Преобразования одночленов и многочленов

19. Возьмем формулу

a – b;

мы ее читали так: «разность числе a и b». Мы можем в этой формуле число a заменить нулем; тогда она обратится в

0 – b или просто в –b.

Из нуля вычесть b значит, согласно тому, что мы знаем о вычитании относительных чисел, к нулю приписать число b, взятое с обратным знаком. Поэтому выражение –b должно понимать, как число, обратное по знаку числу b. Если, напр., b = +5, то –b = –5; если b = –4, то –b = +4 и т. п. Если мы напишем выражение +a, то его надо понимать, как число, равное числу a. Если a = +5, то +a = +5; если a = –4, то +a = 4 и т. п.

Поэтому формулу

a – b

мы можем понимать, без различия результата, или в смысле

a – (+b)

или в смысле

a + (–b).

Таким образом мы всегда можем заменять вычитание сложением и всякую разность понимать, как сумму двух чисел:
    a – b есть сумма чисел a и (–b)
    x – y есть сумма чисел x и (–y)
    –a – b есть сумма чисел (–a) и (–b) и т. п.

Те формулы, где, с точки зрения арифметики, имеют место несколько сложений и вычитаний, напр.,

a – b + c + d – e – f,

мы можем теперь, с точки зрения алгебры, понимать только, как сумму, а именно:

a – b + c + d – e – f = (+a) + (–b) + (+c) + (+d) + (–e) + (–f).

Поэтому принято подобные выражения называть именем «алгебраическая сумма».

20. Возьмем какую-нибудь алгебраическую сумму

a – b – c или –3bc² + 2ab – 4a²b и т. п.

Принято называть эти выражения именем многочлен, причем это слово заменяет собою слово «сумма» или название «алгебраическая сумма». Мы знаем что

a – b – c = (+a) + (–b) + (–c)
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) и т. п.

Отдельно каждое слагаемое называют именем член многочлена.

Первый многочлен,

a – b – c,

состоит из трех членов: (+a), (–b) и (+c).

Второй многочлен,

–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b,

состоит из четырех членов: (–abc), (–3bc²), (+2ab) и (–4a²b).

Слагаемые суммы можно переставлять в любом порядке:

–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) =
= (+2ab) + (–3bc²) + (–4a²b) + (–abc) = 2ab – 3bc² – 4a²b – abc.

Это свойство суммы теперь можно выразить иначе: члены многочлена можно переставлять в любом порядке. Это и сделано выше для многочлена –abc – 3bc² + 2ab – 4a²b, притом так, что впереди теперь оказался член (+2ab). Это позволило несколько упростить выражение: впереди знак + можно не писать. Конечно, надо подобные перестановки делать сразу, не заключая предварительно (как выше) каждое слагаемое в скобки.

Еще пример:

1 – 3a + 2a² – a³ + 3a4 = 3a4 – a³ + 2a² – 3a + 1.

Первый член этого многочлена был первоначально (+1) – знак + подразумевался перед единицею; когда мы переносим этот член на другое, кроме первого, место (выше мы перенесли его на последнее место), то уже этот знак + пропускать нельзя.

Мы можем заметить, что в предыдущем примере мы перестановкою членов многочлена достигли некоторого порядка: на первом месте стоит член с буквою a в 4-ой степени, на следующем – член с буквою a в 3-ей степени, потом идет член с буквою a во 2-ой степени, потом – a в 1-ой степени и, наконец, член, где буквы a вовсе нет.

Подобное расположение членов многочлена выражают словами «многочлен расположен по нисходящим степеням буквы a».

Вот еще примеры подобного расположения:

    3x5 – 2ax3 + b (по нисходящим степеням буквы x)
    a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4 (по нисходящим степеням буквы a)
    3ab5 – 4a3b3 + 5a4b2 – 2a6 (по нисходящим степеням буквы b)
    4x4 – 3x3 + 2x3 (по нисходящим степеням буквы x).

