Остановимся прежде всего на положении дела обучения геометрии в средней школе.

В главе 2-ой была данная общая характеристика традиционной системы преподавания геометрии.

И наши наиболее ходовые учебники (Давыдов, Киселев и многие другие, им подражающие), и наша традиционная система преподавания геометрии (диктуется или читается теорема, объясняется и записывается ее доказательство, после чего часто следует классическое «что и требовалось доказать», а на следующий урок происходит спрашивание учеников, причем большинству из них надо быть готовым дать ответ на вопрос: «докажите такую-то теорему») – все культивирует взгляд на геометрию, как на собрание теорем. И это обстоятельство является коренным недостатком наших наиболее распространенных учебников. В них нет указаний на то, что известная, уже выполненная учащимися работа ставит на очередь новые вопросы; нет в них, конечно, и развития той работы, которая может привести к ответам на поставленные вопросы, а взамен того дается очередная теорема, сопровождаемая доказательством. И практическая методика геометрии (ведь мы знаем, что во многих случаях дело преподавания геометрии ведется в соответствии с избранным учебником) повторяет, за теми исключениями, какие выше указаны, эту коренную ошибку учебников.

Здесь кстати указать, что и более частные погрешности учебников постоянно повторяются на практике. Так, мы знаем, что на первых уроках геометрии заставляют учащихся изучать доказательства прямой и обратной теоремы о смежных углах, а между тем в них нечего доказывать.

(Вот выписка из моего доклада «Современное состояние курса геометрии в средней школе в связи с разбором наиболее распространенных учебников». См. Труды 1-го Всероссийского Съезда препод. мат. Т. II, стран. 75-77.

«Общеизвестна теорема: сумма двух смежных углов равна 2d. Для доказательства этой теоремы пишется ряд равенств, приводится рад рассуждений, но оказывается, что здесь нет материала для доказательства.

Для выяснения этого наиболее удобно перенести вопрос на строго логическую почву, отказавшись от тех образов, с которыми мы связываем эту теорему. Для этой цели следует воспользоваться символами. Имеем класс объектов: a, b, c, d, e, …, которые мы называем углами и относительно которых надо доказать, что a + b = 2d, где a и b суть два объекта этого класса, особенным образом выбранные, а d есть объект этого же класса, обладающий особыми признаками.

Все объекты нашего класса удовлетворяют следующим постулатам: 1) постулат сложения – для всяких двух объектов a и b возможно найти в этом же классе третий объект, называемый суммою двух первых, т. е. Возможно найти a + b; 2) 2d значит d + d; 3) надо перевести образное представление смежных углов на символы. Обычное определение смежных углов в связи с образным процессом сложения углов возможно перевести на символы в такой форме: в условии теоремы даны два таких объекта a и b, что их сумма равна некоторому особому объекту c; 4) надо сделать подобный же перевод на символы для прямого угла, обозначаемого знаком d. «Прямым углом называется один из равных смежных углов», т. е. Символ d есть такой особенный объект нашего класса, что d + d = c (на основании 3) или (на основании 2) 2d = c.

Все доказательство сводится тогда к тому, что к двум данным посылкам: a + b = c и 2d = c надо присоединить третью – два объекта (обыкновенно говорят «две величины»), порознь равные третьему, равны между собою, и заключить отсюда: «следовательно, a + b = 2d».

Но в наших наиболее распространенных учебниках даже и этого делать не приходится. В самом деле, там избегается введение в курс геометрии того особенного угла, который обозначен символом c (в некоторых учебниках вводится этот особенный угол, называемый развернутым или выпрямленным, но эти учебники почти не употребляются в средних учебных заведениях); раз этот угол не входит в курс, а взамен его вводят лишь один особый угол прямой, названный символом d, но нам остается 4-ый постулат выкинуть, а 3-ий изменить: данные в условии теоремы символы a и b связаны между собой соотношением a + b = 2d. Что же тогда доказывать? Содержание теоремы вовсе исчезает.

Такую же ценность имеет и обратная теорема, доказательство которой так трудно дается учащимся. Понятно теперь – почему? Потому что, в сущности, здесь доказывать нечего, надо лишь видеть. Здесь дело еще хуже; чтобы показать это, выписываю теорему в редакции одного из учеников: если сумма двух прилежащих углов DBC и CBA равна двум прямым, то их внешние стороны DB и BA образуют прямую линию; следовательно, эти прилежащие углы будут сложными.

