Пропорции

51. Пропорции. Рассмотрим особый вид равенства, а именно:

a/b = c/d;

это равенство показывает, что частное от деления числа a на число b равно частному от деления числа c на число d. Вместо «частно от деления числа a на число b» говорят «отношение числа a к числу b». Поэтому наше равенство мы можем прочесть: отношение числа a к числу b равно отношению числа c к числу d. Иногда еще читают и так: «число a относится к числу b, как число c к числу d». Подобные равенства называются пропорциями. Итак, пропорция есть равенство двух отношений. То число, которое является делимым каждого частного, называют предыдущим членом отношения: a есть предыдущий член 1-го отношения, c есть предыдущий член 2-го. Каждое из тех чисел, которое служит делителем, называется последующим членом отношения: b есть последующий член 1-го отношения и d есть последующий член 2-го отношения. Еще называют a и d крайними членами пропорции, а b и c — средними. Эти названия особенно ясны, если знак деления взять знак : и написать пропорцию в виде:

a : b = c : d.

Мы можем также рассматривать пропорцию:

a/b = c/d,

как равенство двух дробей, а именно: дроби a/b и дроби c/d.

Уничтожим в этом равенстве дроби. Для этой цели надо обе части равенства умножить на общего знаменателя, т. е. на bd. Получим:

abd/b = cbd/d

Сократив каждую дробь, получим:

ad = cb.

Это равенство можно прочесть словами: произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

Это свойство членов пропорции принимают за ее основное свойство.

Мы можем из этого равенства получить и еще следующие:

1. Разделим обе части равенства

ad = cb

на d (или на a), получим

a = cb/d (или d = cb/a),

т. е. один из крайних членов пропорции равен произведению средних, деленному на другой крайний.

2. Напишем наше равенство в обратном порядке:

cb = ad

и разделим обе части его на b (или на c), получим:

c = ad/b (или b = ad/c),

т. е. средний член пропорции равен произведению крайних, деленному на дрогой средний.

Пользуясь основным свойством пропорции, мы можем иногда освобождать те уравнения, какие имеют форму пропорции, от дробей без отыскания общего знаменателя.

Например, возьмем уравнение:

(x – 7) / (3x – 1) = 2/5.

Это уравнение имеет форму пропорции: отношение числа x – 7 к числу 3x – 1 равно отношению числа 2 к числу 5. Воспользуемся основным свойством пропорции, т. е. произведение крайних членов равно произведению средних; получим:

(x – 7 ) · 5 = (3x – 1) · 2

(ибо в нашей пропорции крайние члены суть x – 7 и 5, а средние — 3x – 1 и 2). Теперь уравнение без труда может быть решено.