Считаю необходимым изложить тот руководящий взгляд на самый предмет геометрии, которым направляется изложение моего курса, даваемого как в настоящей книге «Геометрия на плоскости», так и в книге «Геометрия в пространстве». Я должен указать на ту книгу, которая много помогла мне, чтобы придать этому взгляду определенную форму. Эта книга принадлежит перу покойного французского математика-философа Анри Пуанкаре и переведена на русский язык: Г. Пуанкаре. Наука и метод. Издание Mathesis (Одесса).

Всякая наука отбирает в свое ведение определенный ряд фактов, составляющий тот материал, над которым работает эта наука. Материалом, подлежащим ведению геометрии, является совокупность всех точек, линий и поверхностей; наше сознание признает возможным под влиянием наблюдения и опыта (наблюдение и опыт являются всегда первоисточником знаний (но это вовсе не значит, что всякое знание состоит исключительно из того, что наблюдение и опыт дают нашим органам чувств)) признать существование точек, линий и поверхностей, хотя они отдельного материального существования и не имеют. Подобно тому, как человеческий гений пришел к необходимости создания чисел (в природе никаких чисел не существует; человечество само, под влиянием наблюдения и опыта, создало понятия о числах, чтобы лучше ориентироваться во всем окружающем), так точно явилась необходимость создать понятия и о точках, линиях и поверхностях. Можно не только мыслить эти понятия, но можно – наблюдения и опыты, под влиянием которых эти понятия были созданы, дают для этого средства – придать этим понятиям известные образы: мы можем воображать точки, линии и поверхности.

Каждая наука прежде всего производит классификацию того материала, над которым она работает, стараясь прежде всего выделить то, что признается ею, по каким-либо основаниям, простейшим. Геометрия поступает так же. Пользуясь известными наблюдениями и опытами, а также теми образами, какие присвоены точкам, линиям, поверхностям, геометрия признает: 1) все точки одинаковы; 2) среди линий имеется одна, которая признается нами простейшею – прямая линия; 3) из поверхностей выделяется простейшая, а именно – плоскость.

Во «Введении» (стран. 1–7) даны те наблюдения и опыты, которые могли бы привести к созданию понятий о точках, линиях и поверхностях, а также к выделению простейших линий и поверхности.

Далее, каждая наука изучает ряд комбинаций из того материала, который подлежит ведению этой науки. Эти комбинации или берутся готовыми, в том виде, как они существуют в природе, или осуществляются самою наукою. Геометрия преимущественно (а может быть и исключительно) сама строит те комбинации, которые желает изучить. Построение этих комбинаций идет сначала как бы ощупью, начиная с простейших – прямая и точка (прямая и 2 точки и т. д.), причем всякий раз, построив какую-либо комбинацию, геометрия рассматривает, изучает ее с целью выяснить, не получилось ли чего-либо особенного, чего-либо интересного; геометрия изучает также те вопросы, какие возникают при построении этих комбинаций.

Так, комбинируя прямую линию и точку, мы видим, что наступает некоторая особенность (прямая делится на 2 части) лишь тогда, когда точка берется на самой прямой; эта особенность ведет лишь к тому, что каждой части прямой приходится дать какое-либо название (напр., луч). Продолжая развитие комбинаций, мы рассматриваем прямую и на ней две точки: получаем два луча и еще часть прямой, которую называем отрезком. Возникает вопрос: если точки как-либо передвигать по прямой (в одном ли направлении, или навстречу друг другу – безразлично), не появится ли тогда какой-либо особенности? На этот вопрос, после его рассмотрения, отвечаем отрицательно. Здесь возникает руководящая мысль для дальнейшего построения комбинаций: мы рассмотрели прямую и на ней две точки, рассмотрим теперь точку и через нее две прямых. Получаемая новая комбинация прежде всего представляет некоторую симметрию; поэтому является возможным рассмотреть более простую комбинацию: точку и из нее два луча. Мы называем эту комбинацию именем угол, и, подобно тому, как решали подобный вопрос при получении отрезка, рассматриваем: не получится ли чего-либо особенного, если лучи как-либо (в одном или противоположных направлениях – безразлично) вращать. Здесь мы приходим к заключению, что имеет место один особенный случай: два луча (стороны угла) составят в известный момент прямую линию. Таким образом мы приходим к понятию об особом угле (выпрямленный угол). Появляются также новые руководящие мысли, благодаря нашему стремлению к объектам какой-либо совокупности применять понятия: «равно», «больше», «меньше», «сумма и разность двух объектов». Чем дальше идет работа построения и изучения комбинаций, тем разнообразнее становятся руководящие мысли для построения новых комбинаций, тем больше появляется целей, достигнуть которых мы стремимся, строя все новые и новые комбинации. Все, что замечается интересного, запечатлевается нами в словесной форме в виде теорем.

Мои книги представляют собою лишь попытку построить курс геометрии в согласии с вышеизложенным взглядом; полное, до конца выдержанное развитие курса геометрии в согласии с этим взглядом крайне затрудняется тем обстоятельством, что мы все уже очень привыкли к традиционному курсу геометрии, представляющему собрание теорем, причем главное внимание обращается на их доказательство, а не на причину их возникновения.

Следствиями изложенного взгляда на предмет геометрии являются следующие положения:

1) Прежде всего надо уметь построить какую-либо комбинацию (фигуру), а потом уже следует изучать как саму полученную фигуру, так и вопросы, связанные с ее построением.

2) Понятия «угол», «треугольник», «параллелепипед» и т. п. получают вполне определенное толкование: каждое из них выражает собою определенную комбинацию точек, прямых линий и плоскостей.

Далее отсюда вытекает также объяснение того, что в моем курсе понятия о прямом угле, о перпендикуляре вводятся лишь тогда, когда постепенное развитие комбинаций привело к такой (ромб), что само собою оказались построенными и прямой угол и две взаимно перпендикулярные прямые.

Второе издание Геометрии на плоскости отчасти сохранило те особенности, какие имели место в первом издании (курс разделяется на «чистую геометрию» и «измерительную геометрию»; учение о пропорциональности прямолинейных отрезков опирается на общий признак равенства двух отношений: два отношения равны, если не существует числа, которое было бы больше одного из отношений и меньше другого; в курсе имеется статья о подобном расположении – гомотетии – фигур, о радикальной оси и о радикальном центре кругов, дано более широкое, чем это обычно делается, развитие ряда задач на построение кругов, проходящих через данные точки или касающихся данных прямых или кругов), отчасти несколько изменено.

Вот наиболее крупные изменения:

1) Признаки равенства треугольников выясняются, как следствия ряда упражнений на построение треугольников (пп. 36-49).

2) Изменен порядок начала измерительной геометрии: сначала (пп 161-179) дано учение об отношениях прямолинейных отрезков (оно получило также, сравнительно с 1-м изданием, большее развитие), а затем уже рассматривается вопрос об измерении прямолинейных отрезков, дуг одного круга, углов и площадей.

3) Учение об измерении длины и площади круга опирается, как и в 1-м издании, на возможность рассматривать круг, как правильный многоугольник с бесконечно большим числом сторон. Однако, теперь даны еще добавления, причем изложение первого издания несколько изменено, позволяющие вникнуть поглубже в сущность тех затруднений, какие имеют место при решении этих вопросов (пп. 274, 275, 281).

В III издании переработано начало курса (треугольники и параллельные прямые) и изложена иначе статься о средних линиях.

Н. Извольский.