Решение систем уравнений с буквенными коэффициентами

66. Примеры решения систем с буквенными коэффициентами. Особенные системы. Рассмотрим 2 примера решения систем уравнений с 3 неизвестными с буквенными коэффициентами.

1. x – 3y = a, y – 3z = b, z – 3x = c

Определим из 1-го уравнения x через y и из 2-го z через y и подставим в 3-е уравнение:

x = a + 3y; z = (y – b) / 3
(y – b) / 3 – 3 (a + 3y) = c

Отсюда

y – b – 9a – 27y = 3c

или

26y = –9a – b – 3c

и

y = –(9a + b + 3c) / 26

Тогда

x = a – (27a + 3b + 3c) / 26 = – (a + 3b + 9c) / 26

2. x + ay – a2z = a3
x + by – b2z = b3
x + cy – c2z = c3

Сначала из 1-го уравнения вычтем по частям 2-ое, - получим одно уравнение с y и z:

ay – by – a2z + b2z = a3 – b3

или

(a – b) y – (a2 – b2) z = a3 – b3.

Мы можем теперь обе части этого уравнения разделить на a – b [в самом деле, мы знаем, что a2 – b2 = (a + b) (a – b) и a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) ]. Получим:

y – (a + b) z = a2 + ab + b2.

Затем вычтем по частям из 1-го третье уравнение, – получим другое уравнение с теми же неизвестными y и z:

ay – cy – a2z + c2z = a3 – c3.

Его упростим подобно предыдущему:

(a – c) y – (a2 – c2) z = a3 – c3

или

y – (a + c) z = a2 + ac + c2

Теперь сложим по частям оба полученных уравнения, умножив предварительно обе части одного из них (напр. 2-ое) на (–1):

y – (a + b) z = a2 + ab + b2
–y + (a + c) z = –a2 – ac – c2
–---------------------------------
(c – b) z = ab – ac + b2 – c2

или

–(b – c) z = a(b – c) + (b2 – c2).

Разделим обе части этого уравнения на (b – c):

–z = a + b + c

и

z = –(a + b + c)

Далее из уравнения y – (a + b) z = a2 + ab + b2 получим:

y = –(a + b) (a + b + c) + a2 + ab + b2

или

y = –ab – ac – bc = –(ab + ac + bc).

И из уравнения y – (a + b) z = a2 + ab + b2 получим:

y = –(a + b) (a + b + c) + a2 + ab + b2

или

y = – ab – ac – bc = –(ab + ac + bc).

И из уравнения x + ay – a2z = a3 получим теперь:

x = –ay + a2z + a3 = a2b + a2c + abc – a3 – a2b – a2c + a3

или

x = abc.

Рассмотрим теперь систему, подобную тем, какие были рассмотрены для двух неизвестных:

3/x + 2/y + 5/z = 1
6/x + 6/y – 5/z = 1 1/3
3/x + 4/y – 15/z = 0

Здесь не следует освобождать уравнения от дробей; наметим такой план: 1) из 1-го и 2-го при помощи уравнения числителей удалим z, 2) из 1-го и 3-го также исключим z и 3) решим два полученных уравнения с неизвестными x и y.

Решение системы уравнений