По поводу вопросов об измерении поверхностей и объемов следует прежде всего сделать общее замечание. Необходимо добиться, чтобы учащийся видел поверхность какого-либо тела, видел его объем. Сколь много недоразумений и ошибок со стороны учащихся приходится отмечать в педагогической практике, ошибок, в основе которых лежит именно отсутствие этой видимости. Конечно, неизбежно для достижения этой видимости широко пользоваться моделями.
Обычно измерение поверхности начинают с рассмотрения боковой призмы. Думается, что лучше было бы начать с прямой призмы, потому, что этот случай наиболее нужен для практики.
Измерение объемов обычно рассматривается в учебниках геометрии в должном порядке: объем прямоугольного параллелепипеда, прямого, наклонного, объем призмы, объем полной пирамиды, объем усеченной пирамиды.
Способы рассмотрения каждого из этих вопросов могут быть разные. Мною в моей «Геометрии в пространстве» избраны приемы, хотя и не часто употребляющиеся в педагогической практике, но, как показал опыт, наиболее удобные для учащихся, привыкших к исследованию геометрических вопросов, а не к формальным доказательствам объявляемых теорем. Здесь эти приемы повторять было бы излишне. Обращу внимание лишь на одно обстоятельство.
В методических статьях за последнее время часто можно встретить пожелание обосновать учение об измерении объемов на принципе Кавальери. Думается, что здесь правильная точка зрения такова: измерение объемов параллелепипедов и призм настолько легко поддается представлению, что для них вводить принцип Кавальери нет надобности. Когда же приходится переходить к измерению объема пирамиды, то встречаемся с особою трудностью: нет возможности (и это доказано) треугольную пирамиду превратить в равновеликую ей призму или в равновеликую другую треугольную пирамиду, не конгруэнтную с первой, так, чтобы эта равновеликость поддавалась непосредственному представлению, как суммы или разности конечного числа попарно конгруэнтных объемов. И вот здесь-то, вместо того, чтобы строить ряд входящих и исходящих призм, как то общепринято, удобно воспользоваться принципом Кавальери. Две треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами разбиваются рядом плоскостей, параллельных основаниям на слои. Каждый из этих слоев, если секущие параллельные плоскости стремятся к сближению, можно рассматривать, как призму. Если пересекать наши две пирамиды плоскостями на одинаковых расстояниях от вершин, то эти бесконечно тонкие слои можно рассматривать, как попарно равновеликие призмы, откуда и приходим к заключению о равновеликости треугольных пирамид, имеющих равновеликие основания и равные высоты (см. мою «Геометрию в пространстве»).
Вопросы об измерении поверхностей и объемов круглых тел теряют ту остроту, какая здесь имеет место при обычном пользовании теориею пределов, если опираться на возможность рассматривать круг, как правильный многоугольник с бесконечно большим числом сторон (см. мою «Геометрию в пространстве»). Обратим внимание интересующихся на изложение относящихся сюда вопросов в книге – Вебер и Вельштейн – «Энциклопедия элементарной математики» (том II, книга III).