Параллелограммы

Построение параллельных прямых дает нам 3 прямых: 2 параллельных и одну секущую (чер. 44).

Попарно параллельные прямые

Возникает мысль усложнить фигуру: построить еще 4-ую прямую, параллельную секущей, – получим параллелограмм (чер. 45).
Учащиеся должны практиковаться и в построении и в рисовании от руки параллелограммов различной формы.

Изучаем полученную фигуру (параллелограмм). Сначала обращаем внимание на углы. Учащиеся должны видеть, что ∠1 = ∠3 (при помощи ∠5), что ∠2 = ∠4 (при помощи, напр. ∠6), что ∠1 + ∠2 = выпрямл. углу, ∠1 + ∠4 = выпрямл. углу и т. д.

У параллелограмма 4 вершины и 4 стороны, на каждой прямой определяется отрезок, который также называется стороною. Если обращаем внимание только на эти отрезки и на внутренние углы (внутри которых лежит площадь параллелограмма), то удобно изображать параллелограммы в виде (чер. 46).

Параллелограммы

Дальнейшее изучение параллелограммов начинается с соображения: у параллелограмма 4 вершины, сколько прямых определяется этими четырьмя точками? (Аналогичный жизненный вопрос: четверо встретились и обменялись рукопожатиями, сколько вышло рукопожатий?). Когда выяснится, что 6 прямых, то надо построить 2 недостающих. Получим фигуру, изображенную на чер. 47.

Треугольники в параллелограмме

Получились знакомые фигуры – треугольники. На вопрос, сколько здесь вы видите треугольников, учащиеся часто отвечают: «4». И только некоторые, более наблюдательные, видят здесь больше 4-х треугольников. Наконец, выясняется, что здесь 8 треугольников: 4 «больших» и 4 «малых». Обращаем внимание сначала на «большие» и ставим вопрос: нет ли среди них равных? Учащиеся, нарисовав от руки несколько различных параллелограммов, подмечают непосредственно, что вероятно соседние большие треугольники равны (ABD и DBC). Выясняется справедливость или несправедливость этого «подозрения». Оказывается, что в ∆ABD и ∆DBC общая сторона BD и заведомо равны попарно углы, к ней прилежащие, – этого достаточно, чтобы быть убежденным в равенстве треугольников. Отсюда получаем свойство параллелограмма, что его противоположные стороны равны.

Построение параллелограмма

Это свойство зарождает мысль о новом, более удобном построении параллелограмма (чер. 48). Строим произвольно 3 вершины параллелограмма – A, B и C – и строим заранее 2 его стороны AB и AC. Остается найти четвертую вершину. Так как сторона, идущая из B ║ AC, должна быть равна AC, то строим, принимая B за центр и AC за радиус, круг (или только дугу); также, принимая C за центр и AB за радиус, строим другой круг (или дугу). Из двух точек пересечения кругов выберем ту, чтобы, после соединения ее с B и C, выделился один кусок плоскости.

Пусть эта точка есть точка D. Тогда, соединив ее с B и C, получим параллелограмм. Само построение, в соединении со свойством сторон параллелограмма, дает уверенность в том, что действительно получился параллелограмм. Однако, возможно сделать и проверку. Последняя ясна из следующей схемы:

Мы знаем: 1) BD = AC, 2) CD = AB (так строили).

Параллельны ли между собою BD и AC? А также CD и AB? Построив диагональ BC и рассмотрев полученные треугольники, приходим к утвердительному ответу на поставленный вопрос.

Построение параллелограмма по трем вершинам

Очень интересно поставить на очередь общую задачу: «построить параллелограмм по трем данным вершинам» (чер. 49). Эта задача имеет 3 решения. Получаемая фигура дает возможность видеть: 1) можно получить треугольники (∆MNP и ∆ABC или ∆AMB), чтобы стороны одного были в 2 раза каждая больше стороны другого, – в таком случае площадь одного в 4 раза больше площади другого; 2) можно видеть свойства средней линии треугольника. Исследование (и построение) этой фигуры является интересным для учащихся материалом целого урока.

Очень хорошо также (это нужно для дальнейшего) сообщить учащимся и такой способ построения параллелограмма (чер. 50): строим 2 параллельных прямых, на них 2 равных отрезка и концы этих отрезков соединяем так, чтобы выделить определенную площадь.

Построение параллелограмма по двум параллельным прямым

Переходим с учащимися, затем к рассмотрению малых треугольников, получаемых у параллелограмма.

Здесь мы впервые встречаемся со случаем деления отрезка пополам. Когда учащиеся это увидят, то для них возникнет задача: разделить данный отрезок пополам.

Решение этой задачи основывается на соображении (чер. 51): данный отрезок AB должен представлять собою диагональ параллелограмма; две противоположные вершины этого параллелограмма суть A и B; третью вершину C возьмем произвольно и построим при помощи кругов четвертую вершину D (чтобы AD = CB и BD = AC). Тогда диагональ CD должна разделить пополам диагональ AB.

