Соотношения в правильных многоугольниках

240. В п. 148 мы узнали, как разделить окружность на 4 равных части: для этого надо в круге O построить 2 перпендикулярных диаметра. Соединив точки деления, получим правильный вписанный в круг 4-угольник ABCD (чер. 236).

Вписанный квадрат

Из ∆AOB, в котором O прямой, имеем:

AB2 = AC2 + OB2

Назовем сторону AB чрез a4 (чтобы показать, что это — сторона 4-угольника) и радиус круга через R. Тогда

a42 = R2 + R2 = 2R2,

откуда

Вычисление стороны квадрата

241. В том же п. 148 мы узнали, что хорда, стягивающая дугу, равную 6-й части окружности, равна радиусу; другими совами: сторона правильного вписанного в круг шестиугольника равна радиусу, т. е.

a6 = R,

где a6 обозначает сторону правильного вписанного шестиугольника.

242. Разделив окружность на шесть равных частей и соединив точки деления чрез одну, получим правильный треугольник, вписанный в круг, - обозначим его сторону чрез a3. Пусть ABC (чер. 237) есть правильный треугольник, вписанный в круг O. Выразим его сторону чрез радиус R круга.

Вписанный треугольник

Мы предварительно делили окружность на 6 равных частей, и одна из этих точек деления, точка D, лежит на ◡CB. Легко сообразить, что ◡ACD = ◡ABD, так как каждая состоит из 3 шестых частей окружности. Поэтому точка D лежит на одном диаметре с точкою A. Построив этот диаметр AD и хорду DB, получим ∆ABD, у которого угол при B прямой, так как он вписанный и опирается на диаметр. Следовательно,

AB2 = AD2 – DB2

или, зная, что AB = a3, AD = 2R и DB = R (ибо a6 = R), получим a32 = 4R2 – R2 = 3R2,

откуда

Вычисление длины стороны треугольника

243. Мы можем также, пользуясь п. 240, найти a6 (т. е. сторону правильного вписанного восьмиугольника), a16 и т. д., а пользуясь п. 241, найти a12, затем a24 и т. д. Найдем, например, выражение a12 чрез R. Для этого чрез O (чер. 237) построим OE ⊥ DB и затем хорду DE; тогда DE = a12. Сторона правильного шестиугольника DB разделится прямою OE в точке K пополам; DB = R, следовательно, DK = R/2. Из ∆ODK имеем:

Вычисление длин сторон

244. Мы можем еще научиться делить окружность на 5, на 10, на 20 и т. д. Равных частей и вместе с тем научиться строить правильные многоугольники об 5, об 10, об 20 и т. д. Сторонах, а также найти выражения сторон этих многоугольников чрез радиус круга. Удобнее начать с правильного десятиугольника.

Чтобы исследовать эту задачу, допустим, что ◡AB (чер. 238) есть десятая часть окружности и хорда AB = a10. Тогда ◡AB = 36° и, следовательно, ∠AOB = 36°; ∆AOB равнобедренный (AO = OB, как радиусы). Так как угол при его вершине = 36°, то на долю углов при основании остается 180° – 36° = 144°, но эти углы равны, следовательно, ∠A = ∠B = 72°.

Градусы углов

Построим биссектор BC угла B; тогда ∠ABC = 36° и ∠CBO = 36°. Далее видим, что ∠ACB (внешний для ∆OCB) = ∠O + ∠CBO = 36° + 36° = 72°. Отсюда заключаем: 1) ∆ABC равнобедренный (углы при A и C равны), - следовательно, CB = OC или OC = AB.

Так как далее биссектор внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные двум его другим сторонам (п. 215), то

AC/CO = AB/BO

Но AB = CO и OB = OA, следовательно,

AC/CO = CO/OA (1)

Отсюда видим, что для получения отрезка OC, равного стороне AB правильного десятиугольника, надо радиус круга OA разделить на такие два отрезка AC и CO, чтобы один из них был средним пропорциональным между всем радиусом OA и другими отрезком AC.

Такое деление отрезка называется иногда золотым делением, но обычно называют его делением отрезка в крайнем и среднем отношении. Как выполнять такое деление, будет указано в следующем п., а здесь мы найдем выражение стороны правильного вписанного десятиугольника (a10) чрез радиус круга.

Из (1) имеем (AO = R, CO = a10, следовательно, AC = R – a10):

Вычисление сторон

245. Деление отрезка в крайнем и среднем отношении. Пусть требуется данный отрезок AB (чер. 239) разделить на такие две части, чтобы одна из них была среднею пропорциональною между всем отрезком AB и его остальною частью.

Деление отрезка на пропорциональные части

Для этого построим BC ⊥ AB и отложим BC = AB; затем, принимая BC за диаметр, построим круг, – его центр O расположен в середине отрезка BC. Построим далее прямую AO, которая пересекает круг в точках D и E и наконец отложим на AB отрезок AM = AD. Тогда в точке M отрезок AB разделится так, как это требовалось.
В самом деле AE есть секущая и AB касательная к кругу O. Поэтому (п. 221) имеем:

AE/AB = AB/AD.

