74. Задачи на составление уравнений. Здесь мы рассмотрим несколько задач, для решения которых удобно использовать уравнения с несколькими неизвестными.

Задача 1. Двое меняются товарами: первый дает второму 24 арш. полотна, взамен чего получает 40 аршин ситцу и 4 рубля денег. Узнать цену аршина полотна и аршина ситца, если 7 аршин полотна на 30 коп. дороже 16 аршин ситца.

Надо заранее установить, в каких единицах мы будем решать задачу: в рублях или копейках. Остановимся на рублях. Тогда решение таково:

Положим, что 1 аршин полотна стоит x руб. и 1 аршин ситцу — y рублей. Тогда получим, согласно условию, уравнения:

20x = 40y + 4
7x – 16y = 3/10

Эти уравнения надо решить совместно.

[Было бы большою ошибкою, если кто-либо написал бы уравнения так: 24x = 40y + 4 и 7x – 16y = 30 и стал был решать совместно. Ошибка состояла бы в том, что в 1-м уравнении x и y выражают цену аршина полотна и ситца в рублях, а во 2-м уравнении числа x и y выражают те же цены в копейках. Следов., числа x и y в 1-м уравнении не такие же, как во 2-м, и нельзя было бы решать эти уравнения совместно.]

Упростим наши уравнения:

6x – 10y = 1
70x – 160y = 3

Умножим обе части 1-го уравнения на 16 и обе части 2-го на (–1):

96x – 160y = 16
–70x + 160y = –3
Отсюда: 26x = 13 или x = ½

Подставив это значение x – a в уравнение 6x – 10y = 1, получим:

3 – 10y = 1,

откуда

10y = 2 и y = 1/5

Итак, 1 аршин полотна стоит ½ рубля или 50 коп., а 1 аршин ситцу стоит 1/5 рубля или 20 коп.

Задача 2. Найти три числа так, чтобы первое было на 1 больше четвертой части суммы двух других, чтобы второе было на 3 больше четвертой части суммы двух других и чтобы третье было на 5 больше четвертой части суммы двух других.

Положим, что искомые числа суть x, y и z. Тогда, согласно условию задачи, получим уравнения:

x = (y + z) / 4 + 1
y = (x + z) / 4 + 3
z = (x + y) / 4 + 5

В виду симметрии этих уравнений, применим следующий способ их решения:
Сложим по частям все 3 уравнения, - получим:

x + y + z = (2x + 2y + 2z) / 4 + 9

или

x + y + z – (x + y + z) / 2 = 9

Отсюда можно определить сумму всех трех чисел:

(x + y + z) / 2 = 9 и, следов., x + y + z = 18

Отсюда далее получим y + z = 18 – x. Подставим это выражение (18 – x) на место y + z в 1-е уравнение:

x = (18 – x) / 4 + 1.

Решим это уравнение:

4x = 18 – x + 4 или 5x = 22 и x = 4 2/5

Также точно найдем, что x + z = 18 – y и, подставив во 2-ое уравнение, получим:

y = (18 – y) / 4 + 3,

откуда

4y = 18 – y + 12; 5y = 30; y = 6.

Наконец, найдем, что x + y = 18 – z и, подставив в 3-е уравнение, получим:

z = (18 – z) / 4 + 5,

откуда

4z = 18 – z + 20; 5z = 38; z = 7 3/5

Задача 3. Сумма цифр некоторого двузначного числа равна 15, разность же между искомым двузначным числом и обращенным равна 27. Найти это двузначное число. (Число «обращенное» данному есть то, которое получается, если переставить цифры данного в обратном порядке. Так, для 23 обращенное число есть 32, для 97 — обращенное 79, для 185 — обращенное 581, для 753 — обращенное 357 и т. д.)

Согласно условию, имеем:

1) x + y = 15 (когда говорят «сумма цифр», то подразумевают сумму числа десятков с числом единиц).

2) Для числа 10x + y обращенное число есть 10y + x.

Поэтому:

10x + y – 10y – x = 27

или

9x – 9y = 27 или x – y = 3.

Итак, имеем 2 уравнения:

x + y = 15
x – y = 3,

откуда x = 9 и y = 6. Поэтому искомое число равно 96.

Если бы изменить несколько задачу и предложить ее в таком виде:

разность цифр некоторого двузначного числа равна 3, а разность между этим числом и обращенным равна 27; найти это двузначное число;

то мы получили бы два уравнения:

1) x – y = 3

2) 9x – 9y = 27 (как выше), а это уравнение, как и было сделано выше, упрощается и приводится также к x – y = 3, т. е. здесь мы имеем, в сущности, лишь одно уравнение с двумя неизвестными. Отсюда мы сделаем вывод: если разность цифр двузначного числа равна 3, то разность между ним и обращенным всегда равна 27. Напр.: 41 – 14 = 17, 52 – 26 = 27, 63 – 36 = 27 и т. д.