Ромб

Более внимательное изучение параллелограмма (однако, его очень трудно провести с учащимися, лишь начинающими учиться геометрии, и предпочтительнее отложить на дополнительный курс) позволит увидеть происхождение (а, следовательно, и решение) задач (чер. 52): 1) дан угол (∠KAL) и точка внутри его (точка M) – построить через эту точку прямую так, чтобы ее отрезок между сторонами угла делился в этой точке пополам. 2) Дан угол (∠LAN) и точка вне его (точ. D); построить через эту точку прямую так, чтобы ее отрезок, заключенный между сторонами угла, равнялся отрезку от этой точки до ближайшей стороны угла.
Упражнения в делении отрезка пополам приводят к мысли о возможности упрощения этого построения: приходится строить 2 круга разными радиусами, – нельзя ли пристроить к данному отрезку параллелограмм только при помощи одного растворения циркуля? Ответ на этот вопрос приводит к особенному параллелограмму (ромб), у которого все стороны равны (чер. 53).

Построение ромба

Заметим также, что упражнения в делении отрезка пополам должно вести так, чтобы стороны параллелограмма (или ромба), пристраиваемого к отрезку, не рисовались учащимися, а лишь показывались, а начертить необходимо лишь вторую диагональ.

Раз получен особый параллелограмм – ромб (чер. 54), то возникает вопрос, нет ли у него особенностей, как-либо отличающих его от обычного параллелограмма. Учащиеся подмечают, что, вероятно, у ромба все 4 маленьких треугольника равны. Следует выяснить, что новым в этом предварительном наблюдении является лишь равенство соседних маленьких треугольников (противоположные ведь равны у всякого параллелограмма). Делаем проверку: действительно оказывается, напр. у ∆AOB и ∆OBC, что их стороны заведомо попарно равны. Предварительно наблюдение оправдалось. Отсюда заключаем, что и углы у этих соседних треугольников попарно равны: 1) ∠1 = ∠4, но это равенство ничего нового не дает, так как оно выражает знакомое свойство углов при основании в равнобедренном треугольнике (∆ABC равнобедренный). 2) ∠2 = ∠5. Это обстоятельство дает нечто новое: ∠ABC («весь» ∠B) ромба разделился пополам. Отсюда возникает задача: дан какой-нибудь угол; разделить его пополам. Решение задачи ясно из сравнения данного угла с ромбом: надо к данному углу пристроить ромб так, чтобы вершина угла служила бы одною вершиною ромба и чтобы две стороны ромба шли по сторонам данного угла. Таких ромбов пристроить к углу можно сколь-угодно много, и они будут отличаться друг от друга размерами своих сторон. Взяв за сторону ромба произвольный отрезок (определяемый концами раздвинутых ножек циркуля, подготовленного к построению ромба), мы этот ромб легко пристроим к углу: сначала на сторонах угла определяем еще 2 вершины ромба и, наконец, построением соответствующих дуг определяем и 4-ую вершину; сторон ромба строить нет надобности (но учащиеся должны их показывать), а надо построить ту его диагональ, которая идет из вершины данного угла. 3) ∠3 = ∠6 (продолжаем изучать соседние малые треугольники). Это равенство также дает новое, а именно: мы видим, что выпрямленный ∠AOC разделился пополам. Вводим термины «прямой» угол (половина выпрямленного угла) и «перпендикулярные» прямые. Является возможность поставить на очередь задачи: 1) построить прямой угол и 2) построить 2 перпендикулярных прямых. Последняя задача развертывается в две: 1) дана прямая и точка на ней, построить через эту точку перпендикуляр к данной прямой и 2) дана прямая и точка вне ее; построить через эту точку перпендикуляр к данной прямой. Подробности того, как провести эти построения с учащимися, пропускаем, так как в них легко ориентироваться в связи с тем, что было дано здесь по поводу предыдущих построений.

Раз получен еще особый угол, прямой, то возникает потребность строить особые и треугольники и параллелограммы, а именно – с прямыми углами. Здесь является возможным более подробное изучение прямоугольных треугольников: 1) как упрощаются общие признаки равенства для прямоугольных треугольников, 2) какие еще признаки равенства удобно ввести для прямоугольных треугольников.

Построив параллелограмм так, чтобы у него один угол был прямой, мы приходим к заключению, что все его углы прямые и переходим к изучению прямоугольники (все 4 «больших» треугольника равны), а затем и квадрата.

Соединение понятия о прямом угле с равносторонним треугольником дает возможность делить прямой угол на 3 равных части, а затем получать углы, равные Части углов и т. п. Можно к этому присоединить упражнения в вычислении 3-го угла треугольника по двум данным.