Кроме четырех основных, существует очень много сложных арифметических действий. Они происходят от сочетания основных действий и потому не носят никаких особенных названий. Иногда результат арифметических действий между числами обозначают только знаками, не производя самого вычисления. Это бывает всякий раз, когда обращают главное внимание на саму связь между числами.

В таком случае результаты четырех основных арифметических действий между числами 6 и 2 изобразятся в виде

Действие, составленное из сочетания основных, называются сложными действиями.

Результаты сложных действий, выраженные при помощи одних знаков, бывают весьма разнообразны. Так, результат сложного действия, в котором нужно 6 умножить на 7, а затем приложить к произведению число 5, выразится в виде:

6 × 7 + 5

Действие, в котором из суммы чисел 5 и 6 нужно вычесть 3, выразится в виде:

5 + 6 - 3

Действие, в котором из произведения 6 на 5 нужно вычесть произведение 3 на 7, выразится в виде:

6 × 5 - 3 × 7

Результат одного или нескольких арифметических действий, выраженный одними знаками, называют арифметическим выражением.

В арифметическом выражении каждое число, соединенное с другими числами знаками + или -, называют членом.

Арифметическое выражение по числу входящих в него членов называют одночленом, двучленом и вообще многочленом.

Так, арифметические выражения

будут одночленами.

Арифметические выражения

6 - 5,   7 + 3,   6 × 7 + 5,   6 × 5 - 3 × 7

будут двучленами.

Сумма и разность двух чисел есть двучлены.

Арифметические выражение

6 × 5 × 4 + 3 × 7 - 2 × 9

будет многочленом.

Скобки

При действиях с арифметическими выражениями употребляют скобки.

Чтобы обозначить, что данное арифметическое действие нужно выполнить над арифметическим двучленом или многочленом, помещают его между скобками или, как обыкновенно выражаются, заключают его в скобки.

При этом скобки обозначают так:

( ), [ ]

Так, например, чтобы показать, что нужно сумму чисел 5 и 6 умножить на 7, пишут:

(5 + 6) × 7

Чтобы уяснить значение скобок, вычислим сначала величину выражения (5 + 6 ) × 7 и затем величину выражения 5 + 6 × 7, в котором скобки опущены.

В первом случае, умножая сумму 5 + 6 на 7, имеем (5 + 6) × 7 = 77.

Во втором случае нужно умножить на 7 только 6, и в результате получим:

5 + 6 × 7 = 47

Если нужно выполнить действие над несколькими многочленами, заключают их всех в скобки.

Так, чтобы умножить арифметическое выражение 6 × 5 - 7 на сумму 6 + 8, пишут:

(6 × 5 - 7) × (6 + 8)

Если из произведения 3 × 9 нужно вычесть произведение разности 6 - 2 на сумму 2 + 3, пишут:

3 × 9 - (6 - 2)(3 + 2)

Если нужно все это последнее выражение разделить на сумму 2 + 5, пишут

[3 × 9 - (6 - 2)(3 + 2)] ÷ (2 + 5)

При помощи скобок легко написать арифметическое выражение по данной зависимости между числами и найти его величину.

Чтобы определить результат сложного арифметического действия, нужно каждое выражение, а в выражении каждый член вычислять отдельно.

Так, определяя величину выражения

[3 × 9 - (6 - 2)(3 + 2)] ÷ (2 + 5)

мы заменяем арифметические выражения

6 - 2,   2 + 3,   2 + 5 числами
6 - 2 = 4,   2 + 3 = 5,   2 + 5 = 7

Сделав это, имеем:

(3 × 9 - 4 × 5) ÷ 7

Заменяя члены 3 × 9 и 4 × 5 числами

3 × 9 = 27,   4 × 5 = 20, имеем
(27 - 20) ÷ 7
или 7 ÷ 7 = 1

Иногда прибегают к скобкам при действии над одночленами. Так, желая указать, что частное 6 ÷ 3 нужно умножить на 5, пишут (6 ÷ 3) × 5.

Скобки ввел в первый раз Альберт Жирард (1629 г.).