Заметим еще, что уравнение x – y = 3 имеем бесконечно много решений, причем одному неизвестному можно давать произвольные значения. Но наш вопрос относится к двузначному числу и поэтому y, выражающий число единиц двузначного числа, может быть равен лишь 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

Если же взять y = 7 или более 7, то x окажется равен 10 или более, и число уже будет трехзначным. Также можно убедиться, что если разность цифр двузначного числа = 1, то разность между этим числом и обращенным = 9, если разность цифр = 2, то разность между самим двузначным числом и обращенным должна равняться 18 и т. д.

Задача 4. Число десятков трехзначного числа вдвое меньше суммы цифр его единиц и сотен; частное от деления этого трехзначного числа на сумму его цифр = 48; если из этого трехзначного числа вычесть 198, то получится обращенное число. Найти это трехзначное число.

Положим, что в искомом числе x сотен, y десятков и z единиц. Тогда искомое число есть 100x + 10y + z.

Согласно условию, имеем:

1) y = (x + z) / 2
2) (100x + 10y + z) / (x + y + z) = 48
3) 100x + 10y + z – 198 = 100z + 10y + x.

Упростим эти уравнения:

1) 2y = x + z или 2y – x – z = 0
2) 100x + 10y + z = 48x + 48y + 48z или 52x – 38y – 47z = 0
3) 99x – 99z = 198 или x – z = 2.

Составим следующий план решения. Так как в 3-е уравнение входят только x и z, то исключим из 1-го и 2-го уравнений неизвевстное y, чтобы получить другое уравнение также с x и z. Для этого воспользуемся способом подстановки, а именно: из 1-го уравнения определим y через x и z и подставим во 2-ое.

Мы именно имеем

y = (x + z) / 2

(откуда видим, что не было нужды даже упрощать это уравнение). Подставим во 2-ое:

52x – (38(x + z))/2 – 47z = 0

или

52x – 19(x + z) – 47z = 0

или

52x – 19x – 19z – 47z = 0

или

33x – 66z = 0

или

x – 2z = 0

или

x = 2z

Подставим это значение в 3-е уравнение, получим:

2z – z = 2 или z = 2.

Далее найдем:

x = 2z = 4
y = (x + z) / 2 = 3,

и искомое число есть 432.

Обратим внимание на 3-е уравнение.

Его можно написать в виде

100x + 10y + z – 100z – 10y – x = 198

или

99x – 99z = 198.

Левая часть этого уравнения выражает разность между начальным трехзначным числом и обращенным; эта разность всегда, следовательно, выражается в виде

99x – 99z

или, вынеся 99 за скобки, в виде

99 (x – z),

т. е. разность между каким-либо трехзначным числом и обращенным ему всегда равна разности цифр сотен и единиц, умноженной на 99.

В том числе, для которого была составлена выше решенная задача, разность цифр сотен и единиц равнялась 2; поэтому разность между самим числом и обращенным равнялась 198 (99 · 2 = 198).

Если взять иное трехзначное число, напр., 187, то можно заранее указать, что разность между ним и обращенным числом (здесь придется вычитать из обращенного данное, ибо обращенное число больше данного) будет равна 99 · 6, т. е. 594 (в самом деле: 7 – 1 = 6; 99 · 6 = 594).

Задача 5. Для прокормления лошадей был сделан запас сена на 30 дней. Если бы лошадей было на 1 меньше, то этого же запаса хватило бы на 2 дня дольше, а если бы лошадей было на 8 больше, то этого запаса хватило бы на время, на 10 дней меньшее. Сколько было лошадей и на сколько дней был сделан запас?

Положим, что было x лошадей и запас был сделан на y дней.

Запишем условия задачи нагляднее:

1) Для x лошадей запаса хватит на y дней.
2) … (x – 1) … (y + 2) …
3) … (x + 8) … (y – 10) …

Воспользуемся способом приведения к единице и поставим вопрос: на сколько дней хватило бы этого запаса для одной лошади? (можно и такой вопрос: сколько лошадей можно прокормить этим запасом в течение одного дня? И тот и другой вопрос можно заменить и таким: сколько дневных порций было в этом запасе?).

На этот вопрос можно дать ответ тремя способами:

1) в соответствии с 1-м условием: на (yx) дней (для x лошадей запаса хватит на y дней, а одну лошадь можно тем же запасом прокормить в течение времени в x раз большего);

2) в согласии со 2-м условием: на (y + 2)(x – 1) дней;

3) в согласии с 3-м условием: на (y – 10)(x + 8) дней.

