65. Упрощение уравнений. Общий вид уравнения 1-ой степени с тремя неизвестными. В предыдущих примерах мы брали уравнения уже упрощенные, причем все неизвестные члены были перенесены в левую часть, а известный член в правую. Мы легко установим теперь общий вид уравнения первой степени с тремя неизвестными, - это есть уравнение:
ax + by + cz = m.
Давая a, b, c и m различные значения, мы получим всевозможные уравнения с тремя неизвестными.
Если уравнения даны в сложной форме (со скобками, с дробями и т. п.), то следует каждое из них упростить, причем следует стремиться привести их к форме, которая дана выше, к общему виду.
Пример:
(x – z – 4y)/3 – 1 = (6 – 7y – z) / 5
(x – 1) / (2z – y) = 2/3
(1 – x – 2y) / 16 = (x + 2z – 2) / 12.
Упростим сначала 1-ое уравнение, для чего умножим обе его части на общего знаменателя 15, - получим:
5x – 5z – 20y – 15 = 18 – 21y – 3z.
Перенеся неизвестные члены влево, известные вправо и выполнив приведение подобных членов, получим:
5x + y – 2z = 33.
Упростим теперь второе уравнение для чего воспользуемся свойством пропорции: «произведение крайних членов пропорции равно произведению средних»:
3x – 3 = 4z – 2y
откуда
3x + 2y – 4z = 3.
Для упрощения 3-го уравнения не будем пользоваться свойством пропорции (в виду того, что у знаменателей 16 и 12 имеется общий множитель 4), а умножим обе части уравнения на общего знаменателя 48. Получим:
3 (1 – x – 2y) = 4 (x + 2z – 2)
или
3 – 3x – 6y = 4x + 8z – 8
или
7x + 6y + 8z = 11.
Итак, мы получили уравнения:
5x + y – 2z = 33
3x + 2y – 4z = 3
7x + 6y + 8z = 11.
Наблюдая их, мы подметим, что если применить способ уравнивания коэффициентов, то можно сразу из 1-го и 2-го уравнения исключить и y и z (уравнивая, например, коэффициенты при y, мы уравняем их и при z). Поэтому составим следующий план для решения наших уравнений: 1) возьмем 1-ое и 2-ое уравнения и, исключив из них и y и z, получим 1 уравнение с одним неизвестным x, откуда и определим x; 2) подставим полученное значение x – a в одно из первых двух уравнений (лучше в 1-ое – оно проще) и в третье, - тогда получим 2 уравнения с двумя неизвестными, которые и решим