Теорема 111. 1) Перпендикуляр, опущенный из какой-нибудь точки окружности на диаметр, среднепропорционален между частями диаметра. Этот перпендикуляр называется иногда ординатой.
2) Хорда, соединяющая конец диаметра с точкой окружности, среднепропорциональна между диаметром и отрезком, прилежащем хорде.
Дано. Опустим из какой-нибудь точки C окружности перпендикуляр CD на диаметр AB (черт. 169).
Требуется доказать, что 1) AD/CD = CD/DB, а также 2) AD/AC = AC/AB.
Доказательство. Соединим точку C с концами диаметра AB, тогда при точке C образуется прямой угол ACB, в котором отрезок CD есть перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу.
На основании теоремы 100 имеет место пропорция:
AD/CD = CD/DB
на основании теоремы 101 пропорция:
AD/AC = AC/AB, DB/CB = CB/AB (1)
Следствие. Квадраты хорд относятся как соответствующие отрезки диаметра.
Доказательство. Из пропорции (1) следуют равенства:
откуда по разделении находим:
AC2/CB2 = AD/DB.
Теорема 112. Части пересекающихся хорд обратно пропорциональны между собой.
Даны две пересекающиеся хорды AB и CD (черт. 170).
Требуется доказать, что
BE/DE = CE/AE
т. е. большая часть первой хорды относится к большей части второй как меньшая часть второй хорды к меньшей части первой.
Доказательство. Соединим точку A с C и B с D, тогда образуются два подобных треугольника ACE и DBE, ибо углы при точке E равны как вертикальные, ∠CAB = ∠CDB как опирающиеся на концы дуги CB, ∠ACD = ∠ABD как опирающиеся на концы дуги AD.
Из подобия треугольников ACE и DBE вытекает пропорция:
BE/DE = CE/AE (a)
Из пропорции (a) вытекает равенство:
BE · AE = DE · CE
показывающее, что произведение отрезков одной равно произведению отрезков другой хорды.
Теорема 113. Две секущие, проведенные из одной и той же точки вне окружности, обратно пропорциональны внешним своим частям.
Даны две секущие AB и AC, проведенные из точки A (черт 171).
Требуется доказать, что
AC/AB = AD/AE
т. е. первая секущая относится ко второй, как внешняя часть второй относится к внешней части первой секущей.
Доказательство. Соединим точки D с C, а B с E.
Два треугольника ∠ABE и ∠ADC подобны, ибо угол A общий, B = C как опирающиеся на концы одной и той же дуги DE, следовательно и ∠ADC = ∠AEB.
Из подобия треугольников ADC и ABE вытекает пропорция:
AC/AB = AD/AE (ЧТД).
Из этой же пропорции вытекает равенство
AC · AE = AB · AD
показывающее, что произведение секущей на ее внешний отрезок равно произведению другой секущей на ее отрезок (если секущие выходят из одной точки).
Теорема 114. Касательная среднепропорциональна между целой секущей и внешней ее частью.
Дана касательная AB и секущая BC (черт. 172).
Требуется доказать, что
BC/AB = AB/BD.
Доказательство. Соединим точку A с точками C и D.
Треугольники ABC и ABD подобны, ибо угол B общий, ∠BAD = ∠ACD, следовательно, ∠CAB = ∠ADB.
Из подобия этих треугольников вытекает пропорция:
BC/AB = AB/BD (ЧТД).
Из этой пропорции вытекает равенство:
AB2 = BC · BD
показывающее, что квадрат касательной равен произведению секущей на внешнюю ее часть.
Свойство сторон вписанного четырехугольника
Теорема 115. Во всяком четырехугольнике, вписанном в круг, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.
Это предположение, известное под именем теоремы Птоломея, встречается в первый раз в сочинении Птоломея «Альагест» во II веке по Р. Х.
Дан вписанный четырехугольник ABCD (черт. 173) и проведены диагонали AC и BD.
Требуется доказать, что AC · BD = AB · CD + BC · AD.
Доказательство. Проведем прямую BE так, чтобы угол EBC равнялся углу ABD. Два треугольника ABD и BEC подобны, ибо ∠ABD = ∠CBE по построению, ∠ADB = ∠BCE как опирающиеся на одну и ту же дугу AB, следовательно,
∠BAD = ∠BEC
Из подобия этих треугольников вытекает пропорция:
BC/BD = EC/AD (a)
Треугольники ABE и BCD подобны, ибо ∠ABE = ∠DBC по построению, ∠BAE = ∠BDC как опирающиеся на дугу BC, следовательно,
∠BEA = ∠BCD.
Из подобия этих треугольников вытекает пропорция:
AB/BD = AE/CD (b)
Из пропорций (a) и (b) вытекают равенства:
BC · AD = BD · EC
AB · CD = BD · AE
Сложив эти равенства, имеем:
BC · AD + AB · CD = BD · EC + BD · AE = BD (EC + AE)
Так как EC + AE = AC, то
BD · AC = BC · AD + AB · CD (ЧТД).
Теорема 116. Во всяком вписанном четырехугольнике диагонали относятся как суммы произведений сторон, опирающихся на концы диагоналей.
Дан вписанный четырехугольник ABCD (черт. 174) и проведены диагонали AC и BD.
Требуется доказать, что
BD/AC = (AD · DC + AB · BC) / (BC · CD + AD · AB)
Доказательство. а) От точки B отложим дугу BE равную DC и соединим точку E с точками A, B, D.
Для вписанного четырехугольника ABED имеет место равенство:
AE · BD = AD · BE + AB · DE.
Так как BE = CD по построению, DE = BC, ибо ◡DE = ◡DC + ◡CE и ◡BC = ◡BE + ◡CE.
Заменив BE и DE их величинами, имеем равенство:
AE · BD = AD · CD + AB · BC (a)
b) Отложив от точки A дугу AF равную дуге BC и соединив точку F с точками A, D, C, имеем для четырехугольника AFCD равенство:
AC · DF = AF · CD + AD · CF
В этом равенстве AF = BC по построению, CF = AB (ибо ◡CF = ◡BC + ◡BF и ◡AB = ◡AF + ◡BF = ◡BC + ◡BF)
Заменяя величины AF и CF их величинами, найдем равенство:
AC · DF = BC · CD + AD · AB (b)
В равенствах (a) и (b) отрезки AE и DF равны, ибо
◡ADE = AD + DE = ◡AD + ◡BC = ◡AD + ◡AF = ◡DAF
Разделяя равенства (a) и (b), находим:
BC/AD = (AD · CD + AB · BC) / (BC · CD + AD · AB) (ЧТД).