Рассмотрим подробно каждое из простых арифметических действий и приведем несколько простых задач, уясняющих применение каждого действия.

Задачи на сложение

Складывать число нужно всякий раз:

1. когда одно число нужно увеличить каким-нибудь числом, или когда к одному числу нужно прибавить другое;

2. когда несколько чисел нужно соединить в одно.

Задача 1. Некто имеет имущество, состоящее из дома, мебели, картин и лошадей. Дом стоит 47215 руб., мебель 2215 руб., картины 5207 руб., лошади 1925 руб. Сколько стоит всё имущество?

Ответ: 56562 рубля.

Задача 2. В одной библиотеке 1015 книг, в другой на 117 книг больше. Сколько книг во второй библиотеке?

Ответ: 1132.

Задачи на вычитание

Вычитают всякий раз:

1. когда требуется определить разность между числами;

2. когда нужно уменьшить одно число другим.

Складывать и вычитать можно только числа однородные.

Задача 3. В Петербурге 927 тысяч жителей, в Москве 750 тысяч. На сколько тысяч в Москве меньше жителей?

Ответ: на 177 тысяч.

Задача 4. Первый крестовый поход был в 1096 году, а последний в 1270 году. Сколько лет продолжались крестовые походы?

Ответ: 174 года.

Задачи на умножение

Умножают числа всякий раз, когда требуется:

1. одно число увеличить в несколько раз;

2. повторить одно число столько раз, сколько в другом содержится единиц.

Во всяком умножении произведение однородно с множителем, а множитель есть число отвлеченное.

Задача 5. В мастерской каждый из 28 рабочих получает в месяц жалования по 15 руб. Сколько получают все рабочие?

Ответ: 420 рублей.

Задача 6. В книге 175 страниц. Каждая страница имеет 22 строки. Сколько строк в книге?

Ответ: 3850 строк.

Задачи на деление

Деление целых чисел нужно всякий раз, когда требуется:

1. разделить число на несколько равных частей;

2. определить, сколько раз меньшее число содержится в большем;

3. уменьшить одно число в несколько раз.

Задача 7. Некто заработал в год 3648 рублей. Сколько зарабатывает он в месяц?

Ответ: 304 рубля.

Задача 8. Кусок материи в 26 аршин стоит 468 рублей. Сколько стоит аршин?

Ответ: 18 рублей.

Задача 9. Найти число меньше 175 в 25 раз.

Ответ: 7.

Арифметические задачи с именованными числами

Раздробление именованных чисел.

Задача 10. На земном шаре каждую секунду умирает один человек. Сколько умрет за 17 дней 5 час. 1 сек.?

Ответ: 1486801 человек.

Превращение именованных чисел.

Задача 11. Имея пудовые, фунтовые и золотниковые гири, определить наименьшее число гирь, необходимое для того, чтобы отвесить 5000 золотников.

Ответ 5000 зол. = 1 п. 12 ф. 8 зол. Гирь нужно 1 + 12 + 8 = 21.

Сложение именованных чисел.

Задача 12. Сколько золота в трех слитках, если первый весит 3 п. 12 ф. 17 л. 1 зол., второй 2 п. 35 ф. 11 л. 1 зол. и третий 17 ф. 2 зол.

Ответ: 6 п. 24 ф. 29 л. 1 зол.

Вычитание именованных чисел.

Задача 13. От куска материи в 5 с. 3 ф. 2 лип. отрезан кусок в 2 с. 5 ф. 7 д. 1 л. Определить, сколько остается материи?

Ответ: 2 с. 4 ф. 5 д. 1 л.

Арифметические задачи на время

Задачи на сложение и вычитание именованных чисел, содержащие время, имеют некоторые особенности.

Способы выражать время. Время обыкновенно выражают составным именованным числом. Число это означает, сколько лет, месяцев, дней протекло от Рождества Христова, начала христианской эры. Таким образом, 1860 год 17 мая 7 часов утра обозначают составным именованным числом:

1859 л. 4 м. 16 д. 7 час.,

и, обратно, составное именованное число 1839 л. 11 м. 15 д. 18 час. обозначает 1840-й год 16-е декабря 6 часов вечера, потому что сутки считаются от полуночи. От полуночи до полудня прошло 12 часов, да 6 часов прошло от полудня до 6 часов вечера.

