Основным моментом, отделяющим алгебру от арифметики, является введение в сознание учащихся относительных чисел. Вопрос о том, как именно относительные числа ввести в курс и как установить выполнение действий над ними, вызывал среди педагогов большие споры. Моя точка зрения на этот вопрос такова:
Относительные числа, если проанализировать вопрос об их генезисе, вошли в математику или 1) как необходимое обобщение понятия о числе, имеющее целью придавать определенный смысл выражению a − b, каковы бы ни были a и b («чтобы вычитание оказалось всегда возможным») или 2) как обобщение понятия о числе, вызванное стремлением вылить в математические символы ряд фактов действительности, для каковой цели арифметические числа оказывались бы не совсем пригодными. Первая точка зрения, если развивать ее последовательно, должна привести к теории пар чисел (в обычной или, быть может, несколько замаскированной форме). Отвлеченность этой теории должна явиться источником больших затруднений для педагога. Поэтому в элементарном курсе алгебры от нее следует отказаться. Вторая точка зрения позволяет придавать каждому действию над относительными числами определенный конкретный смысл, и, следовательно, более приемлема для педагога. Поэтому в настоящем курсе я провожу эту вторую точку зрения. Однако, имея в виду 1) то, что курс алгебры должен постепенно приучать учащихся переходить от конкретно-практического смысла какой-либо операции к формально-отвлеченному ее определению и 2) то, что построение методики обучения обратным действиям (вычитанию и делению) на конкретных фактах действительности оказывается для учащихся достаточно трудным, я в настоящем курсе вычитание и деление относительных чисел излагаю, исходя из их определений, как действий, обратных сложению и умножению.
Следующая часть курса, а именно: теория рациональных преобразований и уравнения первой степени – проведены в настоящем курсе со следующими особенностями:
1) я никогда не начинаю с правил; правила с моей точки зрения должны появиться лишь в конце работы над рядом частных примеров, да и самый вывод правила должен быть не формально-логическим, как это имеет место в большинстве курсов алгебры (например, вывод правил умножения и деления дробей), а долен являться результатом тех постепенных обобщений, какие могли бы иметь место в сознании человечества при переходе от действий над арифметическими числами к действиям над алгебраическими выражениями; этим самым учащиеся приучаются смотреть на эти алгебраические выражения, лишь как на новые формы тех же относительных чисел, действия над которыми уже освоены учащимися.
Да и очень плохое впечатление получается от нашей традиционной привычки скорее «доказать» правило и заставлять учащихся в дальнейшем ему следовать: как будто центр тяжести обучения алгебры состоит в том, чтобы учащиеся научились аккуратно подставлять в ту словесную или символическую формулу, которую они запомнили, вместо букв или слов соответствующего числа, а не в том, чтобы учащиеся приучались осознавать каждый шаг выполняемой ими операции (особенно это бросается в глаза в дальнейшем, а именно – при решении квадратных уравнений).
2) При прохождении уравнений первой степени отнюдь нельзя ограничиваться стремлением научить решать уравнения; необходимо надо, чтобы учащиеся привыкли и к тому, что можно извлечь из уравнений помимо нахождения их корней; так уравнение первой степени с двумя неизвестными устанавливает определенную зависимость между двумя переменными, и это обстоятельство дает хорошее средство подготовить учащихся к усвоению общего понятия о функции; неопределенные системы уравнений, не давая возможности найти корни уравнений, дают иной раз возможность установить какое-либо свойство входящих в уравнения переменных – на все это обращено много внимания в настоящем курсе.
Добавлю еще, что я не начинаю с определений уравнения и тождества, – взамен того я стараюсь достигнуть того, чтобы учащиеся привыкли видеть в каждом уравнении символическую запись известной задачи.
