надо познакомиться еще с некоторыми свойствами центра подобия и радикальной оси двух кругов.

Чрез центр подобия S кругов O и O₁ (чер. 262) построена общая касательная SCC₁ к этим кругам и секущая SB, соответственные точки которой суть A и A₁, B и B₁.

270. Пусть круг M касается кругов O и O₁ (чер. 263), обоих внешним образом в точках A и B. Построим прямую AB и пусть эта прямая пересекает еще круг O в точке B₁ и круг O₁ в A₁. Тогда OAM есть прямая, - следовательно, углы при основаниях в равнобедренных треугольниках OAB₁ и MAB равны; также O₁BM есть прямая и, следовательно, углы при основании в равнобедренном треугольнике O₁A₁B равны углам в ∆MAB (на чертеже равные углы отмечены). Отсюда заключаем, что O₁A₁ || OA и O₁B || OB₁, откуда следует, что прямая B₁ABA₁ проходит чрез внешний центр подобия кругов O и O₁. Итак, если круг касается двух других, то точки касания расположены на прямой, проходящей чрез центр подобия, но не суть соответственные точки.

Мы разобрали случай, когда M с O и с O₁ имеет внешнее касание; также будет и для случая, когда M с O и с O₁ имеет внутреннее касание; но если M имеет с одним из кругов внешнее касание, а с другим внутреннее, то вместо внешнего центра подобия надо взять внутренний. Поэтому в предыдущем заключении мы и не указали, чрез какой именно центр подобия проходит прямая, соединяющая точки касания.

Если построить еще общую касательную SC₁C, то прямые CA и C₁B, как мы знаем, пересекаются в точке K, лежащей на радикальной оси кругов O и O₁. Но можно выяснить еще, что точка K лежит на круге M.

Точка A есть внутренний центр подобия кругов O и M, причем точке O соответствует точка M, радиус OC (который ⊥ SC) соответствует некоторый радиус MX круга M, который параллелен OC, но имеет обратное с ним направление. Точка B есть внутренний центр подобия кругов O₁ и M, причем точке O₁ соответствует точка M и радиус O₁C₁ круга O₁ соответствует некоторый радиус MY круга M, который параллелен радиусу O₁C₁, но имеет обратное с ним направление. Отсюда следует, что радиусы MX и MY параллельны друг другу (ибо O₁C₁ || OC) и одинаково направлены, но они имеют общую точку M, - следовательно, они совпадают. С другой стороны, точка X должна лежать на прямой CA и точка Y на прямой C₁B. Поэтому совпадение радиусов MX и MY требует, чтобы точка X и точка Y совпали с точкою K, где пересекаются прямые CA и C₁B. Следовательно, точка K есть конец радиуса MK круга, и M, и K лежит на круге M.

Далее прямой SC относительно центра подобия A должна соответствовать прямая KL, проходящая чрез K (ибо SC проходит чрез C) и параллельная SC. Кроме того, прямая KL ⊥ MK, ибо SC ⊥ OC (радиусы OC и MK соответствуют друг другу). Поэтому прямая KL касается круга M в точке K. К тому же результату придем, рассматривая соответствие относительно центра подобия B.

271. Теперь мы можем приступить к решению первой из намеченных задач: даны круги O и O₁ и точка P (чер. 264). Требуется построить круг, касающийся кругов O и O₁ и проходящий чрез P.

Пусть M искомый круг и точки A и B суть точки касания. Тогда легко найти точку X, где луч SP (S центр подобия кругов O и O1) пересекает круг M. Мы имеем:

SP · SX = SA · SB = SC · SC₁ (п. 269)

Отсюда SX/SC = SC1/SP, т. е. отрезок SX есть четвертый пропорциональный к трем известным отрезкам SC, SC1 и SP, - построить его мы умеем. Тогда задача сведется к задаче п. 268.

272. Задача Апполония. Даны три круга O₁, O₂ и O₃ (чер. 265). Построить круг, касающийся трех данных.

Мы будем рассуждать лишь в предположении, что мы ищем круг, касающийся каждого из данных внешним образом. Применить к другим случаям не представит затруднений (всего задача имеет 8 решений).

Пусть круг O есть искомый и A есть точка касания кругов O и O₁; тогда прямой MN, соединяющей точки касания M и N общих касательных для кругов O₁ и O₃, соответствует относительно центра подобия A (точка A есть внутренний центр подобия кругов O₁ и O) радикальная ось mn кругов O₁ и O₃: точке M соответствует точка m, лежащая на круге O и на радикальной оси кругов O₁ и O₃ (п. 270) и также точке N соответствует точка n, лежащая на радикальной оси кругов O₁ и O. Точно так же прямой PQ, соединяющей точки касания круга O₁ с общими касательными для кругов O₁ и O₂, соответствует радикальная ось pq кругов O₁ и O₂.

Точке R, где MN и PQ пересекаются, соответствует точка S, где mn и pq пересекаются, т. е. радикальный центр кругов O₁, O₂ и O₃. Поэтому точки R и S лежат на одной прямой с A.

Точки R и S мы можем построить; соединив их, получим (между ними) точку касания искомого круга с кругом O₁, после чего задача легко решается.