Применение уравнений

69. Нахождение особенностей чисел, входящих в уравнения. Поясним примером то, что составляет предмет этого п.

Пусть имеем уравнение с двумя неизвестными:

4x – 3y = 0.

Это уравнение, как известно, имеем бесконечно много решений (одному из неизвестных можно давать произвольные значения и всякий раз вычислять другое неизвестное). Однако, эти числа, находимые для x и y, обладают одною особенностью, благодаря тому, что известный член нашего уравнения равен нулю. Перенесем член 3y вправо и разделим обе части уравнения на 4y. Получим:

1) 4x = 3y и 2) x/y = ¾.

Этот результат показывает, что отношение числа x к числу y всегда постоянно и равно ¾, какое бы решение нашего уравнения мы ни взяли.

Если мы возьмем уравнение с двумя неизвестными в общем виде

ax + by = m

то мы придем к заключению: если известный член m = 0, то отношение переменных x и y постоянно и его можно определить:

из уравнения ax + by = 0 получим by = – ax
и x/y = –a/b

Также точно, если мы имеем 2 уравнения с тремя неизвестными, причем известные члены этих уравнений суть нули, то, хотя эти уравнения имеют бесконечное множество решений, отношение двух каких-либо переменных постоянно и может быть легко вычислено. В самом деле, пусть имеем уравнения:

Решение уравнений

Предоставим учащимся самим решить следующие вопросы:

1. Какою особенностью должно обладать уравнение ax + by = m, чтобы сумма переменных x и y оставалась постоянна и эту сумму можно было бы вычислить?

2. Какою особенностью должно обладать уравнение ax + by = m, чтобы разность переменных x и y оставалась постоянною и ее можно было бы вычислить?

3. Какими особенностями должны обладать уравнения ax + by = m и cy + dz = n, чтобы сумма переменных x, y и z оставалась постоянною и ее можно было бы вычислить? Составить несколько примеров, подходящих к этому случаю (один из них: 7x + 3y = 11 и 4y + 7z = 1).

4. Из уравнений

100x + 10y + z = a
100z + 10y + x = b
(a и b — известные числа).

Определить разность чисел x и z. Во сколько раз разность чисел x и z меньше разности чисел a и b?

Рассмотрим еще несколько примеров более сложных.

1. Под влиянием примера 2 + 2 = 2 · 2 может возникнуть вопрос: нельзя ли еще, кроме 2 и 2, найти пару чисел, чтобы их сумма равнялась произведению, т. е., чтобы

x + y = xy.

Разделив обе части этого уравнения на x · y, получим:

1/y + 1/x = 1.

Отсюда можно сделать вывод: если мы нашли два таких числа, что их сумма равна их произведению, то сумма чисел, им обратных, равна единице. (Числом, обратным числу a, называется число 1/a. Так, числу 5 обратно число 1/5, числу ¾ обратно число 4/3, числу ¼ обратно число 4 (1 : ¼ = 4) и т. д.) Наоборот (так как из последнего уравнения легко получить первое): возьмем два числа, сумма которых равна единице, – тогда сумма чисел им обратных равна их произведению.

Легко находить числа, сумма которых равна единице; взяв числа, им обратные, получим пару чисел, сумма которых равна их произведению.

Так:

1/3 + 2/3 = 1; след., 3 + 3/2 = 3 · 3/2
2/5 + 3/5 = 1; след., 5/2 + 5/3 = 5/2 · 5/3
и т. д.

Рекомендуется подобным же образом рассмотреть вопрос о нахождении чисел, разность которых равна их произведению.

2. Из арифметики известно, что от прибавления к числителю и знаменателю правильной дроби по одинаковому числу эта дробь увеличивается. Например, 5/8 прибавим по 2 к числителю и знаменателю, получим 7/10. Эта дробь больше прежней, потому что в ней не хватает 3/10 до 1, а в прежней не хватало 3/8 до 1. Так как 3/10 < 3/8, то 7/10 > 5/8. Под влиянием этих сведений может возникнуть вопрос: по какому числу надо прибавить к числителю и знаменателю правильной дроби, чтобы дробь увеличилась в 2 раза?

Получим уравнение:

(x + z)/(y + z) = 2x/y.

Отсюда

xy + yz = 2xy + 2xz

или

xy = z(y – 2x)      (1)

Отсюда можно определить z через x и y, но мы, не имея этого в виду, разделим обе части уравнения на xyz; получим:

1/z = 1/x – 2/y      (2)

Далее может возникнуть вопрос: по какому числу надо прибавить к числителю и знаменателю, чтобы данная дробь утроилась? Чтобы данная дробь учетверилась? и т. д.

Получим сначала уравнение:

(x + t) / (y + t) = 3x/y.

Отсюда

xy + yt = 3xy + 3xt

или

2xy = t (y – 3x)      (3)

Разделим обе части уравнения на xyt, получим:

Решение уравнений

Отсюда можно вывести свойство тех чисел z, t, u, v, …, которые увеличивают дробь x/y соответственно в 2, в 3, в 4, в 5 и т. д. раз, если эти числа прибавить к числителю и знаменателю дроби x/y. Это свойство таково: если возьмем числа, обратные соответственно самому числу z, половине числа t, одной трети числа u, одной четверти числа v и т. д., то эти обратные числа идут, уменьшаясь всякий раз на число, обратное знаменателю данной дроби.

Заметим, что если мы хотим иметь дело только с положительными числами, как в арифметике, то для удвоения этим способом дроби необходимо, чтобы знаменатель y был больше удвоенного числителя x [из уравнения (1) видно, что для этого необходимо, чтобы было y > 2x], для утроения — надо, чтобы знаменатель y был больше утроенного числителя [из уравнения (3) видим, что нужно для этого, чтобы было y > 3x], для увеличения в 4 раза — надо, чтобы знаменатель y был больше учетверенного числителя и т. д.

Рассмотрим пример. Возьмем дробь 3/31.

При помощи уравнения (1) вычислим z:

Решение уравнений