Если ученик усвоил понятия «прямой угол» и «сумма двух углов», то каково ему читать или слушать начало доказательства: предположим, что DB не будет продолжением прямой BA и т. д. Ученик вправе сказать, что мы не имеем права этого предполагать, так как дано, что ∠DBC + ∠CBA = 2d, а это равносильно тому, согласно определениям суммы углов и прямого угла, что DB и BA являются продолжениями друг друга. Преподавателю остается затуманить и мысль и воображение ученика, чтобы заставить его принять предлагаемое доказательство.»)

Введение в курс таких теорем можно объяснить лишь какою-то исключительною любовью к «доказательствам», и этою любовью обладают не только наши учебники, но и иностранные. Также точно только любовью к доказательствам можно объяснить следующий факт: 1) доказывают прямую теорему – «если из точки на прямую опущен перпендикуляр и проведены наклонные, то перпендикуляр короче всякой наклонной»; 2) доказывают (или иногда предлагают это сделать самим учащимся) обратную теорему «кратчайшее расстояние от точки до прямой есть перпендикуляр». Если не заниматься только диалектикой, а вдуматься в суть дела, то становится ясным, что эти 2 формы суть выражения одной и той же мысли и отнюдь одно из этих предложений не обратно другому. (См. подробности в том же докладе (современное состояние и т. д.), в Трудах Съезда, т. II, стран. 78.

Интересен по поводу этой обратной теоремы следующий факт. А. Киселев, в учебнике которого имелась эта обратная теорема, выступил в прениях после доклада в защиту этой обратной теоремы (Труды 1-го Съезда, т. II, стран. 94) и в новом (21-ом) издании своего учебника (А. Киселев. – «Элементарная геометрия»), вышедшем после 1-го Съезда, оставил эту обратную теорему. После этого мною была напечатана статья: «По поводу выхода 21-го издания учебника геометрии А. П. Киселева» (Вестник опытной физики и элементарной математики, № 560, 1912 г. XLVII семестра № 8-ой, в отделе «Библиография»), в которой опять-таки мною было обращено внимание на эту обратную теорему. И вот, в 23-м издании (1914 г.) своего учебника г. Киселев, под влиянием ли этой статьи, либо по иным причинам, уже эту обратную теорему не приводит.)

Наряду с таким стремлением делать изо всего теоремы и их доказывать можно отметить особенную любовь учебников геометрии к определениям.

Поучительна по своей толщине книга Schooten'а, где собраны воззрения различных авторов на основные геометрически объекты и соответствующие определения.

На этой почве в наиболее распространенных учебниках возникает путаница, примером которой служит выписка из цитируемого выше моего доклада – «Современное состояние курса геометрии и т. д.»

«Другой ряд недоразумений возникает на почве следующих определений:

1) сочетание каких-либо точек, линий, поверхностей, тел, а также каждый из этих элементов в отдельности называется геометрической фигурою;

2) многоугольником называется часть плоскости, ограниченная со всех сторон прямыми.

Сопоставление этих определение позволяет заключить: многоугольник не есть фигура, между тем, как многогранник (многогранником называется тело, ограниченное со всех сторон плоскостями) есть фигура, потому что именем «фигура» может быть названо тело (часть пространства), но не часть плоскости (поверхности, упоминаемая в определении фигуры совсем не то же самое, что часть ее). Далее мы имеем определение:

3) часть площади, ограниченная со всех сторон, называется площадью.

Из (2) и (3) определений вытекает: многоугольник есть частный вид площади; также из определения круга (обычное определение круга таково: «кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью») следует: круг есть частный вид площади. Какой же смысл имеют встречающиеся далее термины: площадь прямоугольника, многоугольника, круга и т. п.?» (Труды 1-го Съезда преподавателей математики. Т. II, стран. 80-81.)

Иногда, как мы знаем стремятся помочь делу добавлением при определении понятий «площадь многоугольника, круга и т. п.» термина «величина» или слов «независимо от формы». Получаются определения вроде следующего: площадью треугольника называется величина части площади, занимаемой этим треугольником (или: называется часть плоскости, занимаемая фигурою, независимо от ее формы).

Конечно, такие добавления не помогают делу. В самом деле, чтобы быть последовательным, надо в таком случае прежде всего установить, что ограниченную со всех сторон часть плоскости можно рассматривать, как величину, и что совокупность таких частей составляет систему величин. Затем надо для каждого, например, треугольника выбрать соответствующее значение из этой системы. Если треугольник определяют, как часть плоскости, то сам треугольник и является значением из этой системы величин, соответствующей этому треугольнику, т. е. Опять приходим к заключению, что термин «площадь треугольника» совпадает с термином «треугольник».

