1. Количество

Сравнивая однородные признаки, мы замечаем, что они бывают развиты в предметах не в одинаковой степени: один предмет бывает длиннее, больше, тяжелее другого; одно явление продолжается дольше другого. Сравнивая однородные признаки, мы получаем понятие о количестве.

Количества бывают однородные и разнородные. Так, вес одного и вес другого тела будут количества однородные, вес тела и его размеры будут количества разнородные.

2. Величина. Мера. Единица

Сравнивая однородные количества, мы получаем понятие о величине.

Имея несколько однородных величин, выбирают одну из них и сравнивают с нею остальные величины.

Мера. Величину, с которою сравнивают другие однородные величина, называют их мерой. Одну какую-нибудь меру условливаются считать постоянною и с нею сравнивают все остальные величины того же рода.

Единица. Постоянная мера, с которою сравнивают все однородные с ней величины, называется единицей. Измерить величину — значит сравнивать ее со своей единицей.

Величина. Величина есть все то в предмете, что при своем изменении может быть измеряемо. Каждый род величин имеет свою единицу. Для отличия различных единиц указывают, к какому роду количеств они принадлежат. Их называют единицами веса, времени, объема и т. д. Каждая из этих единиц получает особое название. Так, час есть единица времени, аршин — единица длины, пуд — единица веса и т. д.

Наименование. Названия различных единиц называются их наименованиями.

Однородные единицы. Для измерения однородных величин употребляют различные единицы. Так, для измерения длины служат в России миля, верста, сажень, аршин, вершок; для измерения времени служат год, сутки, час, минута, секунда. Различные единицы, служащие для измерения однородных величин, называются однородными единицами. Эти однородные единицы бывают не одинаковой величины: миля более версты, верста более сажени и т. д. При том несколько меньших единиц составляют одну большую: три аршина составляют сажень, пятьсот сажень — версту, семь верст — милю.

Таким образом, однородные единицы бывают более или менее крупными. Если три аршина вместе составляют одну сажень, то, обратно, чтобы получить аршин, нужно сажень разбить на три равные части. Аршин составит, таким образом, часть сажени.

Часть единицы. Если единицу разбить на несколько равных частей, то величина, полученная таким образом, называется частью единицы. Часть единицы получает особое название.

Так, когда мы разобьем аршин на четыре равные части, каждая часть называется четвертью; если его разбить на три равные части, каждая часть называется третью аршина. Если аршин разбить на шестнадцать равных частей, каждая часть называется шестнадцатою частью аршина, или вершком. Части единицы называют также долями.

3. Число

При сравнение величины со своей единицей замечают три случая: 1) когда величина больше своей единицы, 2) когда величина равна и 3) когда величина меньше своей единицы.

Если величина больше своей единицы, при измерении ее определяют, сколько раз единица повторяется, или сколько раз она содержится в данной величине.

Если величина равна своей единице, ее называют единицею.

Если величина меньше единицы, ее сравнивают с какою-нибудь частью единицы и определяют, сколько раз эта часть единицы содержится в величине. Так, например, взяв какую-нибудь длину, большую аршина, измеряем ее аршином и находим, что аршин содержится в данной длине ровно три раза. В этом случае заключают, что данная длина равна трем аршинам.

Измеряя другую длину, меньшую аршина, находим, что ее можно получить, если мы разобьем аршин на четыре равные части и эту часть повторим три раза. В этом случае мы говорим: данная длина составляет три четверти аршина.

Измеряя длину, мы получаем, таким образом, различные выводы: три аршина, три четверти аршина.

Число. Вывод, получаемый из сравнения величины со своей единицей, называется числом. Число есть результат измерения величины. Число есть ответ на вопрос: сколько?

4. Разделение чисел. Арифметика

Числа бывают целые и дробные. Числа называются целыми, когда единица повторяется в данной величине ровно один или несколько раз. Если для измерения величины нужно ее сравнивать с частью единицы, число называется дробным. Три, четыре, семь являются целыми числами; три четверти, половина, четверть являются дробными числами.

Целое число. Целое число — это одна или несколько единиц, взятых вместе, или как обыкновенно выражаются, это одна единица, или совокупность единиц.

Дробное число. Дробное число, или дробь, есть одна или несколько равных частей единицы.

Определить, сколько раз какой-нибудь предмет повторяется в данной совокупности однородных предметов, значит сосчитать предметы. Считая предметы, мы всегда выражаем результат счета целым числом.

Целое число есть результат счета.

Числа разделяются также на отвлеченные и именованные.

Именованное число. В именованном числе мы обращаем внимание на значение или содержание единиц. Именованным называется такое число, которое имеет наименование, например, пять пудов, шесть дней. Именованное число есть результат измерения, выраженный в единицах, однородных с измеряемой величиною.

Отвлеченное число. В отвлеченном числе мы отвлекаемся от содержания или значения единиц и обращаем внимание только на отношение величины к своей единице. Отвлеченным называется число, не имеющее наименования, например, семь, три четверти.

Арифметика. Арифметика есть наука, в которой излагаются правила составления, изображения чисел словами и знаками и основные действия с числами.

Арифметика разделяется на 2 части: 1) на арифметику целых и 2) арифметику дробных чисел.

Первая часть занимается целыми числами, а вторая — дробными.