Подобие треугольников

206. Мы знаем (п. 175), что если ∠A (чер. 203 или 204) пересечь двумя параллельными KL и BC, то отношение двух любых отрезков на одной стороне этого угла равно отношению двух соответствующих отрезков на другой (напр., AK/KB = AL/LC; AB/AK = AC/AL и т. д.). Но мы видим, что у нас получились еще отрезки на самих параллельных, а именно KL и BC. Возникает вопрос, нельзя ли из отрезков AL, LC и AC, лежащих на одной стороне нашего угла A, выбрать такие два, чтобы их отношение равнялось отношению отрезков KL и BC.

Треугольники

Для этой цели мы прежде всего отрезок KL перенесем на прямую BC, для чего надо построить LD || AB; тогда BD = KL. Тогда вместо отрезков KL и BC мы можем рассматривать отрезки BD и BC, которые расположены на стороне CB угла C. Так как ∠C оказался пересеченным двумя параллельными, а именно прямыми AB и LD, то, применяя п. 175 к углу C, мы найдем

BD/BC = AL/AC или KL/BC = AL/AC.

Вопрос решен: удалось найти два отрезка AL и AC на стороне AC так, что их отношение = KL/BC. Зная еще, что AK/AB = AL/AC, мы можем теперь написать равенства:

AK/AB = AL/AC = KL/BC.

Рассматривая эти равенства, мы приходим к заключению, что ими связаны стороны двух полученных треугольников, а именно ∆AKL и ∆ABC. Возникает новый вопрос: не связаны ли как-либо и углы этих треугольников?

На последний вопрос ответ легко найти: ∠A у наших треугольников общий, ∠K = ∠B, как соответственные при параллельных KL и BC и секущей AB, и ∠L = ∠C, как соответственные при тех же параллельных, но при секущей AC.

Мы можем перенести ∆AKL (чер. 203) в другое место, или, что тоже самое, построить новый ∆A'K'L', равный ∆AKL; его стороны и углы будут соответственно равны сторонам и углам ∆AKL: AK = A'K', AL = A'L', KL = K'L', ∠A = ∠A', ∠K = ∠K', ∠L = ∠L'.

Тогда мы получим ∆A'K'L', находящийся в такой же зависимости с ∆ABC, как и ∆AKL:
1) у этих треугольников углы попарно равны: ∠A' = ∠A, ∠K' = ∠B, ∠L' = ∠C;
2) для сторон имеем пропорции:

A'K'/AB = A'L'/AC = K'L'/BC      (1)

Надо обратить внимание, что две стороны каждого отношения не случайно соединены в одно отношение, – нельзя, например, написать A'L'/AB = A'K'/BC = K'L'/AC. Надо уметь находить те стороны, которые должны быть членами одного отношения. Проще всего это сделать по углам треугольников: можно подметить, что стороны каждого отношения в равенствах (1) лежат в треугольниках против равных углов (A'K' против ∠L и AB против равного этому угла C и т. д.). Принято называть те стороны, которые служат членами одного отношения, сходственными (сторона A'K' сходна со стороною AB, A'L' — с AC и K'L' — с BC), причем сходственные стороны расположены в наших треугольниках против равных углов.

Равенство (1) можно прочесть сокращенно словами:

Стороны треугольника ∆A'K'L' пропорциональны сходственным сторонам ∆ABC.

Слово «пропорциональны» означает: отношение одной пары сходственных сторон треугольников A'K'L' и ABC равно отношению другой пары и равно отношению третьей пары.

Треугольники, обладающие двумя найденными выше признаками, называются подобными. Для обозначения подобия треугольников употребляют знак ~. Мы получили: ∆AKL ~ ∆ABC и также ∆A'K'L' ~ ∆ABC.

Можно теперь установить:

Два треугольника называются подобными, если углы одного равны попарно углам другого и сходственные стороны их пропорциональны.

Замечание. Возьмем из равенства (1) лишь одно, например, A'K'/AB = A'L'/AC. Применяя сюда свойство п. 178, получим: A'K'/A'L' = AB/AC, т. е. отношение двух сторон одного треугольника равно отношению двух сходственных сторон другого треугольника, подобного первому.

