Производные пропорции

72. Производные пропорции. К каждому отношению данной пропорции

a/b = c/d

прибавим по одному и тому же числу k. Получим:

a/b + k = c/d + k

Выполняя сложение, отсюда получим новую пропорцию:

(a + kb)/b = (c + kd)/d.

Пропорции, получаемые, таким образом, из данной, называются производными пропорциями. Мы разберем только 2 случая: 1) когда k = +1 и 2) когда k = –1, т. е., когда к обоим отношениям данной пропорции или прибавляют по 1 или вычитают по 1.

1) a/b + 1 = c/d + 1 или (a + b)/b = (c + d)/d
2) a/b – 1 = c/d – 1 или (a – b)/b = (c – d)/d

Эти пропорции, сравнивая их с данною, можно прочесть словами:

1) отношение суммы членов первого отношения данной пропорции к своему последующему члену равно отношению суммы членов второго отношения к своему последующему,

2) отношение разности членов первого отношения данной пропорции к своему последующему члену равно отношению разности членов второго отношения к своему последующему.

Разделим по частям два равенства:

(a + b)/b = (c + d)/d и a/b = c/d.

Получим:

((a + b)b)/ba = ((c+d)d)/dc или (a + b)/a = (c + d)/c

Также точно из равенств

(a – b)/b = (c – d)/d и a/b = c/d

получим:

((a – b)b)/ba = ((c – d)d)/dc или (a – b)/a = (c – d)/c

Полученные две новые пропорции, сравнивая их с данною, можно прочесть словами:

1) отношение суммы членов первого отношения данной пропорции к своему предыдущему члену равно отношению суммы членов второго отношения к своему предыдущему,

2) отношение разности членов первого отношения данной пропорции к своему предыдущему члену равно отношению разности членов второго отношения к своему предыдущему.

Делением по частям двух полученных выше равенств, а именно:

(a + b)/b = (c + d)/d и (a – b)/b = (c – d)/d

получим еще новую пропорцию:

((a+b)b)/(b(a – b)) = ((c + d)d)/(d(c – d)) или (a+b)/(a – b) = (c + d) / (c – d)

которую опять прочтем словами:

Отношение суммы членов первого отношения данной пропорции к разности этих членов равно отношению суммы членов второго отношения к разности этих же членов.