Сложение именованных чисел, выражающих время. При решении задач на сложение именованных чисел, выражающих время, обыкновенно приходится определять по одному событию и промежутку времени между данным и последующим событием время второго.

Задача 14. Некто родился в 1827 году апреля 14. Определить, когда ему было 32 года 5 месяцев 25 дней.

Складывая два составных именованных числа, имеем:

Искомое время составляет 1859-й г. октября 9-го.

При вычислениях со временем нужно обращать внимание на то обстоятельство, что месяцы в году не имеют одинакового числа дней. Число дней в месяце бывает различно; поэтому, когда приходится, складывая дни, обращать их в месяцы, нужно принять в соображение величину одного или нескольких последних месяцев.

В предложенной задаче, если прибавить к составному именованному числу 1826 л. 3 м. 13 д. только 32 г. 5 м., будем иметь 1858 л. 8 м. 13 дн., то есть 1859-й год сентября 14-го.

После этого нужно еще прибавить 25 дней. Сентябрь имеет 30 дней, следовательно, через 25 дней наступит 9-е октября 1859 года.

Если же мы имеем одно событие 26 августа 1812 года, а другое наступает через год 6 месяцев и 23 дня, вычисление примет другой вид.

Прикладывая к составному именованному числу 1811 л. 7 м. 25 дней только 1 год 6 месяцев, получим составное именованное число 1813 лет 1 месяц 25 дней, означающее 26 февраля 1814 года. Если после этого времени пройдет еще 23 дня, время события вычисляется следующим образом. Февраль 1814 г. имеет 28 дней, следовательно, при сложении именованных чисел имеем:

то есть время другого события будет 1814 года марта 21-го.

Если при сложении и вычитании именованных чисел, содержащих время, нужно обратить внимание на величину последнего месяца, необходимо приложить только годы и месяцы, а затем, определив, к какому месяцу относится вычисление дня, прикладывают или вычитают дни и часы.

Вычитание именованных чисел, выражающих время. При вычитании именованных чисел, содержащих время, приходится:

1. определить промежуток времени между двумя данными событиями, или

2. по промежутку времени между данными и предшествующим событием — время последнего.

К первому роду относится

Задача 15. Некто отправился в кругосветное путешествие 14 июня 1839 года и возвратился 15-го апреля 1844 года. Сколько времени продолжалось путешествие?

В этом случае обыкновенно выражают время составным именованным числом, содержащим только годы и дни. Так поступают потому, что месяцы в году содержат неодинаковое число дней. Начало путешествия 14 июня 1839 года мы выражаем следующим образом: сложив все дни, содержащиеся в месяцах, протекших с января, имеем:

в январе 31, в феврале 28 дней (1839 год — простой), в марте 31, в апреле 30, в мае 31 день, итого 151 день.

Присоединяя 13 дней июня, имеем 164 дня, следовательно, начало путешествия определяется составным именованным числом 1838 л. 164 дня.

Подобным же образом для конца путешествия имеем в январе 31, феврале 29 (1844 год — високосный), март 31 и 14 дней апреля, всего 105 дней. Конец путешествия выражается составным именованным числом: 1843 г. 105 дн.

Вычитая эти именованные числа, получим:

Путешествие продолжалось 4 года 306 дней.

Ко второму роду относится

Задача 16. Некто имеет 27 июля 1872 г. 27 лет 165 дней. Определить время рождения.

Время 27 июля 1872 г. выражается в днях и горах составным именованным числом 1871 г. 208 дней. Вычитая 27 л. 165 д., имеем в остатке 1844 г. 43 дн. Это число выражается 13 февраля 1845 года.

Умножение именованных чисел.

Задача 17. Куплено 7 кусков меди, каждый весом в 4 ф. 15 л. 1 з. 15 д. Найти вес этих 7 кусков.

Ответ: 31 ф. 12 л. 1 зол. 9 д.

Деление именованных чисел.

а) Деление именованного числа на именованное.

Задача 18. Сколько выйдет ложек из куска серебра, весом в 2 ф. 30 л. 48 д., если каждая ложка весит 4 лот. 2 зол. 12 дол.?

Ответ: 20 ложек.

б) Деление именованного числа на отвлеченное.

Задача 19. Поезд пробегает за 8 часов 185 вер. 423 с. 6 ф. 4 д. Сколько он пробегает за час?

Ответ: 23 вер. 115 саж. 3 ф. 5 д.