Добавление «независимо от формы» – вовсе беспочвенно: раз часть плоскости ограничена со всех сторон, то тем самым этой части плоскости неизбежно придана форма. Возможно ли мыслить ее независимо от формы? Во всяком случае, следовало бы (а попыток к этому в учебниках не имеется) научить как-либо части плоскости, по самому своему происхождению наделенные формою, трактовать «независимо от формы».

Пусть скажут, что все эти факты – мелкие. Но 1) если это «мелкие» факты, то значит все такие определения несущественны для развития содержания курса геометрии, а если они не существенны, то не следует ли их вовсе удалить и заменить положениями – «я умею построить треугольник», «я вижу площадь треугольника» и т. п., а 2) обилие таких противоречащих друг другу определение указывает на то, что наши ходовые учебники геометрии, а следом за ними и наша практическая методика геометрии, уклонились в сторону диалектики. А это обстоятельство (оно, между прочим, вызвано нашим стремлением к тому, чтобы ученики знали «ответы» на вопросы, могущие быть им заданными на экзаменах) уже является купным грехом современной постановки дела обучения геометрии.

Такая постановка сказалась и на тех исканиях, какие имеют место в работах по методике геометрии для средней школы. Математические журналы заполняются главным образом (исключения редки) статьями по геометрии, дающие ответ на вопрос: как проще, понятнее для учеников, доказать ту или иную теорему? Реже, хотя все-таки часто, и это тоже соответствует современной постановке дела обучения геометрии, встречаются статьи, имеющие целью обычный ряд теорем заменить другим, в общем (как это постоянно бывает), мало чем отличающимся от обычного; наконец, имеется ряд статей, трактующих общие вопросы о значении интуиции и логики для геометрии и стремящиеся поставить курс геометрии в средней школе на ту почву, какая выяснена в главе 5-ой, по преимуществу в связи со взглядами С. А. Богомолова.

Принцип наглядности, проникший и в среднюю школу в преподавание геометрии, принял характер или иллюстраций различных геометрических предложений или иллюстраций доказательств различных теорем. Слишком мало появляется в свет методических работ, которые выяснили бы возможность иного характера постановки дела преподавания той или иной части курса геометрии, которая на первый план выдвигала бы не «доказательства», а «происхождение» теорем. Редко также приходится встречаться со стремлением конструировать наглядные пособия так, чтобы пользование ими приводило бы учащихся к открытию непреложности того или другого свойства.

Вот пример, подтверждающий вышеизложенное обычное отношение к характеру преподавания геометрии. За последни годы стала широко распространяться рекомендуемая на различных курсах, имеющих своею задачею подготовку преподавателей, переведенная с английского языка книга Дж. В. А. Юнг. – «Как преподавать математику»? Вот каково отношение этой книги к вопросам преподавания геометрии:

«Суть здесь вся в том, чтобы ученик научился доказывать, доказывая.»

На стран. 297-299 выясняется преимущество аналитического характера доказательства теоремы (в виде примера берется теорема: «если прямая перпендикулярна к двум прямым, лежащим на плоскости, то она перпендикулярна ко всякой прямой, лежащей на плоскости и проходящей через точку пересечения прямой плоскости»):

«Даже тогда, когда доказательства с соблюдением строго формального характера будут в полном разгаре, мы можем применять конкретные пособия для того, чтобы привести ученика к какому-нибудь предложению, для иллюстрации предложений, для изучения их назначения, свойств и следствий. Большую ценность имеет применение моделей. Их могут изготовлять сами же ученики, если это им по силам, и, помимо постоянного применения моделей к доказательствам, ими можно иногда пользоваться, как средством прямого доказательства, как, например, в доказательствах, основанных на разделении на части или наложения».

«Превосходным упражнением для учеников может также служить составление генеалогического дерева для какого-либо определенного доказательства. Работа состоит в том, что ученик указывает, от каких предложений наша теорема зависит непосредственно, затем предложения, от которых зависят предложения, указанные в первую очередь, и т. д. до тех пор, пока мы не дойдем до допущений, принимаемых без доказательства.»