Вычтем из каждого отношения этой пропорции по 1; получим:

AE/AB – 1 = AB/AD – 1,

или:

(AE – AB)/AB = (AB – AD)/AD,

или, так как AE – AB = AE – BC = AE – DE = AD = AM и AB – AD = AB – AM = MB,

AM/AB = MB/AM или MB/AM = AM/AB,

что и доказывает, что мы достигли требуемого результата.

Заметим, что AM/AB < 1, ибо AM < AB, следовательно, и MB/AM < 1 или MB < AM, т. е. средним пропорциональным является большая из двух частей, на которые мы делим отрезок AB.

246. Теперь мы можем построить правильный вписанный в круг десятиугольник: надо разделить радиус круга в крайнем и среднем отношении и строить хорды, равные большей из полученных частей.

Если разделить окружность на 10 равных частей и соединять точки деления чрез одну, то получим правильный пятиугольник, вписанный в этот круг.

Так как Вычисление, то легко получить пятнадцатую часть окружности: надо разделить ее на 6 и на 10 равных частей и вычесть из шестой доли окружности ее десятую долю, – этим решается вопрос построения правильного пятнадцатиугольника.

Мы можем затем удваивать число сторон построенных правильных многоугольников. Тогда получим правильные многоугольники о 20 сторонах, о 40 и т. д. сторонах, о 30 сторонах, о 60 сторонах и т. д.

248. Пусть имеем какой-либо правильный многоугольник об n сторонах. Легко вычислить каждый внутренний угол такого многоугольника. В самом деле, мы знаем (п. 81), что сумма внутренних углов n-угольника вычисляется по формуле 2d(n – 2) или в градусах 180°(n – 2).

Так как в правильном многоугольнике все углы между собою равны и всех их n, то каждый угол равен 180°(n – 2)/n.
Так, например, угол правильного шестиугольника = 180° · 4 / 6 = 120°, угол правильного десятиугольника = 180° · 8 / 10 = 144°, угол правильного десятиугольника = 180° · 14 / 16 = 157°30' и т. д.

Мы можем увидеть из этой же формулы, что с увеличением числа сторон угол многоугольника все увеличивается и приближается к 180°. В самом деле, этот угол равен

Вычисление угла

С увеличением числа n дробь 360°/n все уменьшается и может быть сделана, как угодно мала.

Правильный многоугольник

Затем из этой же формулы видим, что внутренний угол правильного многоугольника зависит только от числа сторон, не не зависит от самой стороны: если мы построим 2 правильных многоугольника ABC… и A'B'C'... (чер. 242) с одинаковым числом сторон, то, несмотря на то, что у одного каждая сторона больше каждой стороны другого, их внутренние углы должны быть равны между собою. Соединим еще центры этих многоугольников O с вершинами A и B, O' с вершинами A' и B'. Тогда ∆OAB ~ ∆O'A'B', так как углы в этих треугольниках при вершинах A, B, A' и B' равны между собою, ибо каждый из них есть половина одного из равных внутренних углов многоугольников; построим еще апофемы OK и O'K' многоугольников. Тогда имеем:

AB/A'B' = OA/O'A' = OK/O'K' (последнее на основании п. 211),

т. е. отношение сторон правильных одноименных многоугольников равно отношению их радиусов и равно отношению их апофем.

Называя число сторон каждого многоугольника чрез n и умножая оба члена первого отношения на n, отчего это отношение не изменится, получим:

(AB · n) / (A'B' · n) = OA/O'A' = OK/O'K'.

По AB · n есть периметр первого многоугольника; также A'B' · n — периметр второго. Следовательно,
отношение периметров правильных одноименных многоугольников равно отношению их радиусов или их апофем.

249. Теперь мы можем найти зависимость между стороною какого-либо правильного многоугольника, вписанного в круг (ее обозначим an), стороною одноименно описанного около того же круга правильного многоугольника (ее обозначим bn) и радиусом R этого круга. Пусть ABCD... есть правильный многоугольник, вписанный в круг O (чер. 243); следовательно, в точках A, B, C, D и т. д. Круг разделен на равные части. Поэтому, построив в этих точках касательные к кругу, получим правильный описанный многоугольник MNP с тем же числом сторон. Построим апофему OK вписанного многоугольника, а апофемою описанного служит радиус нашего круга (например, OB). Тогда к нашим двум многоугольникам применим предыдущий п., и мы имеем:

AB/MN = OK/OB (1)

Вычисление

250. В п. 243 мы указали возможность находить формулы для a8, a16 и т. д. для a12, a24 и т. д. Здесь дадим общую формулу, выражающую сторону правильного многоугольника, описанного в круг, с двойным числом сторон чрез сторону данного и через радиус круга. Пусть сторона данного вписанного правильного многоугольника есть AB (чер. 244), обозначим ее an. Построим OKC ⊥ AB; тогда OK есть апофема нашего правильного многоугольника и она равна, как найдено в предыдущем п.,

Вычисление

251. Упражнения.

  1. Найти формулы для a8 и затем для b8.
  2. Найти формулу для a20.
  3. Радиус круга = R. Найти площадь описанного около него 12-угольника.
  4. Найти формулы для a16 и b16.