Случаи деления многочленов

Прежде всего нам ясно, что (a – b) ÷ (a – b) = 1. Мы можем записать это и так: (a1 – b1) ÷ (a – b) = 1. Рассмотрим теперь деление (a2 – b2) также на (a – b). Мы знаем, что (a + b) (a – b) = a2 – b2. Отсюда мы заключаем, что (a2 – b2) ÷ (a – b) = a + b. Выполним затем еще ряд делений:

Деление разности многочленов

Соединяя все эти примеры вместе, получим:

(a1 – b1) ÷ (a – b) = 1
(a2 – b2) ÷ (a – b) = a + b
(a3 – b3) ÷ (a – b) = a2 + ab + b2
(a4 – b4) ÷ (a – b) = a3 + a2b + ab2 + b3

Нам становится после этого ясным, что мы можем этот ряд продолжить и написать частное сразу, не выполняя самого деления: мы сообразим, руководясь предыдущим, что при делении (a5 – b5) на (a – b) получится в частном 5 членов, из них 1-й должен быть a4, следующий a3b и т. д., причем степень буквы a всякий раз понижается на 1, а степень буквы b повышается на 1, – последний член должен быть b4, т. е.

(a5 – b5) ÷ (a – b) = a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4,

также и дальше

(a6 – b6) ÷ (a – b) = a5 + a4b + a3b3 + a2b3 + ab4+ b5

Все эти упражнения позволяют нам сделать общее заключение:

разность любых одинаковых степеней двух чисел делится на разность этих чисел без остатка, причем частное составляется по определенному закону.

Мы можем под влиянием этих примеров попытаться разобрать ряды делений, аналогичных предыдущим. Напр.: (a + b) ÷ (a + b); (a2 + b2) ÷ (a + b); (a3 + b3) ÷ (a + b); (a4 + b4) ÷ (a + b) и т. д. Прежде всего очевидно

(a1 + b1) ÷ (a + b) = 1.

Дальнейшие примеры должно проделать:

Деление суммы многочленов

Соединив эти примеры, получим:

Деление суммы многочленов

Мы также замечаем, что теперь возможно продолжить эти деления, причем результат мы можем написать сразу, не выполняя самого деления:

Деление многочленов

Мы можем сделать, ясное для нас, заключение:
сумма нечетных одинаковых степеней двух чисел делится без остатка на сумму этих чисел, причем частное составляется по определенному закону; сумма же одинаковых четных степеней двух чисел не делится без остатка на сумму этих чисел.

Также точно мы еще получим:

Деление многочленов

т. е. разность одинаковых четных степеней двух чисел делится на сумму этих чисел без остатка, а разность одинаковых нечетных степеней не делится.

Также:

Деление многочленов

т. е. сумма любых одинаковых степеней двух чисел не делится без остатка на разность этих чисел.