Часть плоскости, ограниченная со всех сторон прямыми, называется фигурой.
Линия или совокупность отрезков, ограничивающих фигуру, называется периметром.
Фигуры разделяются на прямолинейные и криволинейные. Прямолинейная есть фигура, ограниченная только прямыми линиями. Криволинейная есть фигура, ограниченная одной или несколькими кривыми линиями.
Чертежи 71 и 72 представляют прямолинейные, а чертеж 73 криволинейную фигуры.
Из прямолинейных фигур заслуживают особого внимания многоугольники.
Многоугольником называется часть плоскости, ограниченная со всех сторон прямыми линиями.
Прямая линия, ограничивающая многоугольник, называется его стороной.
Точки пересечения сторон называются вершинами многоугольника.
Число углов многоугольника равно числу сторон.
По числу сторон многоугольники получают название четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник и т. д.
На чертеже 74 мы имеем пятиугольник ABCDE.
Периметр многоугольника есть совокупность всех его сторон.
Отрезки AB, BC, CD, DE, AE (черт. 74) будут сторонами, точки A, B, C, D, E вершинами многоугольника. При этих вершинах расположены внутренние углы многоугольника того же названия.
Угол, образуемый стороной многоугольника и продолжением другой смежной с ней, называется внешним углом многоугольника.
Внутренний угол многоугольника называется исходящим и входящим, смотря по тому, будет ли он меньше или больше двух прямых.
На чертеже 72 угол FAB есть исходящий, а EDC входящий угол многоугольника, ибо первый меньше, а второй больше двух прямых. Мы будем рассматривать только многоугольники с одними исходящими углами.
Всякая линия, соединяющая две вершины и проходящая внутри многоугольника, называется его диагональю.
Отрезки AC, AD (черт. 74) есть диагонали.
Из каждой вершины можно провести диагонали ко всем углам многоугольника кроме двух смежных.
Диагоналями многоугольник разбивается на треугольники.
Если n есть число сторон многоугольника, то число диагоналей, которые можно провести из какой-нибудь вершины, равно n - 3.
Число треугольников, на которые разбивается многоугольник диагоналями, проведенными из одной вершины, равно n - 2.
Теорема 47. Сумма всех внутренних углов многоугольника равна двум прямым, умноженным на число сторон без двух.
Доказательство. Многоугольник разбивается диагоналями, проведенными из какой-нибудь вершины на n - 2 треугольников. Сумма всех внутренних углов многоугольника равна сумме углов всех треугольников, на которые он разбивается.
Обозначив сумму всех внутренних углов многоугольника через S, имеем:
S = (n - 2) 2d или S = 2dn - 4d.
Сумма внутренних углов многоугольника равна двум прямым, умноженным на число сторон без четырех прямых.
Из этой формулы вытекает, что сумма углов четырехугольника равна 4d, пятиугольника 6d, шестиугольника 8d, семиугольника 10d и т. д.
Теорема 48. Сумма внешних углов многоугольника равна четырем прямым.
Доказательство. Продолжим все стороны многоугольника, имеющего n сторон, в одну сторону (черт. 75) и назовем внешние углы буквами α, β, γ и т. д.
Обозначив внутренние углы через A, B, C и т. д., имеем равенства:
A + α = 2d
B + β = 2d
C + γ = 2d
и т. д.
Сложив эти равенства, имеем:
A + B + C + … + α + β + γ + … = 2dn
Сумма внутренних углов будет
A + B + C + … = 2d(n - 2) = 2dn - 4d
следовательно,
2dn - 4d + α + β + γ + … = 2dn
откуда сумма внешних углов многоугольника будет
α + β + γ + … = 4d (ЧТД).
Четырехугольники
Четырехугольники получают различные названия, смотря по взаимному расположению их четырех сторон. Они называются трапециями, параллелограммами, ромбами, прямоугольниками, квадратами.
Трапеция есть такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а остальные две не параллельны между собой.
Четырехугольник ABCD (черт. 76) есть трапеция. У ней стороны AD и BC параллельны, а стороны AB и CD не параллельны.
Высота трапеции есть расстояние двух ее параллельных сторон. BH есть высота трапеции.
Параллелограмм есть четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны. Одна из сторон его называется основанием.
Высота параллелограмма есть расстояние основания от другой параллельной ему стороны, считаемое по перпендикуляру.
Четырехугольник ABCD есть параллелограмм (черт. 77, 78, 79, 80), ибо AB || CD и BC || AD. Сторона AD (черт. 77) будет основанием, а отрезок BE высотой параллелограмма.
Ромб есть параллелограмм, у которого все четыре стороны равны.
Четырехугольник ABCD (черт. 78 и 80) есть ромб, ибо у него AB || CD, AD || BC и в то же время AB = BC = CD = AD.
Прямоугольник есть параллелограмм, у которого все углы прямые.
