Сложение и вычитание одночленов и многочленов

Формула a + b выражает сумму двух слагаемых, и, так как члены +a и +b не подобны, мы не можем заменить эту сумму каким-либо более простым выражением: если члены не подобны, то их сложение можно только обозначить, но не выполнить. Но обозначать сложение можно более подробно, при помощи скобок, а можно и без скобок; аналогичное имеет место и для вычитания. Поэтому мы имеем:

(+a) + (+b) = a + b; (+a) + (–b) = a – b
(+a) – (+b) = a – b; (+a) – (–b) = a + b.

Все эти равенства являются, в сущности, повторением тех, какие приходилось писать, когда выполняли сложение и вычитание относительных чисел, а именно в те моменты, когда мы раскрывали скобки.

Точно также:

Раскрытие скобок в многочленах

Каждая буква означает какое-либо число, каждый одночлен, напр., Отрицательный дробный одночлен, если выполнять все действия над числами, какие обозначены буквами, выражает также число. Следовательно, сюда также применимы те правила для раскрытия скобок, какие были установлены при рассмотрении сложения и вычитания относительных чисел – на этом основании и написаны предыдущие равенства.

Условно мы можем говорить, что этими равенствами определяется порядок, как выполнять сложение и вычитание одночленов. Если бы эти одночлены оказались подобными, то в результате можно будет подобные члены соединить в один. Напр.:

Приведение подобных членов многочлена

Так как каждый многочлен есть сумма составляющих его членов, то сложение и вычитание многочленов сводится к постепенному прибавлению (или к вычитанию) к первому слагаемому всех членов второго слагаемого (многочлена). Напр.:

Примеры приведения подобных членов в многочленах

Итак, при сложении первое слагаемое (одночлен или многочлен) пишется без изменения и к нему постепенно приписывается каждый член второго слагаемого (многочлена) с тем же самым знаком, а при вычитании уменьшаемое (одночлен или многочлен) пишется без изменения и к нему приписывается постепенно каждый член вычитаемого с перемененным знаком; после этого, если возможно, выполняется приведение подобных членов.
В пояснение предыдущих примеров остановимся на втором из них: уменьшаемое, одночлен x³, переписано без изменения, и к нему приписаны постепенно все члены вычитаемого, причем у каждого переменен знак. В самом деле, первый член вычитаемого есть x² или +x², – к уменьшаемому пришлось приписать –x²; второй член был –5/8x, – пришлось приписать +5/8x и т. д.

26. Мы можем смотреть на предыдущее, как на установление порядка раскрытия скобок: если перед скобками знак +, то надо все члены, стоящие в скобках, писать с теми же знаками, а если перед скобками знак –, то – с обратными. Напр.:

Приведение подобных членов многочлена

Чтобы получше усвоить значение скобок, полезно упражняться в раскрытии скобок, если в выражении имеется несколько пар различных скобок.

Примеры:

Приведение подобных членов многочлена

Здесь сначала были раскрыты «маленькие» скобки, а затем квадратные, после чего было выполнено приведение подобных членов.

Приведение подобных членов многочлена

Сначала были раскрыты «маленькие» скобки, потом «квадратные», потом «витые» и, наконец, выполнено приведение подобных членов.

Мы уже видели, что можно несколько членов многочлена счесть за один член, для чего эти члены заключают в скобки. Теперь является возможность делать это двумя способами: перед скобками можно ставить или знак + (это имело место в п. 22) или знак –. В согласии с тем, как раскрывать скобки, когда перед ними стоит знак + или знак –, мы должны и при заключении нескольких членов многочлена в скобки оставлять их с теми же знаками, если перед скобками знак + и менять их знаки, если перед скобками ставим знак –.

Например:

3abc – 2a²b + 5ac² = +(3abc – 2a²b + 5ac²) = – (–3abc + 2a²b – 5ac²).

Последнее удобнее писать в виде –(2a²b – 3abc – 5ac²).

Возьмем еще 4-хчлен и сделаем из него различными способами двухчлен:

Приведение подобных членов многочлена