207. Основной признак подобия треугольников. Согласно предыдущему п., мы можем построить бесчисленное множество треугольников, подобных данному: для этого надо данный треугольник пересекать различными прямыми, параллельными одной из его сторон, и затем, если угодно, переносить каждый получаемый треугольник в другое место плоскости. Во всех получаемых треугольниках углы остаются неизменными, а отношение какой-либо стороны одного к сходственной стороне данного (масштаб подобия) меняется. Поэтому возникает мысль, недостаточно ли для подобия двух треугольников только равенства их углов.

Первый признак подобия треугольников

Построим 2 треугольника: ∆ABC и ∆DEF (чер. 205) так, чтобы ∠A = ∠E и ∠B = ∠D. Тогда прежде всего находим, что ∠C = ∠F (ибо сумма углов каждого треугольника = 2d).

Наложим ∆DEF на ∆ABC так, чтобы, напр., точка E попала в точку A. Тогда вращением около этой точки можно достигнуть в силу равенства ∠E = ∠A того, чтобы ED и EF пошли соответственно по AB и AC; сторона DF должна занять такое положение KL, чтобы ∠AKL = ∠D = ∠B и ∠ALK = ∠F = ∠C, т. е., чтобы KL || BC, так как получаются равные соответственные углы.

Отсюда заключаем, что ∆DEF можно получить построением предыдущего п. и, следов., что ∆DEF ~ ∆ABC. Итак, если два угла одного треугольника равны соответственно двум углам другого, то эти треугольники подобны.

208. Задача. Построить четвертый пропорциональный к трем данным отрезкам.

Пусть даны отрезки a, b и c (чер. 206); требуется построить такой 4-й отрезок x, чтобы имела место пропорция a/b = c/x.

Использование подобия треугольников при решении задачи

Строим две произвольных, пересекающихся в точке O, прямых AB и CD и откладываем от точки O на одной из них отрезки первого отношения: OA = a, OB = b (можно в одном, или в разных направлениях от точки O) и на другой прямой известный отрезок второго отношения OC = c. Затем соединим прямою концы тех отрезков, которые служат предыдущими членами нашей пропорции (если бы один из них не был известен, то надо соединить концы отрезков, служащих последующими членами данной пропорции); получим прямую AC, соединяющую концы отрезков a и c. Затем чрез точку B строим прямую BD || AC. Тогда поучим ∆OBD ~ ∆OAC (∠O = ∠O, как вертикальные и ∠C = ∠D, как внутренние накрест-лежащие, что достаточно по предыдущему п. для подобия наших треугольников). Отсюда имеем (п. 206) пропорциональность сходственных сторон:

OA/OB = OC/OD или a/b = c/OD,

отсюда вытекает, что искомый отрезок x = OD.

Если бы требовалось удовлетворить пропорции x/c = a/b, то надо было бы соединить точки B и C и через точку A построить AL || BD; тогда отрезок OL был бы искомым.

Замечание. Если мы построим отрезок x так, чтобы, напр., удовлетворилась пропорция x/c = a/b, то всякий другой отрезок x' не удовлетворит этой пропорции; если x' > x, то x'/c > x>c и, следовательно, x'/c > a/b, если x' < x, то x'/c < x/c и x'/c < a/b.

209. Другие признаки подобия треугольников. 1) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между ними равны, то эти два треугольника подобны.

Пусть имеем ∆ABC (чер. 207); возьмем произвольный отрезок ED и построим, согласно п. 208, отрезок x так, чтобы имела место пропорция x/AC = ED/AB. Наконец, построим ∆EDF так чтобы у него одною стороною служил отрезок ED, другою стороною отрезок EF = x и, наконец, чтобы ∠E = ∠A. Тогда ∆EDF и ∆ABC связаны между собою соотношениями:

1) ∠E = ∠A и 2) EF/AC = ED/AB.

Подобны ли эти треугольники?

Для получения ответа на этот вопрос надо лишь заметить, что мы можем построить треугольник, равный ∆EDF, иным, более простым способом. Для этого отложим на стороне AB отрезок AK = ED и построим KL || BC; тогда ∆AKL ~ ∆ABC (п. 197) и, след., AL/AC = AK/AB.

Так как AK = ED и так как можно лишь одним способом (замечание п. 208) удовлетворить пропорции x/AC = ED/AB, то отсюда заключаем, что EF = AL и что ∆AKL = ∆EDF. Поэтому ∆EDF наложением можно совместить с ∆AKL и, следовательно, ∆EDF ~ ∆ABC. Этим оправдывается признак пропорциональности, изложенный в начале этого п.

2) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

Подобие треугольников по трем сторонам

Пусть имеем ∆ABC (чер. 207); возьмем отрезок ED и построим согласно п. 208 два других отрезка x и y так, чтобы имели место пропорции: x/AC = ED/AB и y/BC = ED/AB. Построим затем по трем сторонам ED, x и y треугольник EDF (EF = x, DF = y).

Тогда ∆EDF и ∆ABC связаны между собою соотношениями:

1) EF/AC = ED/AB и 2) DF/BC = ED/AB

или, короче:

EF/AC = DF/BC = ED/AB.

Подобны ли эти треугольники?

Для решения этого вопроса заметим, что можно иным, более простым, способом построить треугольник, равный ∆EDF.

Для этого отложим на стороне AB отрезок AK = ED и построим KL || BC; тогда (п. 206) получим ∆AKL ~ ∆ABC и, след.,

AL/AC = KL/BC = AK/AB.

Так как отрезок AK = ED и так как, согласно замечанию п. 208, можно построить лишь один отрезок, удовлетворяющий пропорции x/AC = ED/AB, то заключаем, что AL = EF; также найдем, что KL = DF, откуда следует, что ∆EDF = ∆AKL, и наложением можно ∆EDF совместить с ∆AKL (иногда, может быть, придется для этого повернуть ∆EDF другою стороною). Поэтому ∆EDF ~ ∆ABC.

Этим оправдывается изложенный признак.

Подобным образом можно найти еще несколько признаков подобия, как вообще треугольников, так и каких-либо особых треугольников. Наприм., если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого, то эти треугольники подобны. Выяснение его справедливости основывается: 1) на замечании п. 208 и 2) на признаке равенства прямоугольных треугольников (п. 74, признак 4).

Замечание. В некоторых из следующих задач придется находить отношения отрезков, измеренных какою-либо единицею. Если, например, отрезок x = 7½ лин. един. и отрезок y = 3/10 лин. един. (линейная единица одна и та же), то, чтобы найти отношение отрезка x к отрезку y, надо выразить отрезок x числом, принимая за единицу отрезок y. Если y = 3/10 лин. единиц, то лин. един. = 10/3 * y и, следовательно,

x = (7½ * 10/3)y, откуда x/y = 7½ * 10/3 = 7½ : 3/10,

т. е. для наложения отношения отрезков, измеренных какою-либо одною единицею, надо найти отношение чисел, выражающих наши отрезки, а отношение чисел, как известно из арифметики, находится при помощи деления.

210. Упражнения.

1. Даны 2 прямоугольных треугольника; острый угол одного из них = 41°, а острый угол другого = 49°. Узнать, подобны ли эти треугольники.

2. Даны ∆ABC и ∆KLM (чер. 208) так, что ∠B = ∠M и AB = 15 дм., BC = 18 дм., ML = 12 дм. и MK = 10 дм. Подобны ли эти треугольники? Если они подобны, то вычислить сторону AC, зная, что сторона KL = 5½ дм.

Определение подобия треугольников

3. Даны ∆ABC и ∆KLM (чер. 208) так, что AB = 18 дм., BC = 20 дм., AC = 8 дм., KL = 6 дм., KM = 13½ дм., ML = 15 дм. Подобны ли эти треугольники? Как здесь узнать сходственные стороны?

4. В треугольниках ABC и KLM дано: AB = 16 дм., AC = 8 дм., BC = 20 дм., KL = 5 дм., MK = 10 дм. и ML = 12 дм. Подобны ли эти треугольники? Если не подобны, то как надо изменить сторону ML, чтобы треугольники оказались подобны?

5. Даны 2 подобных треугольника, стороны одного из которых равны соотв. 10, 14 и 16 дм. и большая сторона другого = 20 дм. Найти остальные 2 стороны второго треугольника.

6. Дан треугольник. Пользуясь способом п. 206, построить другой треугольник, подобный данному так, чтобы каждое отношение стороны нового треугольника к сходственной стороне второго было = ¾.
Сделать такое же построение, если вышеуказанное отношение должно равняться 2½.

