Формулы при разложении на множители

Рассматривая умножение многочленов, мы запомнили несколько формул, а именно: формулы для (a + b)², для (a – b)², для (a + b) (a – b), для (a + b)³ и для (a – b)³.

Если данный многочлен окажется совпадающим с одною из этих формул, то его явится возможным разложить на множители. Напр., многочлен a² – 2ab + b², мы знаем, равен (a – b)² [или (a – b) · (a – b), т. е. удалось a² – 2ab + b² разложить на 2 множителя]; также

Формулы разложения многочленов на множители

Рассмотрим второй из этих примеров. Мы видим, что данный здесь многочлен подходит к формуле, получающейся от возведения в квадрат разности двух чисел (квадрат первого числа, минус произведение двойки на первое число и на второе, плюс квадрат второго числа): x6 есть квадрат первого числа, а, следовательно, само первое число есть x3, квадратом второго числа является последний член данного многочлена, т. е. 1, само второе число есть, следовательно, также 1; произведением двойки на первое число и на второе является член –2x3, ибо 2x3 = 2 · x3 · 1. Поэтому наш многочлен получился от возведения в квадрат разности чисел x3 и 1, т. е. он равен (x3 – 1)2. Рассмотрим еще 4-ый пример. Мы видим, что данный многочлен a2b2 – 25 можно рассматривать, как разность квадратов двух чисел, а именно квадратом первого числа служит a2b2, следовательно, само первое число есть ab, квадратом второго числа является 25, почему само второе число есть 5. Поэтому наш многочлен можно рассматривать получившимся от умножения суммы двух чисел на их разность, т. е.

(ab + 5) (ab – 5).

Иногда случается, что в данном многочлене члены расположены не в том порядке, к которому мы привыкли, напр.

9a2 + b2 + 6ab – мысленно мы можем переставить второй и третий члены, и тогда нам станет ясным, что наш трехчлен = (3a + b)2.

Пример разложения многочлена на множители… (переставим мысленно первый и второй члены).

25a6 + 1 – 10x3 = (5x3 – 1)2 и т. п.

Рассмотрим еще многочлен

a2 + 2ab + 4b2.

Мы видим, что первый член его представляет собою квадрат числа a и третий член представляет собою квадрат числа 2b, но второй член не является произведением двойки на первое число и на второе, – такое бы произведение было бы равно 2 · a · 2b = 4ab. Поэтому нельзя применить к этому многочлену формулу квадрата суммы двух чисел. Если бы кто написал, что a2 + 2ab + 4b2 = (a + 2b)2, то это было бы неверно – надо тщательно рассмотреть все члены многочлена, прежде чем применять к нему разложение на множители по формулам.

40. Соединение обоих приемов. Иногда при разложении многочленов на множители приходится комбинировать и прием вынесения общего множителя за скобки и прием применения формул. Вот примеры:

1. 2a3 – 2ab2. Вынесем сначала общего множителя 2a за скобки, – получим 2a (a2 – b2). Множитель a2 – b2, в свою очередь, разлагается по формуле на множители (a + b) и (a – b).

Примеры разложения многочленов на множители

Иногда приходится применять прием разложения по формулам многократно:

1. a4 – b4 = (a2 + b2) (a2 – b2)

Мы видим, что первый множитель a2 + b2 не подходит ни к одной из знакомых формул; мало того, вспоминая особые случаи деления (п. 37), мы установим, что a2 + b2 (сумма квадратов двух чисел) вовсе на множители не раскладывается. Второй из полученных множителей a2 – b2 (разность квадратом двух чисел) разлагается на множители (a + b) и (a – b). Итак,

Примеры разложения многочленов на множители

41. Применение особых случаев деления. На основании п. 37 мы можем сразу написать, что, напр.,

Примеры разложения многочленов на множители