Четырехугольник ABCD (черт. 79 и 80) есть прямоугольник, ибо у него AB || CD, BC || AD и углы равны A = B = C = D = d прямому углу.
Квадрат есть параллелограмм, у которого все углы и все стороны равны.
Квадрат есть одновременно и прямоугольник и ромб.
Четырехугольник ABCD (черт. 80) есть квадрат, ибо у него AB || CD, BC || AD, углы равны A = B = C = D = d и стороны AB = BC = DC = AD.
Теорема 49. В параллелограмме противоположные углы и стороны равны.
Дано. Четырехугольник ABCD есть параллелограмм, следовательно, AC || CD и BC || AD (черт. 81).
Требуется доказать, что
AB = CD, BC = AD, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D
Доказательство. Противоположные стороны равны как части параллельных между параллельными (теорема 43), следовательно,
AB = CD, AD = BC
Проведя диагональ BD, имеем два равных треугольника ABD и BCD, ибо BD сторона общая, AB = CD и AD = BC по доказанному.
Против общей стороны BD лежат равные углы, следовательно,
∠A = ∠C (ЧТД).
Равенство углов B и D доказывается аналогично (через диагональ AC).
Теорема 50 (обратная 49). Четырехугольник, у которого противоположные стороны равны, есть параллелограмм.
Дано. В четырехугольнике ABCD противоположные стороны равны (черт. 81)
AB = CD, BC = AD.
Требуется доказать, что AB || CD и BC || AD.
Доказательство. На основании теоремы 45 заключаем, что BC || AD и AB || CD, следовательно, четырехугольник ABCD есть параллелограмм (ЧТД).
Теорема 51. Диагонали параллелограмма пересекаются пополам.
Дано. Четырехугольник ABCD есть параллелограмм (черт. 82), следовательно, BC || AD, AB || CD и проведены диагонали AC и BD, которые пересекаются в точке O.
Требуется доказать, что AO = OC и BO = OD.
Доказательство. При точке O соприкасаются вершинами два равных треугольника BOC и AOD, ибо у них
BC = AD как равные противоположные стороны параллелограмма.
∠γ = ∠β (как накрест-лежащие углы от пересечения параллельных BC и AD прямой AC).
∠α = ∠δ (как накрест-лежащие от пересечения параллельных BC и AD прямой BD).
Против равных углов γ и β лежат равные стороны BO и OD, следовательно, точка O есть середина диагонали BD.
Против равных углов δ и α лежат равные стороны AO и OC, следовательно, точка O есть середина диагонали AC (ЧТД).
Теорема 52. Диагонали ромба перпендикулярны.
Дано. Параллелограмм ABCD (черт. 83) есть ромб, следовательно,
AB || CD, BC || AD и AB = BC = CD = AD.
Требуется доказать, что BD ⊥ AC.
Доказательство. Два треугольника ABO и BOC равны, ибо BO общая сторона, AB = BC по условию, AO = OC по предыдущей теореме (51), следовательно,
∠AOB = ∠BOC,
откуда вытекает, что ∠AOB как один из равных смежных есть прямой угол и потому BO ⊥ AO и BD ⊥ AC (ЧТД).
Теорема 53. Диагонали прямоугольника равны.
Дано. Параллелограмм ABCD есть прямоугольник (черт. 84), следовательно, AB = CD, BC = AD, и углы A, B, C, D прямые.
Требуется доказать, что BD = AC.
Доказательство. Треугольник ABD равен треугольнику ACD, ибо они оба прямоугольные треугольники и у них AD сторона общая.
AB = CD как противоположные стороны параллелограмма, следовательно, AC = BD.
Так как квадрат есть одновременно параллелограмм, ромб и прямоугольник, то диагонали квадрата пересекаются пополам, перпендикулярны и равны.
При помощи этих теорем легко может быть доказана следующая теорема.
Теорема 54. Перпендикуляры, опущенные из трех вершин треугольника на его стороны, встречаются в одной точке.
Дано. Отрезки AD, BE и CF перпендикулярны к сторонам треугольника ABC (черт. 85).
Требуется доказать, что они пересекаются в одной точке.
Доказательство. Проведем через вершины треугольника ABC прямые, параллельные его сторонам, так что
A'B' || AC, B'C' || BC, A'B' || AB,
и продолжим их до взаимного пересечения.
Четырехугольники AC'BC, AB'CB, ABA'C суть параллелограммы, ибо у них противоположные стороны параллельны, поэтому
AC' = CB и AB' = CB
откуда
AC' = AB'
следовательно, точка A есть середина BC'.
Подобным же образом можно доказать, что точка B есть середина отрезка A'C' и C середина отрезка A'B'.
Прямые AD, BE, CF как перпендикуляры, восставленные из середины сторон треугольника A'B'C', должны встретиться в одной точке (теорема 32) (ЧТД).