211. Отношения высот и площадей подобных треугольников. Пусть имеем ∆ABC ~ ∆DEF (чер. 209). Следовательно, мы имеем: ∠A = ∠D, ∠B (∠ABC) = ∠E (∠DEF) и ∠C = ∠F (1) и

AB/DE = AC/DF = BC/EF      (2)

Построим высоты BM и EN в наших треугольниках, опуская перпендикуляры на сходственные стороны; станем называть эти высоты сходственными. Тогда ∆ABM ~ ∆DEN, так как у них ∠A = ∠D на основании равенств (1) и ∠AMB = ∠DNE, как прямые углы (BM ⊥ AC и EN ⊥ DF), а этого достаточно для подобия наших треугольников (п. 207) и из их подобия получаем:

BM/EN = AB/DE.

На основании равенств (2) можем последнее равенство продолжить:

BM/EN = AB/DE = AC/DF = BC/EF,

т. е. отношение сходственных высот подобных треугольников равно отношению сходственных сторон.

Из ряда последних равных отношений обратим внимание на пропорцию.

BM/EN = AC/DF.

(Отношение сходственных высот = отношению оснований).

212. В п. 209 было указано, как находить отношение двух отрезков, измеренных одною и тою же единицею. Тоже относится и к нахождению отношения двух площадей, измеренных одною и тою же квадратною единицею: это отношение находится делением чисел, выражающих наши площади.

Мы будем в этом п., а равно во многих случаях и дальше под обозначением, например, AB понимать число, выражающее отрезок AB в каких-либо линейных единицах, также под обозначением «площадь ∆ABC» будем понимать число, выражающее площадь ∆ABC в квадратных единицах. При разборе одного вопроса все отрезки будут считаться измеренными одною и тою же линейною единицею, а все площади – соответствующими квадратными единицами.

Мы знаем (п. 201), что для измерения площади треугольника в квадратных единицах надо измерить его основание и высоту соответствующей линейною единицею и взять половину произведения полученных чисел.
Теперь, употребляя обозначение согласно вышесделанному условию, имеем для ∆ABC и ∆DEF (чер. 209)
площ. ∆ABC = (AC * BM) / 2 и площ. ∆DEF = (DF * EN) / 2.

Отношение площадей подобных треугольников

Найдем отношение площадей наших треугольников делением

Вычисление отношения площадей подобных треугольников

т. е. отношение площадей двух треугольников равно произведению отношения их оснований на отношение их высот.

Примем теперь во внимание, что мы имеем дело с подобными треугольниками — мы считаем, что ∆ABC ~ ∆DEF.

Тогда из предыдущего п. имеем:

BM/EN = AC/DF.

Заменяя в формуле, выражающей отношение площадей треугольников, отношение высот равным ему отношением оснований, получаем:

Вычисление отношения площадей подобных треугольников

Можем также сказать, что это отношение = (AB/DE)2. Итак,

отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их сходственных сторон.

Этот результат согласуется с найденным в п. 160 (упражнения 5, 6 и 7).

Упражнение. Найти отношение площадей подобных треугольников, данных в п. 210 (упражнения 2, 3, 5 и 6).

213. Отношение площадей треугольников, имеющих по равному углу. Пусть в ∆ABC и ∆DEF (чер. 210) имеем ∠A = ∠D, а другие углы не равны. Тогда наши треугольники не подобны. Мы так же, как и в предыдущем п., построим высоты BM и EN этих треугольников и найдем делением отношение их площадей

Вычисление отношения площадей подобных треугольников

Подобные треугольники

Далее находим ∆ABC ~ ∆DEF (∠A = ∠D по условию и ∠M и ∠N прямые); следовательно:

BM/EN = AB/DE      (2)

Но теперь уже нельзя заменить отношение высот (BM/EN) отношением оснований (AC/DF), так как эти треугольники не подобны. Пользуясь (2) из (1) имеем:

Вычисление отношения площадей подобных треугольников

т. е. отношение площадей двух треугольников, имеющих по равному углу, равно произведению отношений сторон, составляющих эти углы.

Упражнение. Дан треугольник; построить другой треугольник так, чтобы один угол остался неизменным, а стороны, составляющие этот угол, увеличились одна в 2 раза и другая в 3 раза. Как увеличится его площадь? Ответ, легко находимый вычислением, желательно вычислить геометрически.