Эти 3 выражения, являющиеся ответом на один и тот же вопрос, должны быть равны одному и тому же числу, т. е.

yx = (y + 2) (x – 1) = (y – 10)(x + 8).

Возьмем отсюда следующие уравнения:

1) yx = (y + 2)(x – 1)
2) yx = (y – 10)(x + 8)

Упростим их:

1) yx = yx + 2x – y – 2 или 2x – y = 2,
2) yx = yx – 10x + 8y – 80 или 4y – 5x = 40.

Решим их способом подстановки:

из 1-го уравнения y = 2x – 2, и тогда:

4(2x – 2) – 5x = 40 или 8x – 8 – 5x = 40,

откуда 3x = 48 и x = 16; тогда y = 32 – 2 = 30.

Итак, было 16 лошадей и запас был сделан на 30 дней.

Подобно этому решается задача:

Купили стадо овец. Если бы каждая овца стоила на 1 рубль дешевле, то на те же деньги можно было бы купить на 24 овцы больше, а если бы каждая овца стоила бы на 2 рубля дороже, то на те же деньги можно было бы купить на 30 овец меньше. Сколько было куплено овец и сколько стоит каждая овца?

Положив, что было куплено x овец и каждая овца стоит y рублей и записав наглядно все условия, мы здесь поставили бы вопрос: на какую сумму денег были куплены все овцы? – Ответ на этот вопрос мы получили бы в трех формах.

Выше решенная задача (о лошадях), в сущности, является подбором каких-либо фактов из жизни к арифметике. В самом деле, там было взято тем, кто составлял задачу, число 480 и разложено тремя способами на 2 множителя:

480 = 30 · 16 = 32 · 15 = 20 · 24

Также точно вторая задача (об овцах) является подбором к следующим разложениям:

720 = 6 · 120 = 5 · 144 = 8 · 90

Желательно, чтобы учащиеся сами находили подобные разложения чисел на множители и изыскивали факты, из опыта к ним подходящие, выражая их в форме соответствующих задач.

Задача 6. Два работника, работая вместе, могут выполнить некоторую работу в 12 дней, но на самом деле вместе они работали только 3 дня, после чего первый прекратил работу, а второму понадобилось еще 21 день, чтобы закончить эту работу. Во сколько дней каждый работник, работая отдельно, может выполнить эту работу?

Положим, что первый работник может выполнить эту работу в x дней, а 2-ой в y дней. Тогда в один день 1-ый выполняет 1/x часть работы, а второй 1/y часть. Весте в 1 день они выполнят (1/x + 1/y) часть работы. Так как сказано, что вместе они могут всю работу выполнить в 12 дней, то в 1 день они вместе выполняют 1/12 часть работы, т. е.

1/x + 1/y = 1/12

Так как вместе они работали 3 дня, а после этого один второй работал еще 21 день, то это значит, что 1-ый работал всего 3 дня и за это время сделал 3/x часть работы, а 2-ой работал всего 24 дня и за это время сделал 24/y часть работы, а вместе они сделали всю работу, т. е.
f74

Итак, 1-ый работник может выполнить эту работу, работая отдельно, в 21 день, а второй — в 28 дней.

Так же решается и следующая задача:

Бассейн наполняется через 3 трубы. Если открыть 1-ую и 2-ую, то через них бассейн наполнится в 12 часов, если открыть 2-ую и 3-ю, то — в 15 часов, а если открыть 1-ую и 3-ю, то — в 20 часов.

Во сколько времени может наполниться этот бассейн через каждую трубу отдельно?

Положим, что через 1-ую трубу бассейн может наполниться в x часов, через 2-ую — в y часов и через 3-ю — в z часов. Тогда в 1 час через первую трубу наполняется 1/x часть бассейна, через 2-ю 1/y часть и через 3-ю 1/z часть. Условия задачи дают нам 3 уравнения:

1/x + 1/y = 1/12; 1/y + 1/z = 1/15; 1/x + 1/z = 1/20.

Эти уравнения можно, например, решить так:

Сложим по частям все 3 уравнения, - получим:

2(1/x + 1/y + 1/z) = 1/5 или 1/x + 1/y + 1/z = 1/10.

Вычтя по частям из этого уравнения первое, получим:

1/z = 1/10 – 1/12 = 1/60; след., z = 60.

Вычтя из того же уравнения по частям второе, получим:

1/x = 1/10 – 1/15 = 1/30; след., x = 30

и, вычтя третье, получим:

1/y = 1/10 – 1/20 = 1/20; след., y = 20.

1-ая труба может наполнить этот бассейн в 30 час., вторая — в 20 час. и 3-ья — в 60 час.