54. Задачи на составление уравнений с одним неизвестным:
Мы можем применить умение решать уравнение к решению задач. Нижеследующие примеры укажут, как это делать.
Задача 1. Продавался дом. У одного покупателя была сумма денег, равная ¾ его стоимости, а у другого — равная 5/6 его стоимости. Если бы они сложились вместе, то у них оказался бы излишек в 7000 руб. Какова стоимость дома?
Положим, что дом стоит x рублей. Тогда (в согласии с началом задачи) первый покупатель имел (x · ¾) руб. или, что тоже самое, 3x/4 руб., а второй имел 5x/6 руб. Следующая фраза условия задачи, а именно - «если бы они сложились вместе, то у них оказался бы излишек в 7000 руб.» - является уравнением, выраженным словами: надо выразить его теперь не словами, а математическими знаками. Сначала возьмем подобную же фразу в упрощенной форме: «если сложить числа a и b, то полученная сумма даст излишек m против числа c» - эту фразу можно переписать математическими знаками так: a + b = c + m.
Совершенно так же можно записать и то уравнение, которое имеется в нашей задаче: если сложить числа 3x/4 и 5x/6, то полученная сумма даст излишек 7000 над числом x, или
3x/4 + 5x/6 = x + 7000.
Полученное уравнение должно упростить: 1) умножим обе части уравнения на общего знаменателя 12 — получим
9x + 10x = 12x + 84000
2) Перенесем неизвестные члены в левую часть:
9x + 10x – 12x = 84000
или
7x = 84000,
откуда
x = 12000
Теперь мы можем дать ответ на задачу:
Стоимость дома составляла 12000 руб.
Задача 2. В понедельник в классе отсутствовало 13 учеников, а во вторник 5 учеников. Отношение числа присутствующих учеников в понедельник к числу присутствующих во вторник равнялось 7/9. Сколько всего учеников было в этом классе?
Положим, что всего в классе числилось x учеников. Тогда в понедельник присутствовало (x – 13) учеников, а во вторник (x – 5) учеников. Фраза «отношение числа присутствующих учеников в понедельник к числу присутствующих во вторник равнялась 7/9» является уравнением, выраженным словами, и может быть переписана математическими знаками:
(x – 13) / (x – 5) = 7/9.
Решим это уравнение:
9(x – 13) = 7(x – 5) или 9x – 117 = 7x – 35.
Отсюда получим: 2x = 82 и x = 41.
Итак, в этом классе числились 41 ученик.
Задача 3. Найти дробь, знаменатель которой на 3 больше числителя и которая обращается в 4/5, если из ее числителя и знаменателя вычесть по 1.
Эта задача несколько отличается от предыдущих. В ней требуется «найти дробь», но нельзя было бы начать решение задачи так, как это делали в 1-ый и 2-ой задаче: положим, что искомая дробь равна x. Нельзя было бы так начать потому, что в задаче речь идет отдельно о числителе и отдельно о знаменателе: приходится вычитать 1 отдельно из числителя и отдельно из знаменателя. Поэтому надо так обозначить дробь, чтобы были видны и ее числитель и ее знаменатель. Так как сказано, что знаменатель на 3 больше числителя, то можно обозначить буквою x или числителя или знаменателя, - тогда легко найти выражение для другого члена дроби и для самой дроби.
Вот решение задачи.
Положим, что числитель искомой дроби равен x. Тогда ее знаменатель равен x + 3, и искомая дробь равна x/(x+3). Фраза, «которая (т. е. дробь) обращается в 4/5, если из ее числителя и знаменателя вычесть по 1», является уравнением и может быть написана математически:
(x – 1) / (x + 3 – 1) = 4/5 или (x – 1) / (x + 2) = 4/5.
Отсюда:
5(x – 1) = 4(x + 2); 5x – 5 = 4x + 8; 5x – 4x = 5 + 8; x = 13.
Тогда знаменатель дроби равен 16 и искомая дробь 13/16.
Задача 4. Один брат старше другого на 14 лет, а через 6 лет он будет в 2 раза старше. Сколько лет каждому брату?
Здесь надо дать два ответа: сколько лет младшему брату и сколько лет старшему, но решать задачу можно при помощи уравнения с 1 неизвестным, так как сказано, что старший брат на 14 лет старше младшего. Решим задачу так:
Положим, что младшему брату x лет; тогда старшему (x + 14) лет.
Через 6 лет будет младшему брату (x + 6) лет, а старшему (x + 14 + 6) лет или (x + 20) лет.
Сказано, что старший будет тогда (через 6 лет) в 2 раза старше младшего, т. е. число x + 20 должно быть в 2 раза больше x + 6, а это можно записать в виде
(x + 20) / (x + 6) = 2 или x + 20 = 2 (x + 6) или (x + 20) / 2 = x + 6.
Наиболее естественная запись — первая: узнавать, во сколько раз одно число больше другого, надо делением; нам надо узнать, во сколько раз число (x + 20) больше числа (x + 6) — для этого надо (x + 20) разделить на (x + 6), и нам сказать ответ « в два раза». Поэтому пишем, что от этого деления получится число 2, т. е. (x + 20) / (x + 6) = 2.
Вторая запись может быть объяснена так: нам сказано, что число (x + 20) должно быть в 2 раза больше числа (x + 6). Чтобы сравнять эти числа, надо, следовательно, меньшее из них, т. е. x + 6, умножить на 2. Тогда x + 20 = 2(x + 6).
Тогда запись объясняется так: чтобы сравнять числа x + 20 и x + 6, надо большее из них уменьшить в 2 раза, и тогда (x + 20) / 2 = x + 6.
Если мы возьмем 1-ую запись
(x + 20) / (x + 6) = 2
и умножим обе части уравнения на x + 6, то получим
x + 20 = 2(x + 6)
т. е. вторую запись. Легко также из 3-ей записи получить 2-ую или 1-ую и т. д.
Во всяком случае, после освобождения уравнения от дробей, получим
x + 20 = 2(x + 6)
и легко решим уравнение:
x + 20 = 2x + 12; 20 – 12 = 2x – x; 8 = x или x = 8.
Итак, младшему брату 8 лет, а старшему 8 + 14 = 22 года.
Задача 5. Купили сахару и кофе, всего 28 фунтов; за фунт сахару платили 15 коп., а за фунт кофе 80 коп., за всю же покупку заплатили 12 рублей. Сколько купили сахару и сколько купили кофе?
Здесь затруднение может быть в том, что в условии задачи даны числа то в копейках, то в рублях. Должно заранее установить, в каких единицах, в рублях или копейках, будет вестись решение. Решим задачу в рублях. Тогда решение таково:
Положим, что купили x фунтов сахару. Тогда кофе купили (28 – x) фунтов.
За сахар заплатили (15x) копеек или (3/20)x рублей (так как 15 коп. равны 3/20 рубля), а за кофе заплатили 80(28 – x) коп. или 4/5 (28 – x) руб. (так как 80 коп. = 4/5 рубля).
Фраза «за всю покупку заплатили 12 руб.» может быть записана:
3x/20 + 4(28x – x)/5 = 12
[Если бы решали в копейках, то уравнение было бы 15x + 80(28 – x) = 1200].
Освободим уравнение от дробей, для чего обе части умножим на 20, - получим:
3x + 16(28 – x) = 240
или
3x + 448 – 16x = 240
или
3x – 16x = 240 – 448
или
–13x = –208,
откуда
x = 16.
Итак, сахару купили 16 фунтов, а кофе 12 фунтов (28 – 16 = 12).