Три уравнения с тремя неизвестными

64. Три уравнения с тремя неизвестными. Пусть теперь требуется решить совместно 3 уравнения с тремя неизвестными:

3x + 2y – 5z = 8
x + 3y – 2z = 9
4x + 5y – 6z = 26.

Вспоминая все предыдущее, мы уже заранее вправе думать, что здесь произвольные значения ни одному из неизвестных давать нельзя и что здесь найдем единственное решение (по одному числу для каждого неизвестного).

При этом для нас уже намечен путь, как этого достигнуть. В предыдущем п. мы научились из двух уравнений с тремя неизвестными определять два неизвестных через третье. Выберем из наших трех уравнений те два, которые кажутся нам наиболее простыми, напр., 1-е и 2-ое:

3x + 2y – 5z = 8
x + 3y – 2z = 9

и из них определим x и y через z

Определение одних переменных через другие

Подставим теперь полученные выражения для x – a и для y – a в третье уравнение, - получим:

(4(6 + 11z)) / 7 + (5(19 + z)) / 7 – 6z = 26

т. е. получили одно уравнение с одним неизвестным z, которое умеем решить. Сначала освободим его от дробей, для чего обе части его умножим на 7.

4(6 + 11z) + 5(19 + z) – 42z = 182.

Раскроем скобки

24 + 44z + 95 + 5z – 42z = 182.

Перенесем известные члены вправо и сделаем приведение подобных членов:

7z = 63, откуда z = 9.

Теперь из формул (1) и (2) получим:

x = (6 + 11 · 9) / 7 = 15 и y = (19 + 9) / 7 = 4.

Еще пример:

2x + 3y = 11
5y + 2z = 3
4z + 3x = 66

Определим из первых двух уравнений 2 неизвестных через третье: мы именно видим, что можно из первого уравнения определить x через y и из второго определить z через y:

x = (11 – 3y) / 2 и z = (3 – 5y) / 2.

Подставим полученные выражения в третье уравнение на место z и x:

(4(3 – 5y)) / 2 + (3(11 – 3y)) / 2 = 66.

Отсюда получим:

4(3 – 5y) + 3(11 – 3y) = 132

или

12 – 20y + 33 – 9y = 132

или

–29y = 87,

откуда

y = –3.

Тогда

x = (11 – 3 · (–3)) / 2 = 10
z = (3 – 5 · (–3)) / 2 = 9.

В этих двух примерах мы держались следующего плана; выбираем из данных трех уравнений какие-либо два, более удобных, и из них определяем два неизвестных через третье, – полученные выражения мы подставляем на место этих неизвестных в третье уравнение.

Возможны и иные планы. Поясним их на следующих примерах:

1.    3x – 4y + 3z = 19
     4x – 6y + z = 22
     7x – 18y = 33.

Мы видим, что в третье уравнение входят только 2 неизвестных, x и y. Поэтому постараемся получить из первых двух уравнений с тремя неизвестными новое уравнение с двумя неизвестными, а именно: также с x и y, - тогда мы будем иметь два уравнения с двумя неизвестными, которые умеем решать. Для этой цели исключим способом уравнивания коэффициентов из первых двух уравнений неизвестное z, для чего 1-ое уравнение оставим без изменения, а обе части второго умножим на –3. Получим:

3x – 4y + 3z = 19
–12x + 18y – 3z = –66.

Сложив по частям эти уравнения, получим:

–9x + 14y = –47

или

9x – 14y = 47.

Присоединим сюда еще третье из данных уравнений и решим их совместно способом уравнивания коэффициентов:

Определение одних переменных через другие

Подставляя это значение x – a в уравнение

9x – 14y = 47,

получим

54 – 14y = 47,

откуда

14y = 7 и y = ½

Подставляя полученные для x и для y значения в простейшее из данных уравнений, а именно в уравнение

4x – 6y + z = 22,

получим

24 – 3 + z = 22,

откуда

z = 1.

2.     3x + 5y – 9z = 29
     5x + 2y – 6z = 17
     4x – 10y + 3z = 17

Наметим следующий план: выберем сначала 2 из этих трех уравнений и из них способом уравнивания коэффициентов получим одно уравнение с двумя неизвестными; затем выберем вторую пару уравнений из данных и из них тем же способом получим второе уравнение с теми же двумя неизвестными. Применяясь к данным уравнениям, удобно будет выполнить этот план в следующем порядке: 1) возьмем 1-ое и 2-ое уравнение и из них, исключив способом уравнивания коэффициентов y, получим одно уравнение с x и z; 2) возьмем 1-ое и 3-е уравнения и из них также исключим y и получим второе уравнение с неизвестными x и z; 3) решим полученные 2 уравнения с неизвестными x и z также способом уравнения коэффициентов.

Определение одних переменных через другие

4) Подставим полученное для x значение в уравнение

2x – 3z = 15.

Получим:

–6 – 3z = 15 или 3z = –21 и z = –7.

Подставим полученные для x и z значения в уравнение

5x + 2y – 6z = 17.

Получим:

–15 + 2y + 42 = 17

или

2y = –10 и y = –5.

3.      4x – 2y + z = 4
     5x + 3y – z = 11
     3x + 7y – 2z = 7

Составим следующий план: 1) из первого уравнения определим z через x и y; 2) полученное выражение подставим на место z во 2-ое и в 3-е уравнения, – получим два уравнения с двумя неизвестными, а именно — с x и y; 3) решим полученные два уравнения.

1) z = 4 – 3x + 2y,

2) 5x + 3y – (4 – 3x + 2y) = 11
3x + 7y – 2(4 – 3x + 2y) = 7

Упростим каждое из этих уравнений:

1-ое: 5x + 3y – 4 + 3x – 2y = 11 или 8x + y = 15.

2-ое: 3x + 7y – 8 + 6x – 4y = 7 или 9x + 3y = 15 или 3x + y = 5.

3) Вычтем по частям из 1-го уравнения второе:

8x + y = 15
3x + y = 5
–-----------
5x = 10, откуда x = 2.

4) Подставим полученное для x значение в уравнение

3x + y = 5.

Получим

6 + y = 5,

откуда

y = –1.

Подставим эти значения x – a и y – a в выражение для z:

z = 4 – 3x + 2y.

Тогда

z = 4 – 6 – 2 = –4.