Примеры решения системы уравнений

60. Различные примеры на решение систем двух уравнений с двумя неизвестными. Мы разберем здесь несколько примеров с целью показать, как и какими способами удобнее пользоваться, в зависимости от особенностей данных уравнений.

Пример 1:

x/y = 5/8; 4x + y/4 = 11.

Вместо того, чтобы сначала упрощать уравнения, мы определим из 1-го уравнения x через y, для чего достаточно обе части уравнения умножить на y. Получим:

x = 5y/8.

Полученное выражение подставим вместо x во 2-е уравнение:

4 · 5y/8 + y/4 = 11

или

5y/2 + y/4 = 11

Освободим теперь уравнение от дробей, для чего обе части его умножим на 4

10y + y = 44.

Откуда

11y = 44 и y = 4.

Теперь легко вычислить x

x = 5y/8 = 5 · 4 / 8 = 2½

Пример 2.

(x + y)/2 – x/3 = 1; x – (x + y) / 2 = 3.

Здесь возможно употребить следующий искусственный прием.
Определим из 1-го уравнения (x + y)/2 через x, - мы получим, перенеся член x/3 в правую часть:

(x + y) / 2 = 1 + x/3.

Подставим затем полученное выражение 1 + x/3 во 2-ое уравнение на место (x + y) / 2, - получим:

x – (1 + x/3) = 3

или

x – 1 – x/3 = 3

или

2x/3 = 4,

откуда

x = 4 : 2/3 = 6.

Подставим теперь число 6 на место x в 1-ое уравнение, - получим:

3 + y/2 = 1 + 2,

откуда

y/2 = 0 и y = 0.

Пример 3.

a – (ax – y)/2a = x/4; y/(x – a) = a.

Упростим 1-ое уравнение, для чего сначала обе части его умножим на общего знаменателя 4a:

4a2 – 2ax + 2y = ax или 3ax – 2y = 4a2.

Упростим 2-ое уравнение:

y = ax – a2 или ax – y = a2.

Уравняем теперь коэффициенты при y, для чего 1-ое уравнение оставим без изменения, а обе части 2-го умножим на 2, - получим:

3ax – 2y = 4a2
2ax – 2y = 2a2.

Вычтя по частям из 1-го уравнения 2-ое, получим:

ax = 2a2,

откуда

x = 2a2/a = 2a.

Подставим теперь полученное значение x в наиболее простое уравнение, т. е. в ax – y = a2. Получим

2a2 – y = a2,

откуда

y = a2.

Пример 4.

12/x – 15/y = ¼; 8/x + 10/y = 5/6.

Не следует здесь освобождать уравнения от дробей.

Уравняем числители тех дробей, знаменателем которых служит y, для чего обе части первого уравнения умножим на 4 и обе части второго на 6. Получим:

48/x – 60/y = 1 и 48/x + 60/y = 5      (1)

Сложив по частям наши уравнения, получим:

96/x = 6.

Умножим обе части на x:

96 = 6x или 6x = 96

откуда

x = 16.

Для определения y умножим обе части 1-го уравнения в системе (1) на –1; получим:

–48/x + 60/y = –1
48/x + 60/y = 5.

Сложив теперь наши уравнения по частям, получим:

120/y = 4,

откуда

120 = 4y или 4y = 120 и y = 30.