Разложение на множители

38. Рассматривая, напр., многочлен

3a + 3b – 3c,

мы можем подметить, что в каждом его члене есть множитель 3 (полнее: +3), и, вспоминая умножение многочлена на одночлен, заключим, что этот многочлен можно рассматривать, как произведение многочлена (a + b – c) на число 3, т. е.

3a + 3b – 3c = 3 ∙ (a + b – c).

Также точно:

ma + mb – mc = m ∙ (a + b – c).

Мы видим, что, напр., многочлен ma + mb – mc оказался разложенным на 2 множителя; один m и другой (a + b – c). Так как m входило множителем в каждый член данного многочлена ma + mb – mc, то m является общим множителем всех членов данного многочлена. Полученный результат, т. е.

m ∙ (a + b – c)

мы можем истолковать так: общий множитель m всех членов многочлена вынесен за скобку.

Итак, мы можем иногда раскладывать многочлен на множители при помощи приема, называемого «вынесением общего множителя за скобку».

Еще примеры:

1) 2abc – abd – ab;

мы видим, что у всех членов имеется общий множитель a и общий множитель b. Соединив их в один одночлен, мы скажем, что у всех членов есть общий множитель ab. Его можно вынести за скобку. Напишем пока:

2abc – abd – ab = ab. (.. ..)

Рассматривая эту запись, мы видим, что здесь известны: произведение двух множителей (2abc – abd – ab) и один из них (ab), а надо найти другой, а именно тот, который должен быть написан в скобках. По данному произведению и по одному данному множителю другой множитель узнается делением, т. е. для того, чтобы узнать, что надо писать внутри скобок, надо 2abc – abd – ab разделить на ab. Получим 1) 2abc ÷ ab = 2c, 2) –abd ÷ ab = –d и 3) –ab ÷ ab = –1. Итак,

2abc – abd – ab = ab (2c – d – 1).

2) 3abc – 6abcx – 9abcx² = 3abc (1 – 2x – 3x²)

(не забудем, что надо выполнить деление, чтобы узнать, что писать внутри скобок).

3) a3 + a4 + a5 + a6

Рассматривая этот многочлен, мы можем считать, что у всех его членов есть общий множитель a ∙ a ∙ a или a3 (для этого стоит лишь написать этот многочлен подробно: aaa + aaaa + aaaaa + aaaaaa). Вынесем этот множитель за скобки и делением узнаем, что следует писать внутри скобок – получим:

a3 + a4 + a5 + a6 = a3 (1 + a + a2 + a3).

Из этого примера заключим, что если какая-либо буква входит множителем в члены многочлена в различных степенях, то за скобку вынести меньшую из этих степеней.

3) 3x5 – 6x4 = 3x4 (x – 2)

4) 4a3b5 – 6a3b4 + 2a3b3 = (2b2 – 3b + 1) 2a3b3

(здесь общий множитель 2a3b3, выносимый за скобку, написан после скобок).

5) –15x2y4 + 35x3y3 – 20xy5 = (7x2 – 3xy – 4y2) 5xy3

(здесь внутри скобок члены переставлены: сперва написан член с положительным коэффициентом).

Можно было бы в последнем примере вынести за скобку не множитель 5xy3, а множитель –5xy3, – получим:

–15x2y4 + 35x3y3 – 20xy5 = –5xy3 (3xy – 7x2 + 4y2).

Иногда выносят за скобки и такой множитель, что его уже нельзя назвать общим, благодаря чему в скобках получаются дроби. Во всяком случае, тот многочлен, который должно писать внутри скобок, узнается делением. Напр.:

Вынесение дробного общего множителя за скобку

Иногда случается, что во всех членах многочлена имеется общий многочленный множитель, напр.:

a (x – y) + b (x – y) + c (x – y);

здесь общий множитель каждого из трех членов есть многочлен (x – y) – его можно вынести за скобку, и след.,

a (x – y) + b (x – y) + c (x – y) = (x – y) (a + b + c).

Вот более сложный пример:

a² (x – 1)³ – 2bx (x – 1)² – 3c (x – 1) = (x – 1) [a² (x – 1)² – 2bx (x – 1) – 3c].

Иногда приходится, чтобы получить общий множитель у всех членов многочлена, соединять несколько его членов в один:

a (x² + x + 1) + x² + x + 1

– здесь мы имеем многочлен о четырех членах [первый член есть a (x² + x + 1), второй x² и т. д.]; соединим последние 3 члена в один:

a (x² + x + 1) + (x² + x + 1);

тогда наш четырехчлен обратиться в двучлен, причем у обоих его членов есть общий множитель (x² + x + 1), – поэтому:

a (x² + x + 1) + (x² + x + 1) = (a + 1) (x² + x + 1)

Здесь пришлось 3 последних члена данного четырехчлена заменить одним, для чего эти 3 последних члена были заключены в скобки со знаком + перед ними, но иногда приходится заключать, что той же цели – получения общего множителя, несколько членов многочлена в скобки со знаком – перед ними (см. пп. 22 и 26):

a (a – b) – a + b = a (a – b) – (a – b) = (a – b) (a – 1)
a – a² – 1 + 3a (a² – a + 1) = –(a² – a + 1) + 3a (a² – a + 1) = (a² – a + 1) (3a – 1).