О взгляде на геометрию, как на логическую систему

В основу построения методики геометрии должно прежде всего положить определенный взгляд на самый предмет геометрии – руководящий взгляд: исходя из него, явится возможным установить и основные пункты методики; опираясь на него, можно развить и детальный план обучения в каждой школе; в нем можно найти указания и на те средства, которыми должно пользоваться для развития геометрического содержания курса; он, наконец, явится опорою для преподавателя во время его работы в классе.

Уже благодаря «Началам» Евклида, составился взгляд на геометрию, как на логическую систему, в основе которой заложен ряд постулатов, а содержание которой состоит из ряда предложений (теорем), выводимых из основных постулатов и из предыдущих предложений средствами формальной логики. За последнее время ряд работ в этом направлении привел к построению нескольких систем. Одна из таких систем построена Д. Гильбертом в его знаменитых «Grundlagen der Geometrie». Уже самое начало этой книги («мы мыслим три различных системы объектов: объекты первой системы мы называем точками …, второй – прямыми … и третьей – плоскостями») ясно выражает желание автора отказаться от всякого образного представления этих «объектов» трех систем и свести все дело к формальной логике. Вопросы: удалось ли это? И может ли вообще это удаться? – остаются открытыми. И в сочинении Анри Пуанкаре (см. русский перевод: Г. Пуанкаре – «Наука и метод») можно найти выражение больших сомнений в возможности выполнения такой задачи. Вот выписка из «Науки и метод»: «Он (Гильберт) хотел довести до minimum'а число основных аксиом геометрии и перечислить их все без остатка. Но в тех суждениях, в которых наш ум обнаруживает активность, в которых интуиция еще играет роль, трудно отделаться от внесения постулата или аксиомы, которые незаметно входят в суждение. Лишь в случае, если бы все геометрические суждения приняли чисто-механическую форму, Гильберт мог бы быть уверенным в том, что он исполнил свое намерение и успешно закончил свою задачу». Остановимся на одном месте этой выписки: «трудно отделаться от постулата или аксиомы, которые незаметно входят в суждение». И сразу же, с первых слов книги Гильберта, выясняется та почва, где такое внесение может иметь место. «Мы мыслим три системы объектов: объекты первой называются точками и обозначаются буквами A, B, C... и т. д.» Раз мы мыслим, то уже значит, что мы признаем их существование, независимо от всего дальнейшего, что имеет место в книге Гильберта. Уже это обстоятельство позволяет думать, что здесь имеет место интуиция, и она не может не отразиться на всем последующем. А далее: мы мыслим три системы объектов – стало быть, мы умеем как-то различать объекты одной системы от объектов другой, от объектов третьей. Так как дальнейшее развитие геометрии Гильберта все время отделяет объекты этих трех систем, то еще более усиливается уверенность, что Гильберт опирается в развитии содержания своей геометрии не только на свои постулаты, но и на нечто иное, что позволяет ему отличать объекты разных систем. Это «нечто иное», конечно, сводится к интуиции и является тою почвою, на которой нельзя обойтись без внесения неуловимых новых постулатов и аксиом, и, может быть, их число бесконечно велико.

Однако, задача сведения всего содержания геометрии в логическую систему может быть поставлена и до тех пор, пока не будет доказано, что число постулатов, нужных для этого, бесконечно велико (Анри Пуанкаре делает в этом направлении некоторые, но еще не достаточные шаги); работа в этом направлении должна быть признана имеющей право на существование, и эта работа должна быть полна интереса для тех специалистов-математиков, которые 1) верят в конечность числа аксиом, нужных для формального обоснования геометрии и 2) работают именно в этом направлении. Но не является ли преступлением по отношению к тем молодым математическим силам, которые хотят работать в ином, более материальном, направлении, заставлять их штудировать ряды томов, посвященных этим схоластико-формальным изысканиям? А еще большим преступлением явится введение такого направления геометрии в школу, хотя бы даже в старшие классы средней школы. Нет, с таким взглядом педагогу делать нечего и направлять им дело обучения геометрии он не может и не должен.

А на всякие возражения против предыдущих соображений для математика-педагога есть еще один аргумент: пусть система Гильберта безукоризненна, пусть, если это не удалось Гильберту или Веронезе, удастся в будущем кому-либо другому построить безукоризненную логическую систему геометрии, но все же должно признать, что такая работа есть работа лишь по приведению в систему геометрических знаний, но приобретение этих знаний ведь совершалось иным путем, где и интуиция и логика играли равноправные роли лишь орудий для изысканий, но ни одно из них не являлось целью. И обучение геометрии должно идти по тому пути, по которому шло накопление геометрических знаний, а не по тому пути, на который вступили желающие привести эти знания в формально логическую систему.