Сложение и вычитание

Сложение

1. В арифметике мы работаем над числами, целыми и дробными. Основным арифметическим действием является сложение.

Напр.: 35 + 127, выражение суммы двух дробей и т. д.

Станем обозначать числа буквами латинского алфавита: a, b, c, d… m, n, p… x, y, z. Тогда мы можем, напр., под обозначением «a» понимать любое число, целое ли, дробно ли или смешанное. (Обозначение чисел буквами не должно уже здесь вызывать затруднений, так как уже теперь во многих случаях делают это нововведение в курсе арифметики (см., напр., Н. Извольский: Арифметика, конец II-й части.) Если написано

a + b

то мы можем эту запись понимать в смысле, что надо «число a сложить с числом b». Так как число, получаемое от сложения, называется суммою, то мы можем сказать, что здесь написана «сумма чисел a и b» (или: сумма двух слагаемых). Зная сложение, мы можем написать, что

a + b = b + a,

т. е. «сумма чисел a и b все равно, что сумма чисел b и a». Здесь выражено при помощи знака равенства основное свойство сложения: сумма не изменяется от перестановки слагаемых. Это свойство называется переместительным законом сложения.

Также точно запись a + b + c выражает сумму трех слагаемых, запись a + b + 10 выражает сумму чисел a, b и 10 и т. п.

Каждая из записей, в которую входят буквы, обозначающие числа, соединенные знаками действий, называется формулой (a + b, a + b + c, a + b + 10 и т. д. являются формулами).

Вычитание

2. Можно поставить вопросы, обратные сложению. Напр.: 1) я задумал число, приложил к нему число 17, получилось 35; какое число я задумал (можно записать: ? + 17 = 35); 2) какое число надо прибавить к 17, чтобы получилось в сумме 35? (17 + ? = 35). Подобных вопросов можно составить множество, и их вообще можно записать в форме: ? + a = b или a + ? = b. Во всех этих вопросах речь идет о сложении, причем дается сумма (35 или b) и одно слагаемое (17 или a), а требуется найти другое слагаемое. Для решения таких вопросов употребляется вычитание: оба первых вопроса решаются вычитанием 17 из 35 (35 – 17), а два последних – вычитанием числа a из числа b (b – a). Понятно, почему для решения подобных вопросов употребляется одно и то же действие, вычитание, несмотря на то, какое слагаемое дано, первое или второе: причина этого заключается в том, что сложение обладает переместительным законом. Итак, вычитание есть действие, обратное сложению, при помощи которого по данной сумме двух чисел и по одному слагаемому находится другое слагаемое.

Если записана формула

x – y,

то ее следует понимать так: число x есть сумма двух слагаемых, число y – одно из этих слагаемых, а желаем найти другое слагаемое. Дают названия: x... уменьшаемое число, y... вычитаемое, а после вычитания получим число, называемое разностью (или остатком). Поэтому формулу

x – y

читают: «разность чисел x и y».

Вот более сложные формулы: 1) a – (b + c) «разность между числом a и суммою чисел b и c». полезно заметить, что всегда при чтении формул приходится сначала обращать внимание на последнее действие (в нашей формуле последним действием является вычитание, а от вычитания получается разность; поэтому и начинаем чтение словом «разность»); 2) (a + b + c) – 1 «разность между суммою чисел a, b и c и числом 1»; 3) (a – b) + (c – d) «сумма двух разностей» (или: сумма разностей двух пар чисел» или «сумма разности чисел a и b и разности чисел c и d»).

Наоборот, словесное выражение «сумма числа a и разность чисел b и c» запишется формулою a + (b – c); выражение «разность между суммами двух пар чисел» можно написать формулою (a + b) – (c + d) и т. д.

Следует приобрести некоторый навык в чтении и письме формул.