Ясно, что на первый план автором выдвигается обучение учеников доказательствам. Лишь изредка удается подметить мысль о возможности какого-то иного отношения к делу. Намек на это, например, видим в выше данных словах: «ими (наглядными пособиями) можно иногда пользоваться, как средством прямого доказательства». Однако, и здесь 1) речь идет лишь о «доказательстве» (хотя бы и прямом), 2) имеется опасение, что автор хочет вступить на путь опыта, при помощи которого не уясняется непреложность какого-либо свойства, а лишь иллюстрируется приближенное (иного опыт и не может дать) совпадение с объясненною теоремою. Еще ярче выясняется отношение автора к делу на стран. 296 и стран. 304-305. Здесь речь идет о приучении учеников уже к «открытиям» (конечно, переоткрытиям), но, однако, и эти открытия сводятся исключительно к открытиям доказательств тех теорем, которые даются в учебниках в виде упражнений на искание доказательств. Автор уделяет некоторое место вопросу «как приступить к розысканию доказательств?» и методам «искания доказательств». К сожалению, автор не разрабатывает вовсе вопроса об исканиях настоящего геометрического характера (особенностей, почему-либо интересных для нас, почему-либо обращающих на себя внимание различных геометрических комбинаций). Такое отношение к делу автора принуждает высказать, что все то, что относится к преподаванию геометрии, заставляет прийти к мысли, что так, как трактует автор, вовсе не следует преподавать геометрию.

Обратимся теперь к курсам пропедевтического характера. 40-50 лет тому назад пропедевтические курсы геометрии пользовались значительным распространением и большинство их сводилось к изучению, в смысле чисто-внешнем, моделей геометрических тел. Образцом таких курсов может служить тот пропедевтический курс, который имеется в учебнике геометрии Вулиха. Этот курс сводится к чисто-словесному описанию того, что учащиеся видят на моделях различных геометрических тел. Это описание прерывается иногда рядом опытов, имеющих целью показать равенство некоторых отрезков, некоторых углов и сопровождается целым рядом определений: прямым углом назыв. … треугольником назыв. … квадратом назыв. … и т. д.

Такой пропедевтический курс следует признать не только бесцельным, но даже и вредным: на всем его протяжении учащиеся вовсе не выполняют работы геометрического характера, а довольствуются только описанием того, что видит физическое зрение, к чему присоединяется использование некоторого жизненного опыта учащихся, не доведенного до отчетливости, и что сопровождается заучиванием ряда беспочвенных определений.

За последние годы начали появляться в большом числе новые учебники пропедевтического курса геометрии, их обычное название – «наглядная геометрия» (В. Кемпбелль, А. Астряб, А. Кулишер, Кутузов и ряд других). Эти курсы в большинстве случаем также начинаются с рассмотрения тел, однако, они отличаются от прежних большим развитием своего содержания. Изредка встречаются курсы, начинающие занятия с построения прямых линий, углов и т. п.

Во всех пропедевтических курсах имеются педагогические ошибки. Вот важнейшие из них (выше, в сущности, уже намечено, в чем следует искать корни этих ошибок).

1. Под влиянием так называемого фюзионизма (так называется то течение в методиках геометрии, которое желает отказаться от разделения курса геометрии на планиметрию и стереометрию и которое стремится слить в единый курс и геометрию на плоскости и геометрию в пространстве) и под влиянием желания добиться того, чтобы учащиеся свободно переходили от образов плоской геометрии к пространству, обычно препедевтические курсы геометрии начинаются с изучения геометрических тел (правильнее сказать: с изучения моделей геометрических тел). Иногда учебник предлагает с самого начала детям заняться рассмотрением различных форм тел и, указывая на выставленную модель куба, утверждает, что вот – самая простая форма тел. При таком начале курса на первых же порах создается взаимное непонимание учителя и учеников (либо учебника и учеников). В самом деле, с точки зрения учителя, который знаком с происхождением куба, является понятным утверждение, что это – самая простая (или, по крайней мере, одна из простых) форма тел, так как учитель владеет рядом признаков, которыми такое утверждение обосновывается. Но с точки зрения ученика такое утверждение висит в воздухе: ученик, не зная происхождения куба, конечно, должен, хотя бы и полусознательно, удивиться тому, что такую хитрую вещь учитель называет «самою простою»; для ученика более простыми являются те формы, с которыми он чаще сталкивается: лошадь, корова, человек, дерево, дом и т. п.

Если, как то делают другие учебники, ученикам предлагается с самого начала вылепить из глины такой же предмет, как и выставленная модель куба, то, в сущности, нет возможности, если ученик вместо модели куба вылепит модель наклонного параллелепипеда, убедить его, что это не «такой же» предмет. Нет возможности потому, что ученики еще незнакомы ни со сравнением отрезков и углов, ни с возможностью получать особые – прямые углы.

