Решение системы уравнений способом подстановки

57. Совместное решение двух уравнений с двумя неизвестными. Способ подстановки. Так как одно уравнение с двумя неизвестными имеет бесконечно много решений, то возникает возможность присоединить к этому уравнению еще второе с теми же неизвестными и искать решение, удовлетворяющее им обоим. Эту задачу выражают так: решить два уравнения с двумя неизвестными совместно, или: решить систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Решим для примера совместно следующие два уравнения:

4x + 7y = 35 и 6x + y = 24.

Выберем одно из этих уравнений, например, 2-е (оно проще, ибо коэффициент при y = 1); оно имеет бесконечно много решений и для их получения удобно определить одно из неизвестны через другое — определим y через x. Получим:

y = 24 – 6x.

Так как мы ищем общее решение для двух уравнений, то y в 1-м уравнении должен равняться такому же числу, как и для 2-го. Поэтому заменим y в 1-м уравнении полученным для него выражением: 24 – 6x. Тогда получим:

4x + 7(24 – 6x) = 35.

Мы видим, что получилось уравнение с одним неизвестным, с x. Решим его:

4x + 168 – 42x = 35

или

38x = 133,

откуда

x = 3 ½.

Это показывает, что лишь число 3 ½ для x может удовлетворить обоим уравнениям, причем y определится из равенства y = 24 – 6x. Подставив сюда вместо x число 3 ½, получим y = 24 – 6 · 3 ½ = 24 – 21 = 3. Итак,

x = 3 ½; y = 3

есть единственное общее решение двух наших уравнений.

Способ, которым мы решили наши уравнения, называется способом подстановки. Этот способ подстановки состоит, как видели, в следующем: из одного уравнения (выбираем то, которое проще) определяем одно неизвестное через другое и полученное выражение подстанавливаем в другое уравнение на место этого неизвестного.

Еще пример:

2x – 5y = 13 и 8x + 7y = 25.

Определим из 1-го уравнения x через y

2x = 5y + 13 и x = (5y + 13) / 2;

подставляем полученное выражение во 2-е уравнение вместо x – a. Получим:

8 (5y + 13) / 2 + 7y = 25.

Полученная дробь сокращается:

4 (5y + 13) + 7y = 25.

Отсюда

20y + 52 + 7y = 25; 27y = –27; y = –1.

Далее найдем:

x = (5 · –1 + 13) / 2 = 8/2 = 4.