Сложение и вычитание алгебраических дробей

Мы знаем, что сложение и вычитание арифметических дробей с одинаковыми знаменателями сводится к сложению и вычитанию их числителей, а знаменатель остается тот же самый. Распространяется ли это на алгебраические дроби? Другими словами, будет ли справедливо равенство:

Сложение и вычитание алгебраических дробей,

какие бы числа a, b, c и n ни были (целые или дробные, положительные или отрицательные)?

Ответ на этот вопрос легко получится, если вспомнить деление многочлена на одночлен: мы знаем, что

(a + b – c) ÷ n = a ÷ n + b ÷ n – c ÷ n

или

Сложение и вычитание алгебраических дробей;

написав это равенство в обратном порядке, получим:

Сложение и вычитание алгебраических дробей,

откуда и получим вывод, что сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями выполняется так же, как и сложение и вычитание арифметических дробей, т.е. складываются или вычитаются числители, а знаменатель остается неизменным.

Примеры:

Примеры сложения и вычитания алгебраических дробей

[Здесь мы сразу пишем числителя без скобок, т. е. вместо (3x – 2y) – (2x + 5y) + (7 – x) пишем тот многочлен, который получится после раскрытия скобок].

Выполнив затем в числителе приведение подобных членов, мы увидим, что все члены взаимно уничтожаются, и в числителе получается нуль, т. е. в результате получим 0/(ab). Так как при делении нуля на любое число получается нуль, то и окончательный результат = 0, т. е.

Уравнение с алгебраической дробью.

Если алгебраические дроби имеют различных знаменателей, то, для выполнения их сложения и вычитания, их надо предварительно привести к общему знаменателю. Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю выполняется так же, как и для арифметических дробей: надо разложить знаменателей дробей, если это еще не сделано, на множители, при помощи этих множителей надо найти общее наим. кратное (это название здесь имеет условный смысл) для знаменателей всех данных дробей (найти общего знаменателя) и затем надо, пользуясь основным свойством дробей, умножить числителя и знаменателя каждой дроби на одно и то же число, выбранное так, чтобы получился у этой дроби нужный нам и уже найденный общий знаменатель.

 

Примеры сложения и вычитания алгебраических дробей

Примеры сложения и вычитания алгебраических дробей

Примеры сложения и вычитания алгебраических дробей

Примеры сложения и вычитания алгебраических дробей

Примеры сложения и вычитания алгебраических дробей

Примеры сложения и вычитания алгебраических дробей