Придется учителю опираться, в виду отсутствия у учеников этих сведений, на неясный и не приведенный в отчетливость жизненный опыт учащихся; учитель станет говорить: «смотри, вон там стенка стоит прямо, а у тебя криво, косо или наклонно» и т. п.

При обоих вышеуказанных началах курса имеют место грубые педагогические ошибки: в первом случае, с самого начала курса появляется взаимное непонимание и столкновение двух точек зрения, учителя и ученика, и это непонимание или это столкновение все углубляются по мере того, как переходят к рассмотрению все новых и новых тел; во втором случае вместо того, чтобы привести в отчетливость те зачатки геометрических знаний, которые имеются у учеников благодаря их жизненному опыту, учителю приходится опираться именно на них, не смотря на то, что эти зачатки у учеников еще слишком туманны, еще в слишком хаотическом состоянии.

2. Широко развито в этих пропедевтических курсах пользование опытом. Например, предлагают учащимся при помощи опыта убедиться, что если на круге отложить в разных местах равные хорды, то центральные углы, соответствующие этим хордам, равны; что если вырезать из бумаги два треугольника так, чтобы у них было по две равных стороны и равные углы между этими сторонами, то такие треугольники равны; что сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым; что сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым; что касательная к кругу перпендикулярна к радиусу, идущему в точку касания, что длина окружности в 3,14 раза больше длины диаметра и т. д. и т. д.

Такое пользование опытом является, как это уже указывалось выше, ошибкою. Убедиться в необходимости того или иного свойства, как то требуют авторы учебников, учащиеся из этих опытов не могут. Они в некоторых случаях готовы признать неизбежность указываемых свойств потому, что в этих случаях имеет место некоторая симметрия или определенный способ получения фигуры, которые влекут за собою это свойство, как ближайшее следствие. Так, например, неизбежность равенства центральных углов круга, соответствующих равным хордам, есть ближайшее следствие симметрии круга относительно центра. Учащиеся полусознательно это чувствуют и, в силу этого, соглашаются признать необходимость этого свойства. Но опыт здесь не причем, и преподаватель или учебник, заставляя проделывать вышеуказанные опыты, вносят в этот вопрос нечто совершенно лишнее. Следовало бы, отбросив ненужный здесь опыт, постараться привести в отчетливость представление симметрии круга относительно центра, откуда непосредственно и получат учащиеся указанное свойство центральных углов. В других случаях (например, сумма внутренних углов треугольника или длина окружности и т. п.) ученики просто на веру принимают то, в чем советует убедиться учебник, а опыт является лишь некоторой иллюстрацией того, что практика не очень расходится с теориею. Выполняя ряд таких опытов, ученики, в сущности, не учатся геометрии, ибо эта работа не свойственна геометрии.

3. В пропедевтический курс вводят слишком много материала. Мы здесь встречаем и признаки равенства треугольников и сумму углов и треугольников и многоугольников и свойства различных видов параллелограмма и свойства касательной к кругу и свойства средних линий треугольника и трапеции и т. д. и т. д. Это обстоятельство указывает на то, что авторы таких курсов на первый план выдвигают, как то было и встарь, накопление знаний, а ту работу, которая должна привести к этим знаниям, в сущности, вовсе игнорируют. Здесь имеет место существенная педагогическая ошибка. Пора была бы уже прочно установить, что самым ценным элементом при обучении всякому предмету должен считаться тот отпечаток, который налагается на сознание учащегося работой над материалом этого учебного предмета, причем накопление фактических знаний являлось бы косвенным результатом этой работы; отнюдь, не следовало бы это «накопление знаний» выдвигать на первый план.

Вспомним, что это накопление знаний достигается в наших пропедевтических курсах при помощи широкого использования опытов. Вот обычная схема обучения: сделай то-то и то-то (например, вырежь из бумаги треугольник, отрежь его углы и сложи их) из этого убедись в том-то и том-то (убедись, что, например, сумма внутренних углов треугольника = 2d). Уже тот факт, что ученикам здесь сообщается требуемое свойство, указывает на ненормальность и нежелательность этой схемы. А результатом ее очень частого применения явится то, что ученик станет запоминать сообщаемые ему факты, опираясь на свою словесную память. Опять, следовательно, как и встарь, обучение геометрии будет опираться на простое заучивание.