В этом детальном рассмотрении я буду сначала считать, что геометрии начинают учить с 13-14-летнего возраста (а может быть и позднее) и ведут дело так, чтобы провести в системе перед учащимся развитие содержания геометрии. Если, как то за последнее время часто имеет место, желают начать обучение геометрии с более раннего возраста и, отказавшись от системы, желают даже и детям дать известный запас геометрических знаний и умений, то придется ввести в ниже даваемое методическое развитие курса геометрии некоторые изменения. Каковы эти изменения – это будет выяснено в III отделе, посвященном методике «начального обучения геометрии».

Если мы хотим провести перед сознанием учеников развитие геометрии в выдержанной системе, то необходимым явится начать курс геометрии беседою с учениками на тему: «Что такое геометрия?» Беседа эта ведется в согласии с воззрениями п. 3. Необходимо, обратив внимание учащихся на какие-либо факты, имеющиеся перед нами, добиться, чтобы учащиеся признали, что они видят в окружающем постоянно границы; небо где-то там, далеко, сходится с землею – мы здесь можем видеть: 1) синее небо, 2) темную землю и 3) границу между ними. Мы видим также границу, отделяющую массу стены от внутренности класса, мы видим в окружающем целый ряд еще различных границ.

Очень полезен разноцветный рисунок, вроде прилагаемого (чер. 9). На нем мы видим: 1) границу, отделяющую массу бумаги от внутренности класса; 2) границы между областями различных цветов и 3) границы, отделяющие различные части границ, указанных во 2-м пункте, а именно – белая область от цветной (на чер. 9 надо подразумевать, что части, различно затушеванные, окрашены в разные цвета: черный, красный, желтый) отделена границею, и эта граница, мы видим, разделяется на части: одна отделяет белую область от черной, другая – белую от красной, третья – белую от желтой, а между этими частями мы опять видим границы. Учащиеся, вспоминая свой жизненный опыт, приходят к положению, что границы бывают только трех родов (см. п. 3), что эти границы не материальны («не из чего не сделаны»), что все же они в силах и представлять и рассуждать по поводу них так, как будто бы эти границы существуют отдельно. Вводятся названия: «поверхности, линии и точки». Затем проделываются те опыты, которые, как это выяснено в п. 3, позволяют выделить наиболее простые линию и поверхность (прямую линию и плоскость). Беседа переходит затем к установлению того, что геометрия занимается изучением различных совокупностей (различных комбинаций) поверхностей линий и точек. Каждая из таких совокупностей называется фигурою, а каждая точка, линия и поверхность, входящая в состав фигуры, называется ее частью. Не следует скрывать от учащихся, что сначала будем рассматривать по преимуществу лишь те фигуры, которые всеми частями умещаются на плоскости (т. е. сначала будем изучать планиметрию), а потом уже – пространственные фигуры. На протяжении этой беседы явится возможность указать и на необходимость, дабы помочь своему воображению, рисовать рассматриваемые фигуры или мелом на доске или карандашом на бумаге, но всегда следует иметь в виду, что нарисованные линии и точки суть не настоящие линии и точки: те – нематериальны, а эти являются полосками мела или графита и т. п.

Думается, что не следует здесь становится на такую точку зрения, которая требует, чтобы учащиеся могли сами воспроизвести в «следующий урок» все то, что было установлено во время этой беседы. Другими словами, не следует добиваться, чтобы учащиеся заучили ряд положений, появившихся во время этой беседы, хотя многие из них (имея в виду желание развивать геометрию в форме системы) полезно записывать. Следует довольствоваться тем, что во время этой беседы учащиеся будут принимать в ней живое участие: или обсуждая вопросы, поставленные на очередь, и находя на них ответы, или даже сами выдвигая новые вопросы, связанные с уже разобранными. Во всяком случае, беседа должна остаться беседою, а не должна обратиться в рассказ или в ряд определений, подлежащих заучиванию.