3) Я не являюсь сторонником того модного в настоящее время направления, которое вводит в курс уравнения с самых первых шагов (даже в курсе арифметики). Я думаю, что стремление заменить арифметические методы решения задач методом уравнений не целесообразно, ибо при этом в результате должна появиться односторонность в математическом развитии учащихся, тем более, что иногда арифметические методы куда изящнее и предпочтительнее метода уравнений. Для примера вспомним задачу: торговка продала первому покупателю половину всего числа бывших у нее яиц и еще ½ яйца, второму – половину остатка и еще пол яйца, третьему – половину нового остатка и еще пол яйца и четвертому – половину остатка и еще пол яйца, после чего у нее яиц вовсе не осталось. Сколько яиц было у нее первоначально?
Поэтому статья об уравнениях 1-ой степени оставлена мною на ее традиционном месте, зато читатель найдет в этой статье много деталей, позволяющих, с моей точки зрения, получше вкоренить идею уравнения в сознании учащихся.
4) Я также не придаю существенного значения введение в начала курса алгебры построения график. С моей точки зрения графики для математики дают (в начале курса) слишком мало, но поглощают много времени. Если графики полезны для прохождения других предметов, то преподаватели этих предметов и должны, не перекладывая эту свою обязанность на преподавателя математики, научить учащихся и строить их и пользоваться ими. Не следует считать неразрывно связанною с графиками идею функциональной зависимости. В настоящем курсе много уделено внимания понятию о функциях (см., например, пункт 2-ой этого предисловия), и я полагаю, что в курсе элементарной математики есть много поводов для постепенного освоения учащихся с этою основною идеею математики, я лишь думаю, что раннее введение график может, пожалуй, помешать выполнению этой задачи, ибо часто приходилось видеть, что для учащихся графика является мнемоническим средством, которое как бы усыпляет сознание учащегося, и он уже не стремится проникнуть в происхождение рассматриваемой функции.
Итак в начале курса алгебры я не даю знакомства с методом координат, зато в III части курса я даю краткие сведения из аналитической геометрии, которые позволяют иллюстрировать исследование уравнений 1-ой степени с одним и двумя неизвестными соответствующими задачами на пересечение прямых и тем самым удалить из курса задачи вроде задачи о курьерах.
Вторая часть настоящего курса охватывает извлечение квадратного корня, понятия об иррациональных и мнимых числах, квадратные уравнения, теорию преобразований иррациональных выражений, прогрессии и логарифмы. По поводу этой части ограничусь лишь 3 замечаниями.
1. В статьях об извлечении квадратного корня и о преобразованиях иррациональных выражений я стараюсь избегнуть по возможности формально-механических правил. Особенно это можно подметить в главе о преобразовании иррациональных выражений: здесь, следуя развитию вопросов, возникающих в естественном порядке, получаем основные равенства, которыми и направляется работа над выполнением преобразований в каком-либо данном иррациональном выражении.
2. Квадратные уравнения введены в курс дважды (здесь можно видеть, что настоящий курс алгебры не чужд принципа концентричности): в первый раз – после извлечения квадратного корня из чисел, что естественно, так как извлечь √a значит, в сущности, решить уравнение X² = a, а развитие этой мысли ведет к решению более сложных квадратных уравнений. Во второй раз квадратные уравнения появляются после статьи о преобразованиях иррациональных выражений, и здесь заканчивается работа изучения этих уравнений.
3. В статье об арифметических прогрессиях можно видеть мое желание воспользоваться наглядностью в особой форме: наблюдение самых математических символов дает иной раз возможность установить то или иное свойство объектов, выражаемых этими символами.
По поводу III части курса, посвященной дополнительным статьям (теория соединений, Бином Ньютона и т. д.) уже было выше указано, что здесь вводятся в курс краткие сведения из аналитической геометрии. Замечу еще, что глава о неравенствах построена на представлении чисел точками прямой линии.
Курс, как это видно из выше изложенного, разделен на 3 части: первая часть посвящена рациональным преобразованиям, вторая – иррациональным и третья – дополнительным статьям. Такое деление представляется мне и последовательным и целесообразным.
Вышеизложенные особенности настоящего курса, а также то обстоятельство, что в курсе разобрано детально достаточно много примеров, позволяют мне думать, что настоящий курс может служить не только учебником для школы, но и руководством для самообучения, и тем самым восполнить, хотя бы до некоторой степени, пробел нашей учебной литературы в области математики.
Н. Извольский