Употребляют часто и обратное «по восходящим степеням» расположение, при котором степень избранной буквы постепенно повышается, причем в 1-м члене или вовсе этой буквы нет, или она имеет здесь наименьшую степень сравнительно с другими членами. О втором из предыдущих примеров мы могли бы сказать, что здесь многочлен расположен по восходящим степеням буквы b. Вот примеры:
    3 – 2a + 3a2 – 4a3 (по восходящим степеням буквы a);
    –x + x2 – 3x3 – 4x4 (по восходящим степеням буквы х);
    ax2 – bx3 + cx5 – dx6 (по восходящим степеням буквы x);
    a3 – 2ab + b2 (по восходящим степеням буквы b или по нисходящим степеням буквы a);
    3x5 – 4yx4 – 5y3x2 – 6y4x (по нисходящим степеням буквы x или по восходящим степеням буквы y).

21. Многочлен о двух членах называется двучленом (напр., 3a + 2b), о трех членах – трехчленом (напр., 2a² – 3ab + 4b²) и т. д. Возможно говорить о сумму из одного слагаемого (другое слагаемое равно нулю), или о многочлене об одном члене. Тогда уже, конечно, название «многочлен» неуместно и употребляется название «одночлен». Каждый член любого многочлена, взятый в отдельности, является одночленом. Вот примеры простейших одночленов:

2; –3a; a²; 4x³; –5x4; ab; ab²; –3abc; Примеры одночленов и т. д.

Почти все одночлены из выше написанных являются произведениями двух или более множителей, причем у большинства из них имеются и числовой множитель и буквенные. Напр., в одночлене –3abc имеется числовой множитель –3 и буквенные множители a, b и c; в одночлене 4x³ имеется числовой множитель +4 (знак + подразумевается) и буквенный множитель x³ и т. д. Если бы мы написали одночлен с несколькими числовыми множителями (а также и с буквенными), вроде следующего

Умножение одночленов,

то удобнее, переставив множителей так, чтобы числовые множители оказались рядом, т. е.

Перестановка множителей одночленов,

эти числовые множители перемножить – получим

–4a²bc² (точки, знаки умножения пропускаем).

Принято также, в громадном большинстве случаев, числовой множитель писать впереди. Пишут:

4a, а не a4
–3a²b, а не a²(–3)b
Правило записи числового множителя

Числовой множитель одночлена называется коэффициентом.

Если в одночлене не написан числовой множитель, например, ab, то можно всегда его подразумевать. В самом деле

a = (+1) ∙ a; ab = (+1)ab;
–a = (–1) ∙ a; a³ = (–1) ∙ a³ и т. п.

Итак, у одночленов a², ab, ab² подразумевается, у каждого, коэффициент 1 (точнее: +1). Если напишем одночлены –ab, –a², –ab² и т. п., то у них должно подразумевать коэффициент –1.

22. Более сложные примеры многочленов и одночленов.

(a + b)² + 3(a – b)² … эта формула выражает сумму двух слагаемых: первым является квадрат суммы чисел a и b, а вторым – произведение числа 3 на квадрат разности тех же чисел. Поэтому эту формулу должно признать двучленом: первый член есть (a + b)² и второй 3(a – b)². Если взять выражение (a + b)² отдельно, то в силу предыдущего, его надо считать одночленом, причем его коэффициент = +1.

a(b – 1) – b(a – 1) – (a – 1)(b – 1) … должно признать за трехчлен (сумма трех слагаемых): первый член есть a(b – 1) и его коэффициент = +1, второй член –b(a – 1), его коэффициент = –1, третий член –(a – 1)(b – 1), его коэффициент = – 1.

Многочлен с корнями

Иногда искусственно уменьшают число членов многочлена. Так трехчлен

a + b + c

можно, например, рассматривать за двухчлен, причем a + b, например, считают за один член (за одно слагаемое). Чтобы это яснее отметить, пользуются скобками:

(a + b) + c.

Тогда у члена (a + b) подразумевается коэффициент +1

[в самом деле (a + b) = (+1)(a + b)].

Трехчлен