Общий вид уравнения первой степени с двумя неизвестными

56. Общий вид уравнения первой степени с двумя неизвестными. Все предыдущие примеры объединяются общею формою равнения с двумя неизвестными:

ax + by = m.

Давая a, b и m различные числовые значения, мы будем получать различные уравнения с двумя неизвестными. Например, чтобы получить предпоследнее уравнение, рассмотренное в предыдущем п., а именно 3x – y = 15, надо заменить a числом +3, b — числом 1 и m — числом +15.

Кроме того, следует заметить, что в уравнении

ax + by = m

мы можем считать числа a, b и m целыми, так как в противном случае, умножив обе части уравнения на общего знаменателя, мы всегда можем уничтожить в уравнении дроби.

Если уравнение с двумя неизвестными дано в какой-либо сложной форме, напр.,

(x – 3)/(y – 1) + x/2 = (x – 4)/2 – 1,

то его следует упростить, причем следует это слово «упростить» понимать в смысле стремления привести уравнение к общему виду, т. е. к виду

ax + by = m.

Чтобы это сделать, умножим сначала обе части данного уравнения на 2(y – 1), т. е. на общего знаменателя. Получим:

2(x – 3) + x(y – 1) = (x – 4) (y – 1) – 2(y – 1).

Затем раскроем скобки:

2x – 6 + xy – x = xy – 4y – x + 4 – 2y + 2.

Мы видим прежде всего, что из обеих частей уравнения можно вычесть член xy, и тогда в уравнении не останется члена с произведением неизвестных. Это важно для нас, так как те уравнения, где входит член с произведением неизвестных, приходится считать уравнениями второй степени, и с ними иметь дело труднее. После уничтожения члена xy, как в левой, так и в правой части уравнения, перенесем все неизвестные члены влево, а известные вправо:

2x – x + 4y + x + 2y = 6 + 4 + 2.

Сделаем приведение подобных членов:

2x + 6y = 12.

Наконец, мы видим, что можно обе части уравнения разделить на 2 — этого никогда не следует упускать, так как, благодаря этому, облегчается дальнейшая работа — получим:

x + 3y = 6.

Наше уравнение упрощено до последней возможности.