60. Различные примеры на решение систем двух уравнений с двумя неизвестными. Мы разберем здесь несколько примеров с целью показать, как и какими способами удобнее пользоваться, в зависимости от особенностей данных уравнений.
Пример 1:
x/y = 5/8; 4x + y/4 = 11.
Вместо того, чтобы сначала упрощать уравнения, мы определим из 1-го уравнения x через y, для чего достаточно обе части уравнения умножить на y. Получим:
x = 5y/8.
Полученное выражение подставим вместо x во 2-е уравнение:
4 · 5y/8 + y/4 = 11
или
5y/2 + y/4 = 11
Освободим теперь уравнение от дробей, для чего обе части его умножим на 4
10y + y = 44.
Откуда
11y = 44 и y = 4.
Теперь легко вычислить x
x = 5y/8 = 5 · 4 / 8 = 2½
Пример 2.
(x + y)/2 – x/3 = 1; x – (x + y) / 2 = 3.
Здесь возможно употребить следующий искусственный прием.
Определим из 1-го уравнения (x + y)/2 через x, - мы получим, перенеся член x/3 в правую часть:
(x + y) / 2 = 1 + x/3.
Подставим затем полученное выражение 1 + x/3 во 2-ое уравнение на место (x + y) / 2, - получим:
x – (1 + x/3) = 3
или
x – 1 – x/3 = 3
или
2x/3 = 4,
откуда
x = 4 : 2/3 = 6.
Подставим теперь число 6 на место x в 1-ое уравнение, - получим:
3 + y/2 = 1 + 2,
откуда
y/2 = 0 и y = 0.
Пример 3.
a – (ax – y)/2a = x/4; y/(x – a) = a.
Упростим 1-ое уравнение, для чего сначала обе части его умножим на общего знаменателя 4a:
4a2 – 2ax + 2y = ax или 3ax – 2y = 4a2.
Упростим 2-ое уравнение:
y = ax – a2 или ax – y = a2.
Уравняем теперь коэффициенты при y, для чего 1-ое уравнение оставим без изменения, а обе части 2-го умножим на 2, - получим:
3ax – 2y = 4a2
2ax – 2y = 2a2.
Вычтя по частям из 1-го уравнения 2-ое, получим:
ax = 2a2,
откуда
x = 2a2/a = 2a.
Подставим теперь полученное значение x в наиболее простое уравнение, т. е. в ax – y = a2. Получим
2a2 – y = a2,
откуда
y = a2.
Пример 4.
12/x – 15/y = ¼; 8/x + 10/y = 5/6.
Не следует здесь освобождать уравнения от дробей.
Уравняем числители тех дробей, знаменателем которых служит y, для чего обе части первого уравнения умножим на 4 и обе части второго на 6. Получим:
48/x – 60/y = 1 и 48/x + 60/y = 5 (1)
Сложив по частям наши уравнения, получим:
96/x = 6.
Умножим обе части на x:
96 = 6x или 6x = 96
откуда
x = 16.
Для определения y умножим обе части 1-го уравнения в системе (1) на –1; получим:
–48/x + 60/y = –1
48/x + 60/y = 5.
Сложив теперь наши уравнения по частям, получим:
120/y = 4,
откуда
120 = 4y или 4y = 120 и y = 30.